2022年机械振动学复习试题.pdf

K2IK1K3Kt1Kt2I1Kt3I23I1Kt4（一）一、填空题（本题15 分，每空 1 分）1、不同情况进行分类，振动(系统 )大致可分成，（ ）和非线性振动；确定振动和（） ；（ ）和强迫振动；周期振动和（） ； （ ）和离散系统。2、在离散系统中，弹性元件储存( )，惯性元件储存（） ，( )元件耗散能量。3、周期运动的最简单形式是（） ，它是时间的单一（）或（）函数。4、叠加原理是分析（）的振动性质的基础。5、系统的固有频率是系统（）的频率，它只与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。二、简答题（本题40 分，每小题10 分）1、 简述机械振动的定义和系统发生振动的原因。（10 分）2、 简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。（10 分）3、 共振具体指的是振动系统在什么状态下振动简述其能量集聚过程（10 分）4、 多自由系统振动的振型指的是什么（10 分）三、计算题（本题30 分）1、 求图 1 系统固有频率。 （10 分）2、 图 2 所示为 3 自由度无阻尼振动系统。(1)列写系统自由振动微分方程式（含质量矩阵、刚度矩阵）（10 分） ；(2)设1234ttttkkkkk，123/5IIII，求系统固有频率（10 分） 。解：1)以静平衡位置为原点，设123,III的位移123,为广义坐标， 画出123,III隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：1111212222213233333243()0()()0()0& & & &ttttttIkkIkkIkk图 1图 2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以：12312222333340010000050 ;0000102101210012ttttttttttIMIIIkkkKkkkkkkkk系统运动微分方程可写为：1122330& & & &MK (a)或者采用能量法：系统的动能和势能分别为222112233111222TEIII&222211212323431111()()2222ttttUkkkk222121232343212323111()()()222ttttttttkkkkkkkk求偏导也可以得到,MK。2)设系统固有振动的解为：112233cosuutu，代入（ a）可得：1223()0uKMuu (b)得到频率方程：222220()25002VkIkkkIkkkI即：222422()(2)(5122)0VkIIkIk解得：2626()5kI和22kI所以：123626626()2()55kkkImI (c)将（ c）代入（ b）可得：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 10-111111236262()056262()50562602()5gggkkIkIukkkIkuIukkkII和1232202250022gggkkIkIukkkIkuIukkkII解得：112131:1:1.82 :1uuu；122232:1: 0:1uuu；132333:1:0.22:1uuu；令31u，得到系统的三阶振型如图：四、证明题（本题15 分）对 振 动 系 统 的 任 一 位 移 x， 证 明Rayleigh商 ( ) TTxKxR xxMx满 足221( )nR x。这里，K和M分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1和n分别是系统的最低和最高固有频率。(提示：用展开定理1122 .nnxy uy uyu)证明：对系统的任一位移x，Rayleigh 商)(xMxxKxxRTT满足221)(nxR精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 这里， K和M分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1和n分别为系统的最低和最高固有频率。证明：对振动系统的任意位移x,由展开定理， x可按 n 个彼此正交的正规化固有振型展开：( )1 niiixy uuy其中： u为振型矩阵， c为展开系数构成的列向量：12 ,.,Tnyy yy所以： ( ) TTTTTTxKxyuKuyR xxMxyuMuy由于：212100 0000100 0000TTnuMuuKuOO因此：21200 00 00 ( ) 100 00 001TTTnTTTyyyuKuyR xyuMuyyyOO222222112222212.nnnyyyyyy由于：22212.n所以：22221112211( )nniniiinniiiiyyR xyy即：221)(nxR证毕。（二）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 一、填空题（本题15 分， 1 空 1 分）1、机械振动是指机械或结构在（静平衡）附近的（弹性往复）运动。2、按不同情况进行分类，振动系统大致可分成，线性振动和（非线性振动）；确定性振动和随机振动；自由振动和和（强迫振动）；周期振动和（非周期振动）； （连续系统）和离散系统。3、(惯性 )元件、 (弹性)元件、 (阻尼 )元件是离散振动系统的三个最基本元素。