初中数学代数部分知识点总结(共25页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上1.实数1.1有理数1.1.1认识有理数1.正数和负数:(1)像7,1,6,822等这样大于0的数叫做正数，像-3，-14，-155等正数的前面加上“-”（读作负）号的数，叫做负数.(2)0既不是负数，也不是正数.2.有理数：整数和分数统称为有理数.3.数轴：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫数轴.4.相反数：（1）如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0.（2）在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.5.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。例如，2的绝对值等于2，记作2=2；3的绝对值等于3，记作33.1.1.2有理数的大小1在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大2.正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数； 3.两个负数比较，绝对值大的其值反而小 1.1.3有理数的运算1.有理数的加减法（1）有理数加法运算法则：a. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；c. 互为相反数的两个数相加得0；d. 一个数同0相加，仍得这个数.注：一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同。(2) 有理数加法运算律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即 a + b = b + a加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即 ( a + b )+ c = a + ( b + c ).（3）有理数减法运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。如果用字母 a、b表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：a b = a +（b）。注：有理数的加减法可统一成加法，从而有理数加、减混合算式都看成和式，就可灵活运用加法运算律，简化计算。2.有理数的乘法（1）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。（2）有理数乘法的运算律:乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即 a b = b a乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即(ab)c=a(bc)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a(bc)abac.注：a.三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.b.不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.c.几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.3. 有理数的除法（1）倒数：乘积是1的两个数互为倒数.(2)有理数除法则：a.除以一个数等于乘上这个数的倒数,除法运算可以转化为乘法运算.b.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.c.0除以任何一个不等于0的数，都得0.注：0不能作除数.4. 有理数的乘方（1）概念：这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫作底数，n叫做指数，an 读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。例如，23中，底数是2，指数是3，23读作2的3次方，或2的3次幂。一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，通常指数为1时省略不写。（2）运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。5.有理数的混合计算（1）运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按照从左至右的顺序进行；如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。 注：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。可以应用运算律，适当改变运算顺序，使运算简便。1.1.4科学计数法与近似数1.科学计数法：一般地，把一个大于10的数记成a×的形式，其中a 是整数数位只有一位的数（即1a<10），n是正整数，这种记数法叫做科学记数法。2.近似数（1）定义：测量的结果往往只是一个与实际数值很接近的数，我们将此数称为近似数。注：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。（2）误差=近似值准确值（3）有效数字：从左边第一个不是0的数起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。1.2实数1.2.1平方根1.平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根，也就是说，如果=，那么叫做的平方根.注：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0的平方根是0； （3）负数没有平方根.2.算术平方根：如果一个正数的平方等于，即= ，那么这个正数叫做的算术平方根注： (1) 算术平方根是正的。（2）的算术平方根记为 ，读作“根号” ，符号“”读作“根号”.(3) 叫做被开方数3.开平方的概念： 求一个数(0)的平方根的运算，叫做开平方。注：（1）开方与平方是互为逆运算；（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；正的平方根就是这个数的算术平方根；（3）0的平方根是0，0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即；（4）开偶次方根必须被开方数要为非负数。4.平方根与算术平方根的区别在于：定义不同；个数不同：一个正数有两个平方根, 而一个正数的算术平方根只有一个；表示方法不同：正数的平方根表示为, 正数的算术平方根表示为；取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负1.22立方根1.立方根：如果一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根(也叫做三次方根).用式子表示，就是，如果，那么x叫做的立方根.因为3的立方为27，所以27的立方根为3.2.开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 一个数a的立方根用符号“”表示，读作“三次根号a，其中a是被开方数，3是根指数。(注意：根指数3不能省略)。3. 归纳总结： （1）开立方与立方也是互为逆运算；（2）一个数的立方根是唯一的，正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；（3）0的立方根是0。（4）求一个数的立方根，我们可以通过立方运算来求。1.2.3实数1.有理数的概念：任何一个有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数.例如3；2/3；9/11；-3/5；2无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数.例如；.3.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.4.实数的分类：第一种：第二种：5.规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.注：（1）数轴上的数，有表示有理数的点，还有表示无理数的点，所以实数与数轴上的点是一一对应的；（2）数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 6.实数大小（1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数.（2）两个正数，绝对值大的数较大.(3) 两个负数，绝对值小的数较大.2.代数式2.1代数式的认识2.1.1用字母表示数1.偶数：能被2整除的整数，叫偶数。2.奇数：不能被2整除的整数，叫奇数。注：a.当K是整数时，偶数可表示为2K，奇数可表示为2（K-1）。b.用字母表示数，可以把一些数量关系更简明的表示出来。2.1.2代数式1代数式：用加、减、乘（乘方）、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。