2022年历概率论与数理统计试题分章整理.pdf

第 1 章一、选择与填空11 级1、设()0.5P A，()=0.2P AB，则()P B A。1、设,A B C为随机事件，则下列选项中一定正确的是 D 。(A) 若()0P A，则 A为不可能事件(B) 若 A与 B 相互独立，则 A与 B 互不相容(C) 若 A与 B 互不相容，则()1()P AP B(D) 若()0P AB，则()() ()P BC AP B A P C BA10 级1. 若BA,为两个随机事件，则下列选项中正确的是C 。(A) ABBAU(B) ABBBU(C) ABBAU(D) ABBAU1. 某人向同一目标独立重复进行射击，每次射击命中的概率为) 10(pp，则此人第 4 次射击恰好是第 2次命中目标的概率为22)1 (3pp。2. 在0,1中随机取数x，在1,2中随机取数 y ，则事件32xy的概率为87。09 级1. 10 件产品中有 8 件正品， 2 件次品，任选两件产品，则恰有一件为次品的概率为1645 .2. 在区间1 ,0中随机地取两个数，则事件两数之和大于54的概率为1725 .1. 设,A B为两个随机事件，若事件,A B的概率满足 0( )1 , 0()1P AP B，且有等式()()P A BP A B=成立，则事件BA, C .( A) 互斥( B) 对立( C ) 相互独立( D) 不独立08 级1、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 为 B 。( A) 101( B) 103(C) 109(D) 811、在区间0,L之间随机地投两点，则两点间距离小于2L的概率为34。07级1、10 把钥匙中有 3 把能打开门锁，今任取两把钥匙，则打不开门锁的概率为715。2、在区间1 ,0之间随机地取两个数，则事件 两数的最大值大于23发生的概率为59。二、计算与应用11 级有两个盒子，第一个盒子装有2 个红球 1 个黑球，第二个盒子装有2 个红球 2 个黑球，现从这两个盒子中各任取一球放在一起，再从中任取一球。（1）求这个球是红球的概率；（2）重复上述过程10 次，记 X 表示出现取出的球为红球的次数，求2()E X。解答： （1）令事件 取得一个红球 ，事件 从第 i 个盒子中取得一个红球 ， ，于是，由全概率公式有.4分（2）.4 分10 级1. 已知BA,为两个随机事件，且21)(AP，53)(BP，54)(ABP，求：（1）)(BAP； （2）)(BAP； （3） )(BABP。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 解答： （1）1 42()() ()2 55P ABP A P B A2 分1327()( )( )()25510P ABP AP BP AB2 分（2）121()( )()2510P ABP AP AB2 分（3）方法 1：( )61()1()11()77P BP BABP BABP AB2 分方法 2：()()()1()()()7PBABBP ABP BABP ABP AB2 分09 级1. 设,A B为两个随机事件，且有( )0.4,( )0.4,()0.5P AP BP B A，计算：（1）( )P A；（2）()P AB；（3）()P BABU.解答： （1）()1()0.6P AP A；1 分（2）()()1()10.5()P ABP B AP B AP A，故()0.3P AB；2 分（3）( ()()1()1()P B ABP BABP BABP ABUUUU()31()()()7P BP AP BP AB. 3 分08 级1、设BA,为两个事件，3.0)(AP，4.0)(BP，5.0)(BAP，求：（1）)(AP； （2）)(ABP； （3）()P BAB.解答：()1()0.7P AP A()()()0.70.50.2P ABP AP AB( ()()()()( )()()P B ABP ABP BABP ABP AP BP AB0.210.70.60.5407级2、设CBA,为三个事件，且31CPBPAP，0ABP，61ACP，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 18P BC，求：（1）()P C A ； （2）()P C B ； （3）CBA,至少有一个发生的概率。解答： （1）()1()()2P ACP C AP A；（2）()()()5()()1( )16P CBP CP BCP C BP BP B；（3）PCBA,至少有一个发生 ()P ABC( )()()()()()()P AP BP CP ABP ACP BCP ABC1111117003336824。第 2 章一、选择与填空11 级2、 设随 机变 量 X 服 从正 态分 布2(,)N，( )F x为 其 分 布 函 数 ， 则对 任意 实数a， 有()()FaFa 1 。10 级3. 设随机变量 X 与Y 相互独立且服从同一分布：13kP XkP Yk(0,1)k，则概率P XY的值为95。