4、叠加原理是分析(线性振动系统)的振动性质的基础。5、研究随机振动的方法是（统计方法） ，工程上常见的随机过程的数字特征有：（均值），（方差）， （自相关）和互相关函数。6、系统的无阻尼固有频率只与系统的（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。二、简答题（本题40 分，每小题5 分）1、简述确定性振动和随机振动的区别，并举例说明。答：确定性振动的物理描述量可以预测；随机振动的物理描述量不能预测。比如：单摆振动是确定性振动，汽车在路面行驶时的上下振动是随机振动。2、简述简谐振动周期、频率和角频率（圆频率）之间的关系。答：21Tf，其中 T是周期、是角频率（圆频率），f 是频率。3、简述无阻尼固有频率和阻尼固有频率的联系，最好用关系式说明。答：21dn，其中d是阻尼固有频率，n是无阻尼固有频率，是阻尼比。4、简述非周期强迫振动的处理方法。答：1)先求系统的脉冲响应函数，然后采用卷积积分方法，求得系统在外加激励下的响应；2)如果系统的激励满足傅里叶变换条件，且初始条件为0，可以采用傅里叶变换的方法， 求得系统的频响函数，求得系统在频域的响应，然后再做傅里叶逆变换，求得系统的时域响应；3)如果系统的激励满足拉普拉斯变换条件，且初始条件不为0，可以采用拉普拉斯变换的方法，求得系统的频响函数，求得系统在频域的响应，然后再做拉普拉斯逆变换，求得系统的时域响应；5、什么是共振，并从能量角度简述共振的形成过程。答：当系统的外加激励与系统的固有频率接近时候，系统发生共振；共振过程中，外加激励的能量被系统吸收，系统的振幅逐渐加大。6、简述刚度矩阵K的元素, i jk的意义。答：如果系统的第j 个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加的外力就是kij。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 7、简述线性变换U矩阵的意义，并说明振型和U的关系。答：线性变换 U矩阵是系统解藕的变换矩阵；U矩阵的每列是对应阶的振型。8、简述线性系统在振动过程中动能和势能之间的关系。答：线性系统在振动过程中动能和势能相互转换，如果没有阻尼， 系统的动能和势能之和为常数。三、计算题（本题45 分）1、设有两个刚度分别为1k，2k的线性弹簧如图1，计算它们并联时和串联时的总刚度eqk。(5 分) 图 1图 2图 32、一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图2 所示，求系统的固有频率。(15 分)3、 求 如 图3 所 示 的 三 自 由度 弹 簧 质 量 系 统 的 固 有 频 率 和 振 型 。 (25 分 )（ 设13;mmm22 ;mm14;kkk232 ;kkk563 ;kkk）1.解： 1)对系统施加力P，则两个弹簧的变形相同为x，但受力不同，分别为：1122Pk xPk x由力的平衡有：1212()PPPkkx故等效刚度为：12eqPkkkx2)对系统施加力P，则两个弹簧的变形为：1122PxkPxk，弹簧的总变形为：121211()xxxPkk故等效刚度为：12211211eqk kPkxkkkk精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 2. 解：取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0，则当m有转角时，系统有：2222111()()222TEImrImr&21()2Ukr由()0Td EU可知：22()0Imrkr& &即：22/ ()nkrImr（rad/s）3解：以静平衡位置为原点，设123,m m m的位移123,x x x为广义坐标，系统的动能和势能分别为&222112233111222TEm xm xm x22222112123234356211111()()()22222Uk xkxxkxxk xkkx22212123562343212323111()()()222Ukkxkkkkxkkxk x xk x x求偏导得到：1231222235633340010000020 ;00001032021020023mMmmmkkkKkkkkkkkkkk得到系统的广义特征值问题方程：1223()0uKMuu和频率方程：2222320()210220023kmkkkmkkkmV即：222422()(3)(21622)0kmmkmkV解得：2(45)km和23km精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以：123(45)3(45)kkkmmm将频率代入广义特征值问题方程解得：112131:1: 0.618:1uuu；122232:1: 0:1uuu；132333:0.618:1:0.618uuu；（三）一、填空题（本题15 分，每空 1 分）1、机械振动大致可分成为：（）和非线性振动；确定性振动和（）； （）和强迫振动。2、在离散系统中，弹性元件储存( )，惯性元件储存（） ， （）元件耗散能量。3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。4、叠加原理是分析（）系统的基础。5、系统固有频率主要与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。6、系统的脉冲响应函数和（）函数是一对傅里叶变换对，和（）函数是一对拉普拉斯变换对。