如：，4，等都是代数式。一个字母或一个数都是代数式。2求代数式的值的步骤:代入，即用数值代替代数式里的字母。计算，即按照代数式指明的运算顺序，计算出结果。注意：书写格式，在把字母所取的数值代入代数式时，必须写上“当时”，表示这个代数式的值是在这种情况下求得的。求某些代数式的值时，有时采取整体代入法来求。2.2整式的认识2.2.1整式的有关概念 1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。2.2.2整式的运算 1、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。单项式和多项式统称整式。用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。2、同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。3、去括号法则括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。括号前是“”，把括号和它前面的“”号一起去掉，括号里各项都变号。4、整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。整式的乘法： 整式的除法：注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。（2） 单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号， 同时还要注意单项式的符号。（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。（6）（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。2.2.3因式分解 1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：（2）运用公式法： （3）分组分解法：（4）十字相乘法：3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。2.3分式2.3.1分式的认识1.分式的定义一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。2.与分式有关的条件分式有意义：分母不为0（）分式无意义：分母为0（）分式值为0：分子为0且分母不为0（）分式值为正或大于0：分子分母同号（或）分式值为负或小于0：分子分母异号（或）分式值为1：分子分母值相等（A=B）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）3.分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。4.分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。5.分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤： 取各分母系数的最小公倍数； 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。2.3.2分式的运算1.分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为2.分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子3.分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。5.分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。6.整数指数幂引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对负整数指数幂一样适用。即 （） （） （） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。2.4二次根式2.4.1二次根式的认识1.定义：式子（0）叫做二次根式。2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； 被开方数中不含分母； 分母中不含根式。3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的性质：（0）（0）0 （=0）；（1）（）2= （0）； （2）2.4.2.二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式=·（a0，b0）； （b0，a>0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算2.4.3二次根式的大小1.根式变形法当时，如果，则；如果，则。2.平方法当时，如果，则；如果，则。3.分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4.分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5.倒数法6.媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7.作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：；8.求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：； 3.方程与方程组3.1方程及方程的解3.1.1一元一次方程1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程一元一次方程的标准形式是：axb=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a0）一元一次方程的最简形式是：ax=b(a0)2.不定方程: 一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。3.代数方程: 代数方程通常指整式方程。有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程。4.等式: 用符号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边性质：两边同加同减一个数或等式仍为等式; 两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。5.方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。6.解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；（4）合并同类项：把方程化成ax=b(a0）的形式；（5）系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。7.矛盾方程：一个方程，如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫矛盾方程3.1.2一元二次方程1.基本概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2（任意）.一次项系数为5（任意），二次项是3（任意不为0）.2.一元二次方程的求根公式：3.一元二次方程的解法：（1）解一元二次方程的直接开平方法如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，则根据平方根的概念可以用直接开平方法来解（2）解一元二次方程的配方法先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，可通过直接开平方法来求方程的解，也就是先配方再求解（3）解一元二次方程的公式法利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）解一元二次方程的因式分解法在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，可先将一边分解成两个一次因式的积，再分别令每个因式为零，通过解一元一次方程，可求得原方程的解3.1.3二元一次方程及其解:1. 定义：每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.2. 二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.3.1.4分式方程1.分式方程的概念 分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 注：分式方程与整式方程都是含有未知数的等式，它们的根本区别就在于分母中是否含有未知数. 2.分式方程的解的步骤：去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为0。3.列分式方程的基本步骤： 审仔细审题，找出等量关系。 设合理设未知数。 列根据等量关系列出方程（组）。 解解出方程（组）。注意检验 答答题。3.2方程组3.2.1二元一次方程组1.二元一次方程组：含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组2二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解3.