08 级2、设相互独立的两个随机变量X ，Y 的分布函数分别为)(xFX，)(yFY，则),max(YXZ的分布函数是 C 。(A) )(),(max)(zFzFzFYXZ( B) )(, )(max)(zFzFzFYXZ(C) )()()(zFzFzFYXZ( D) )()()(yFxFzFYXZ3、设随机变量(1,4)XN，(0,1)YN，且X与 Y 相互独立，则 A 。( A) 2(1,8)XYN( B) 2(1,6)XYN( C) 2(1,2)XYN( D) 2(1,1)XYN07 级精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 1、已知随机变量 X服从参数2n，13p的二项分布，( )F x为 X的分布函数，则(1.5)F D 。( A) 19( B) 49(C) 59( D) 89二、计算与应用11 级1、已知随机变量X 的概率密度函数为21,1( )10,1.xf xxx，求： （1） X 的分布函数)(xF；（2）概率12Px。解答： （1）当时， . .1 分当时， .2分当时， .1 分综上，（2）.3 分2、设连续型随机变量X 的概率密度函数为2 , 01( )0,xxf x，其他.求随机变量3YX 的概率密度函数。解法 1：由于所以，. .1 分 .6分解法 2：当时：1 分当时： .5 分当时：. 1 分故10 级精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 2. 已知连续型随机变量X 的概率密度函数( )()xf xCex，求：（1）常数 C ； （2） X 的分布函数( )XFx； （3）概率13PX。解答： （1）( )1fx dx1 分1xCedx12C 1 分（2）当0 x时，( )F xP Xx1122xxxe dxe当0 x时，( )F xP Xx001111222xxxxe dxe dxe故 X 的分布函数1 , 02( )11, 02xxexF xex4 分（3）13(3)(1)PXFF)(2131ee 2 分3. 设随机变量X在区间0,2上服从均匀分布，求随机变量2XY的概率密度函数)(yfY。答：1, 02( )20,Xxfx其他2 分方法 1：2yx的反函数为 xy ，故() ()() () ,0( )0,0XXYfyyfyyyfyy2分111, 042 240,yyy其他 4 分方法 2：2( )YFyP YyP Xy2 分当0y时：( )0YFy当04y时：2011( )( )22yyYXyFyP XyPyXyfx dxdxy 2 分当4y时：( )1YFy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 故( )( )YYfyFy1, 0440,yy其他 2 分09 级2. 设有三个盒子，第一个盒装有4 个红球， 1 个黑球；第二个盒装有3 个红球， 2 个黑球；第三个盒装有 2个红球， 3 个黑球 . 若任取一盒，从中任取3 个球。（1）已知取出的 3 个球中有 2 个红球，计算此 3 个球是取自第一箱的概率；（2）以 X 表示所取到的红球数，求X 的分布律；（3）若XY2sin，求 Y 的分布律 .解答： （1）设iB“取第 i 箱”(1,2,3)i， A“取出的3个球中有2个红球” ，则212121332234133315551111( )() ()3332iiiCCCCCCP AP B P A BCCC1111()()()2()( )( )5P BP A BP B AP BAP AP A. 2 分（2）3335111100033330CP XC，12123223335511131033310CCC CP XCC，12()2P XP A，1310126P XP XP XPX，因此，X的分布律为X0123P13031012162 分（3）1136P YPX，31110P YP X，800215P YPXP X，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 因此， Y 的分布律为Y101P168153102 分3. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,( ),01,1,1.XxFxabxxx（1）求系数,a b的值及 X 的概率密度函数( )Xfx；（2）若随机变量2YX ，求Y 的概率密度函数( )Yfy.解答： （1）由于连续型随机变量的分布函数)(xF是连续函数，因此：0lim( )(0)xF xF，1lim( )(1)xF xF，即得0,1ab，2 ,01,( )( )0,XXxxfxFx其他.3 分（2） （方法 1）对任意实数 y ，随机变量 Y 的分布函数为：2( )YFyP YyP Xy当0y时：( )0YFy，当0y时：( )YFyPyXy()()XXFyFy ，当01y时：2( )0YFyyy，当1y时：( )101YFy于是，1,01,( )( )0,YYyfyFy其他. 3 分(方法 2) () ()() () ,01( )0,.XXYfyyfyyyfy，其他120,0120,.yyy，其他1,00,0,y其他.3 分08 级精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 2、已知连续型随机变量X 的分布函数为30,0( ), 011,1 xF xcxxx，求： （1）常数 c； （2） X 的概率密度函数；（3）概率112PX。解答：（ 1）连续型随机变量的分布函数为连续函数，故1c；（2）23, 01( )( )0,xxf xFx其他；（3）111 1()( 1)228PXFF。3、设随机变量 X 服从标准正态分布)1 ,0(N，求随机变量2XY的概率密度函数( )Yfy。解答：221( )e2xXfx，2yx的反函数为 xy 和 xy ，因此() ()() () ,0( )0,0XXYfyyfyyyfyy221111ee,022220,0yyyyyy21e,020,0yyyy07 级2、已知连续型随机变量X 的分布函数为0,1( )arcsin,111,1xF xabxxx，求（1）常数a和 b； （2） X 的概率密度)(xf； （3）概率 20PX。解答： （1）由于连续型随机变量的分布函数)(xF是连续函数，将1和1代入)(xF，得到关于a和b的方程：baF2)1(0，baF2)1 (0解得：21a，1b；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - - （2）)(xF对x求导，得 X 的概率密度为21,1( )10,1xf xxx（3） 20PX=1(0)( 2)2FF。3、设随机变量 X 在区间)2 ,1 (上服从均匀分布，求XeY2的概率密度( )Yfy。解答： （解法一）由题设知，X 的概率密度为1 12( )0Xxfx其他。对任意实数 y，随机变量 Y 的分布函数为：2( )XYFyP YyP ey当2ey时：2( )0XYFyP YyP ey；当42eye时：11lnln222111( )ln( )ln122yyXYXFyP eyP Xyfx dxdxy；当4ey时：2( )1XYFyP YyP ey，故22440,1( )ln1,21,YyeFyyeyeye于是，241,2( )( )0,YYeyeyfyFy其他。(解法二 ) 11(ln) (ln) ,0( )220,0XYfyyyfyy111,1ln2220,yy其他241,20,eyey其他第 3 章一、选择与填空精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 11 级3、设随机变量 X 与Y 相互独立， X 在区间 0,3 上服从均匀分布， Y 服从参数为 2 的指数分布，则概率min(, )1PX Y。2、设随机变量(,)X Y服从二维正态分布，且X 与 Y 不相关，( )Xfx、( )Yfy分别为 X 、Y 的概率密度，则在Yy条件下， X 的条件概率密度()X Yfx y 为 A 。(A) ( )Xfx(B) ( )Yfy(C) ( )( )XYfx fy(D) ( )( )XYfxfy10 级3. 设随机变量X与Y 相互独立且都服从参数为(0)的指数分布，则),min(YX服从B 。(A) 参数为的指数分布(B) 参数为 2的指数分布(C) 参数为2的指数分布(D) ),0(上的均匀分布二、计算与应用11 级3、设二维随机变量(,)X Y的联合分布律为Y X1011014001401410140（1）求概率YXP；（2）求X与Y的相关系数XY，并讨论X与Y的相关性，独立性。解答： （1）.3 分（2） ，故。因，故与不相关。2 分由联合分布律显然，所以与不独立。 2 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 1、设二维随机变量(,)X Y的联合概率密度函数为, 01( , )0,Axyyxf x y，其他.求： （1）常数A；（2）(,)X Y的边缘概率密度函数( )Yfy；（3）在yY的条件下， X 的条件概率密度函数)(yxfYX；（4）条件概率2132P XY。解答： （1） .1分.2分（2）.3分（3）当时， 2 分（4） .2 分10 级1. 设二维随机变量(,)X Y的联合概率密度函数为22,1( , )0,Ax yxyf x y其他求： （1）常数 A；（2）(,)X Y的边缘概率密度函数)(yfY；（3）在yY的条件下， X 的条件概率密度函数)(yxfYX；（4）条件概率210YXP。解答： （1）( , )1f x y dxdy1 分211211xdxAx ydxdy421A 2 分（2）522217, 01( )( , )420,yyYx ydxyyfyf x y dx其他3 分（3）当01y时，3223,( , )()=2( )0,X YYx yyxyf x yfx yfy其他2 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - - （4）3002222122133102 22222yyP XYx ydxxdx2 分09 级1. 设二维随机变量),(YX的联合概率密度函数为0,0,e,( ,)0 ,x yxyf x y其它.（1）求关于 X 的边缘密度函数( )Xfx；（2）试判断 X 与Y 是否相互独立？（3）计算1YXP.解答： （1）( )Xfx=( , )f x y dy0e,0,0,0.xydyxxe ,0,0,0.xxx；4 分（2）与（ 1）类似，易知( )Yfye ,00,0yyy，满足( ,)( )( )XYfx yfx fy，因此 X 与 Y 相互独立；4 分（3）1P XY=11100e12exxydxdy. 2 分某次抽样调查结果表明，考生的外语成绩X (百分制 ) 近似服从正态分布),72(2NX，并且分数在 60分至 84 分之间的考生人数占考生总数的% ，试求考生的外语成绩在96 分以上的概率 .解答：根据题意有，1212126084()()2()1PX=% ，4 分故12()0.841，因此12 ，2 分24961()1(2)0.023P X. 2 分08 级1、设二维随机变量(,)X Y的联合概率密度函数为X0)(x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 221,1( , )0,xyf x y其他求： （1） （X，Y）的边缘概率密度函数( )Xfx和条件概率密度()Y Xfy x ；（2）概率P YX；（3）随机变量22ZXY的概率密度函数( )Zfz。1、解答： （1）( )Xfx=( , )f x y dy22111,110,xxdyx其他221,110,xx其他，当11x时：( ,)()( )Y XXf x yfy xfx2221,12 10,xyx其他；（2）1( , )2y xP YXf x y dxdy；（3）22( )ZFzP ZzPXYz当0z时：( )0ZFz；当 01z时：22222211( )( , )ZxyzxyzFzf x y dxdydxdyzz；当1z时：( )1ZFz。因此，2 ,01( )( )0,ZZzzfzFz其他。07 级1、设二维随机变量(,)X Y的联合概率密度函数为, 01( , )0,Axyxf x y其它求（1）常数A；（2） （X，Y）的边缘概率密度函数( )Yfy和条件概率密度函数()X Yfx y ；（3）概率1P XY。1. 解答： （1）由于( , )1fx y dxdy，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 即1001xdxAxdy，推得3A。（2）( )Yfy=( , )f x y dx13,010,yxdxy其他23(1),0120,yy其他，当01y时：( , )()( )X YYfx yfx yfy22,0110,xyxy其他；（3）1P XY=1120134yydyxdx。第 4 章一、选择与填空11 级3、将一枚质量均匀对称的硬币独立地重复掷n次，以 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数为 B 。(A) 1(B) 1(C) 0(D) 0.510 级2. 设随机变量 X 服从参数为(0)的泊松分布，且1 2P XP X，则(1)D X的值为A。(A) 2(B) 3(C) 14(D) 5409 级2. 设 X 和Y为独立同分布的随机变量，X 的分布律为104P X，314PX，令随机变量max(,)ZX Y，则数学期望( )E Z D .(A) 14( B) 34( C) 116( D) 151608 级2、设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则2()P XE X12e。3、设随机变量 X 和Y 的相关系数为，0)()(YEXE，2)()(22YEXE，则2() EXY6。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 07 级2、下面四个随机变量的分布中，期望最大，方差最小的是 B 。( A) X 服从正态分布1(5,)2N( B) Y服从均匀分布(5,7)U( C) Z 服从参数为16指数分布( D) T 服从参数为 3 的泊松分布3、若二维随机变量),(YX的相关系数0XY，则以下结论正确的是 B 。(A) X 与Y 相互独立( B)()()( )D XYD XD Y(C) X 与Y 互不相容( D)()()(YDXDXYD3、设随机变量 X服从参数为的指数分布，则DXXP= 1e。二、计算与应用10 级将 2 封信随机地投入 2 个邮筒， 设随机变量YX ,分别表示投入第 1 个和第 2 个邮筒的信的数目，试求：（1）),(YX的联合分布；（2） X 的数学期望()E X及方差()D X；（3）),(YX的相关系数；（4）判断YX ,是否不相关 . 是否相互独立。解答： （1）Y X0120004110210241004 分（2）X与 Y同分布，且 X的分布为：X012P412141因此1)(XE，23()2E X，1()2D X2 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - - （3）方法 1：1)(YE，1()2D Y，1()2E XY，1cov(,)()()( )2X YE XYE X E Y故1),cov(DYDXYX2 分方法 2：由于2XY，即2YX， X 与 Y 存在线性关系，因此1。2 分（4）相关，不独立2 分09 级4. 设随机变量X 与Y的相关系数1/ 4，()( )1D XD Y，令UXY， VXaY ，且U与V不相关，求常数a.方法 1）cov(,)cov(,)U VXY XaY()( )(1)cov(,)D XaD YaX Y51(1)()( )(1)4aaD XD Ya由于U与V不相关，因此cov(,)0U V，4 分于是1a. 2 分(方法 2) ()()()E UVEXYXaY2211 ()(1)()()1 ( ) 4E XaE X E YaE Y22()()()()()(1)()()( )E U E VE XY E XaYE XaE X E Ya E Y则5cov(,)()()()(1)4U VE UVE U E Va由于U与V不相关，因此cov(,)0U V，4 分于是1a. 2 分08 级2、设随机变量1X和2X的分布律为1X101p412141并且1021XXP。（1）求1X，2X的数学期望以及方差；（2）求12(,)XX的联合分布律；2X01p2121精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - - （3）求1X，2X的协方差；（4）判断1X，2X是否不相关，是否独立。解答： （1）12121110,224E XE XD XD X；（2）X2 X1-10104104110210（3）121212cov(,)()0XXE X XEXEX；（4）由12cov(,)0XX知120X X故12,XX不相关；又(12,XX) 联合分布律中不满足ijijpp p，所以12,XX不独立。设某企业生产线上产品的合格率为0.96，不合格品中只有34的产品可进行再加工，且再加工的合格率为0.8，其余均为废品。已知每件合格品可获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问该企业每天至少应生产多少产品？解答：每件产品的合格率为30.960.040.80.9844，不合格率为，设随机变量X 表示生产每件产品的利润，则X 的分布律为：每件产品的平均利润即()800.984( 20)0.01678.4E X，有20000255.178.4，因此企业每天至少应生产256 件产品。07 级2、设二维随机变量（,X Y）的概率分布为X Y01iP Xx-10X80-20p精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - - jP Yy1（1）请将上表空格处填全；（2）求 X ，Y 的数学期望以及方差EX 、 EY 、 DX 、 DY ；（3）求 X ，Y 的协方差cov(,)X Y以及相关系数XY，并判断,X Y是否不相关，是否独立；（4）记 ZXY，求 Z 的概率分布，并求P XZ。2. 解答： （1）X Y01iP Xx-10jP Yy1（2）0.8,0.8EXEY，0.16,0.16DXDY；（3）cov(,)()0.64( 0.8)(0.8)0X YE XYEXEY，cov(,)0XYX YDXDY，故,X Y不相关，又(,X Y) 联合分布律中满足ijijpp p，所以,X Y也相互独立；（4）P XZ=00.2P Y。07 级已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有3件合格品 . 从甲箱中任取 2 件产品放入乙箱后，求：(1) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率；(2) 乙箱中次品件数的数学期望。解答： （1）设 A0，A1，A2为从甲箱中取到了 0，1，2 个次品；设 B为从乙箱中任取一件次品，则20()() (|)iiiP BP A P BA211233332226661210555CC CCCCC；Z-101P精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - - （2）设 X表示乙箱中次品件数，则X可能取 0，1，2，2326105CP XC；11332631 5C CP XC；13121555P X故 X分布率为320155EX。因此：三、证明10 级1. 设随机变量 X 与 Y 的相关系数为，且满足()( )D XD Y，令UXY，VXY ，证明：U 与V不相关。证明：cov(,)cov(,)()( )0U VXY XYD XD Y2 分即0UV，故 U 与V不相关2 分08 级证明在一次试验中，事件A发生的次数 X 的方差41)(XD。证明： 在一次试验中，事件 A发生的次数 X 为 1 或 0， 设1X的概率为 p ，0X的概率为1p，则 X 的方差211()(1)()42D Xppp14。X012P153515精品资料 - 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