7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（）运动。答案： 1、线性振动；随机振动；自由振动；2、势能；动能；阻尼3、简谐运动；正弦；余弦4、线性5、刚度；质量6、频响函数；传递函数7、往复弹性二、简答题 （本题 40 分，每小题10 分）1、 简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。（10 分）答：实际阻尼是度量系统消耗能量的能力的物理量，阻尼系数c是度量阻尼的量；临界阻尼是c2enm；阻尼比是/ec c2、 共振具体指的是振动系统在什么状态下振动简述其能量集聚过程（10 分）答：共振是指系统的外加激励与系统的固有频率接近时发生的振动；共振过程中， 外加激励的能量被系统吸收，系统的振幅逐渐加大。3、 简述刚度矩阵 K中元素 kij的意义。（10 分）答：如果系统的第j 个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i 个自由度精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 上施加的外力就是kij。4、 简述随机振动问题的求解方法，以及与周期振动问题求解的区别。（10 分）答：随机振动的振动规律只能用概率统计方法描述，因此， 只能通过统计的方法了解激励和响应统计值之间的关系。而周期振动可以通过方程的求解，由初始条件确定未来任意时刻系统的状态。三、计算题 （45 分）、 （14 分）如图所示中， 两个摩擦轮可分别绕水平轴O1，O2转动，无相对滑动；摩擦轮的半径、质量、转动惯量分别为r1、m1、I1和 r2、m2、I2。轮 2 的轮缘上连接一刚度为k 的弹簧，轮1 的轮缘上有软绳悬挂质量为m 的物体，求：1）系统微振的固有频率； （10 分）2）系统微振的周期； （4 分） 。、 （16 分）如图所示扭转系统。设转动惯量I1I2，扭转刚度Kr1Kr2。1）写出系统的动能函数和势能函数；（4 分）2）求出系统的刚度矩阵和质量矩阵；（4 分）3）求出系统的固有频率；（4 分）4）求出系统振型矩阵，画出振型图。（4 分）、 （15 分）根据如图所示微振系统，1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程；（5 分）2）求出固有频率；（5 分）3）求系统的振型，并做图。（ 5 分）计算题答案：（ 1）系统微振的固有频率；（10 分） ； （2）系统微振的周期； （4 分） 。选取广义坐标x 或；确定 m 的位移与摩擦轮转角的关系，（质量m 的位移与摩擦轮转动的弧长及弹簧的变形量相等）； ，写出系统得动能函数Et、势能函数U；令 d(Et+U)=0.求出广义质量和刚度求出222211rIrImkn，进一步求出Tko2o1r1r2m1 I1mm2 I2kr1kr2I1I2图 1图 2图 3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - . （1）写出系统的动能函数和势能函数（4 分） ； （2）求出系统的刚度矩阵和质量矩阵（4 分） ；（3）求出系统的固有频率（4 分） ； （4）求出系统振型矩阵，画出振型图（4 分） 。令rrrkkkIII2121,1）略2）,1112rkK1001IM3）频率：Ikrn25321Ikrn253224）振型矩阵：618.011618.021511215u振型图（略）（1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程（5 分） ； （2）求出固有频率（5 分） ； （ 3）求系统的振型，并做图（5 分）频率方程：03101221013)(2222kmkmkmk即：0)3( 2)2()3(2222kmkmkm固有频率：mk)22(21 mk322 mk)22(23振型矩阵：11414.0414. 00111414.0111221011112u振型图（略）（四）一、填空题（本题15 分，每空 1 分）1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动 ）和非线性振动；确定性振动和（ 随机振动 ） ； （自由振动 ）和强迫振动。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 2、周期运动的最简单形式是（简谐运动 ） ，它是时间的单一（正弦 ）或（ 余弦 ）函数。3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量 ）和（ 刚度 ）有关，与系统受到的激励无关。4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应 ）和（ 稳态响应 ）组成。5、工程上分析随机振动用（数学统计 ）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、 （自相关函数 ）和（ 互相关函数 ） 。6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数 ）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数 ）函数是一对拉普拉斯变换对。