二元一次方程组的两种解法：（1）代入消元法，简称代入法把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解（2）加减消元法，简称加减法把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解3.二元一次方程组解的情况：3.2.2二元二次方程组1二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为型和型。“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。（1）“二·一”型方程组的解法a.代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。b.逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如 的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意：不要丢掉一个解。此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。以上两种是比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。注意：解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。 也要要防止漏解和增解的错误。（2）“二·二”型方程组的解法a.当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解。b.当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。注意：“二·一”型方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 3.2.3列方程解应用题1.列方程解应用题的一般步骤: （1）审:分析题意,找出数量关系和相等关系. （2）设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整. （3）列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.（4）解:认真仔细.（5）检:有两次检验. (6)答:注意单位和语言完整.2列方程解应用题的常用公式：（1）行程问题： 距离=速度·时间 ；（2）工程问题： 工作量=工效·工时 ；（3）比率问题： 部分=全体·比率 ；（4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；（5）商品价格问题： 售价=定价·折· ，利润=售价-成本， ；（6）周长、面积、体积问题：C圆=2R，S圆=R2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=(R2-r2),V长方体=abc ，V正方体=a3，V圆柱=R2h ，V圆锥=R2h.4.不等式与不等式组1.知识概念：用符号“”“”“ ”“”表示大小关系的式子叫做不等式。2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。6.性质不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。7.一元一次不等式的解法步骤：(1)去分母 (2)去括号 (3)移项 (4)合并同类项 (5)系数化成1 (如果乘数和除数是负数，要把不等号改变方向)8.一元一次不等式组的解法步骤： (1)分别求出不等式组中所有一元一次不等式的解集（2)在数轴上表示各个不等式的解集(3)写出不等式组的解集9.一元一次不等式组的四种情况：5.函数5.1函数的基本知识5.1.1平面直角坐标系1.定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 点P（x,y），则x0,y0；第二象限：（-，+） 点P（x,y），则x0,y0；第三象限：（-，-） 点P（x,y），则x0,y0；第四象限：（+，-） 点P（x,y），则x0,y0；3.坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。4点的对称特征：已知点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号5平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。6各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。7点P（x,y）的几何意义：点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。点P（x,y）到坐标原点的距离为8两点之间的距离：X轴上两点为A、B |AB|Y轴上两点为C、D |CD|已知A、B |AB|=9中点坐标公式：已知A、B M为AB的中点 则：M=( , )10点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y）；将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，yb）；将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，yb）。注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。5.1.2函数的基础知识1变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。2. 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。3.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应3定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象6函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。5.2正比例函数和一次函数5.2.1 正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) k不为零 x指数为1 b取零当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小(1) 解析式：y=kx（k是常数，k0）(2) 必过点：（0，0）、（1，k）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴5.2.2一次函数及性质一般地，形如y=kxb(k,b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kxb即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) k不为零 x指数为1 b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)（2）必过点：（0，b）和（-，0）（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限注：ykx+b中的k，b的作用：k决定着直线的变化趋势 k>0 直线从左向右是向上的 k<0 直线从左向右是向下的b决定着直线与y轴的交点位置 b>0 直线与y轴的正半轴相交 b<0 直线与y轴的负半轴相交（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.3.一次函数y=kxb的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.注：对于ykx+b 而言，图象共有以下四种情况： k>0，b>0 k>0，b<0 k<0，b<0 k<0，b>04.直线y=kxb(k0)与坐标轴的交点(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；(2)直线y=kxb与x轴交点坐标为与 y轴交点坐标为(0，b)5.用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.6.两条直线交点坐标的求法： 方法：联立方程组求x、y 例题：已知两直线yx+6 与y2x-4交于点P，求P点的坐标？7.直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1b2（2）两直线相交：k1k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线8.正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kxb的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.9.一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.10.一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为