2022年伊朗IMO国家队选拔考试试题.docx

2022伊朗IMO 国家队选拔考试1、莫尔塔扎有100个集合.开始时迈赫迪不知道这些集合，在每轮中他可以选取其中两个不同的集合，然后莫尔塔扎会告诉他这两个集合的交集和并集。试求迈赫迪确定所有这些集合所需要的最小轮次数。2、 对正整数n。记(n)与(n)分别是n的正约数个数与正约数之和.已知正整数a，b满足对任意nN，(an）都能整除(bn)。证明：(a)的每个素因子都能整除(b）。3、三角形ABC的内切圆w分别与CB和CA切于点D和E.点X是点D关于点B的对称点。若直线DE和三角形ABC的旁切圆切于点Z。记三角形XZE的外接圆再次交w于点K.证明BK和AZ的交点在圆w上。4.给定圆内接四边形ABCD。其外接圆圆心为O.点P是对角线AC和BD的交点，记边AD和BC的中点分别为M和N.设ADP，BCP，OMN的外接圆分别为.w1，w2，w3）。w1和w3不在弧APD上的交点为E，w2和w3不在弧BPC上的交点为F。证明：OF=OE。5.试求所有CR，使使得对所有有下界的整数列 若其满足对任意n2都有：，则它是周期的。6.给定正整数m，n和a1，a2，am。阿里和穆罕默德在玩如下这个游戏.在每轮中，阿里选取b1.b2，,bmN，然后穆罕默德选取一个正整数s,并由此得到一个新数列，并用这个数列代替原来的，其中：bm+l=b1，bm+2=b2，.，bm+s=bs.阿里的目标是在有限轮内让所有这些数被n整除，试确定使得无论初值a1，a2，am为何值，阿里总有必胜策略的全体正整数m，n。7.给定正整数元.考虑一个正2n边形，其一条主对角线和x轴平行。若存在一个次数为d的多项式与这个多边形的所有边都相交，且交点都不是多边形的顶点。是确定整数d的最小值。8.三角形ABC满足AB<AC，其内心为I，其旁切圆和BC交于点E.点F在BAC的外角平分线上，使得点E和点F在直线AI的同侧，且AIF=AEB。BC上的点Q满足AIQ=90°。圆wb与FQ，AB相切，且与AB的切点为B，圆wc与FQ，AC相切，且与AC的切点为C.这两个圆都穿过三角形ABC的内部.记M是不含A的弧BC的中点，证明点M在圆wb和wc的根轴上。9.给定平面上的n6个点x1，x2，xn，其中无三点共线。若以x1，x2，xn的图满足其是连通的，每条边都是线段，且边与边不会有顶点之外的交点，则称这个图为道路网络。证明存在三个道路网络，使得它们两两没有公共边。10. 如果一个无穷集合SN满足对两两不同的整数a、b、cS，的所有正约数都在S中，那么我们称这个集合S是好的。对任意正整数n1，证明存在一个好的集合S满足nS。11.考虑一张n行2n列的表格，我们在其中的某些格子中放上障碍物，在此之后将一个机器人放到其中一个空格子中，它开始向上，下，左，右中的某个方向移动。只有当它碰到障碍物或者边界时，它才可以改变自己的移动方向.试确定最小的正整数m，满足我们可以在表格中放上m个障碍物，然后为机器人选取一个起点，使其遍历所有没有被障碍物占据的格子。（机器人无法进入有障碍物的格子.)12.设A是所有闭区问a，bR构成的集合.试确定所有函数f：RA,使得：·xf(y)yf(x)；·.对任意实数0rl.f（r）=r2-l，r2+l.学科网（北京）股份有限公司