二、简答题（本题40 分）1、什么是机械振动振动发生的内在原因是什么外在原因是什么（7 分）答：机械振动是指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。（3 分）振动发生的内在原因是机械或结构具有在振动时储存动能和势能，而且释放动能和势能并能使动能和势能相互转换的能力。（2 分）外在原因是由于外界对系统的激励或者作用。（2 分）2、从能量、运动、共振等角度简述阻尼对单自由度系统振动的影响。（12 分）答：从能量角度看，阻尼消耗系统的能力，使得单自由度系统的总机械能越来越小；（2分）从运动角度看，当阻尼比大于等于1 时，系统不会产生振动，其中阻尼比为1 的时候振幅衰减最快（ 4 分） ；当阻尼比小于1 时，阻尼使得单自由度系统的振幅越来越小，固有频率降低，阻尼固有频率2d1n； （2 分）共振的角度看， 随着系统能力的增加、增幅和速度增加，阻尼消耗的能量也增加，当阻尼消耗能力与系统输入能量平衡时，系统的振幅不会再增加，因此在有阻尼系统的振幅并不会无限增加。 （4 分）3、简述无阻尼多自由度系统振型的正交性。（7 分）答：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量和刚度矩阵为权正交。其数学表达为：如果当sr时，sr，则必然有00rTsrTsuKuuMu。4、用数学变换方法求解振动问题的方法包括哪几种有什么区别（ 7分）答：有傅里叶变换方法和拉普拉斯变换方法两种。（3 分）前者要求系统初始时刻是静止的，即初始条件为零；后者则可以计入初始条件。（4 分）5、简述刚度矩阵K中元素 kij的意义。（7 分）答：如果系统的第j 个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i 个自由度上施加的外力就是kij。三、计算题（ 45 分）、 （12 分）如图 1 所示的扭转系统。系统由转动惯量I、扭转刚度由K1、K2、K3组成。1）求串联刚度K1与 K2的总刚度（ 3 分）2）求扭转系统的总刚度（3 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 3) 求扭转系统的固有频率（6 分） 。、 （14 分）如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R与 a 均已知。1）写出系统的动能函数和势能函数；（5 分）2) 求系统的运动方程； （4 分）2）求出系统的固有频率。 （5 分）、（19 分） 图 2 所示为 3 自由度无阻尼振动系统，1234ttttkkkkk，123/5IIII。1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程；（6 分）2）求出固有频率；（7 分）3）求系统的振型，并做图。（ 6 分）解：1）串联刚度K1与 K2的总刚度：212112KKKKK2) 系统总刚度：12312K KKKKK3) 系统固有频率：12312K KKKKKII(也可用能量法，求得系统运动方程，即可得其固有频率)解：取轮的转角为坐标，顺时针为正，系统平衡时0，则当轮子有转角时，系统有：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - &2222111()()222TPPEIRIRgg21()2Uka由 ()0Td EU可知：& &222()0PIRkag即：22nkaPIRg（rad/s） ，故2222nPIRgTka（s）解：1)以静平衡位置为原点，设123,III的位移123,为广义坐标， 画出123,III隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：1111212222213233333243()0()()0()0& & & &ttttttIkkIkkIkk所以：12312222333340010000040 ;0000102101210012ttttttttttIMIIIkkkKkkkkkkkk系统运动微分方程可写为：1122330& & & &MK(a)或者采用能量法：系统的动能和势能分别为222112233111222TEIII&222211212323431111()()2222ttttUkkkk222121232343212323111()()()222ttttttttkkkkkkkk求偏导也可以得到,MK。2)设系统固有振动的解为：112233cosuutu，代入（ a）可得：1223()0uKMuu(b)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 得到频率方程：222220()24002kIkkkIkkkIV即：222422()(2)(4102)0kIIkIkV解得：2517()4kI和22kI所以：123517517()2()44kkkImI(c)将（ c）代入（ b）可得：1235172()045172()40451702()4kkIkIukkkIkuIukkkIIggg和1232202240022kkIkIukkkIkuIukkkIIggg解得：112131:1:1.78 :1uuu；（或112131317:1:14uuu）122232:1: 0:1uuu；132333:1:0.28:1uuu；（或 or 112131317:1:14uuu）系统的三阶振型如图：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -