湖南省长沙市雅礼中学2021届高三下学期月考(七)数学试题(共18页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上雅礼中学2021届高三月考试卷（七）数 学第卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集为实数集，集合，则ABCD2若，则z的虚部为ABCD3函数的图象大致是ABCD4某新晋网红一线城市鹅城人口模型近似为，其中表示2020年的人口数量，则鹅城人口数量达到的年份大约是（，）A2040年B2045年C2030年D2050年5我们打印用的纸的长与宽的比约为，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为纸张的形状不变已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD为一张纸，若点为上底面圆上弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成的角约为ABCD6十二生肖，又称十二属相，与中国传统文化中的十二地支呈现一一对应关系，分别为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、西鸡、戌狗、亥猪现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学分别随机抽取一件作为礼物甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率是ABCD7唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为ABCD8将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，若P点坐标为，则A0B2C6D10二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到如下整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业闵位分布条形图，则下列结论中正确的是注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指19801989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人A互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D互联网行业中从事技术闵位的人数“90后”比“80后”多10设，则下列不等式中，成立的是ABCD11已知等比数列首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则A为单调递增的等差数列BC为单调递增的等比数列D使得成立的n的最大值为612已知直线l：与抛物线相交于A，B两点，点是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是ABC的面积为D第卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13曲线在点处的切线方程为_14在展开式中，的系数为_15农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为_16设双曲线C：的左、右焦点分别为，过直线l分别与双曲线左、右两支交于M，N两点，且，则双曲线C的离心率为_四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）从条件，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答已知数列的前n项和为，_若，成等比数列，求k的值18（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为梯形，且与均为正三角形，G为的重心（1）求证：平面PDC；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值19（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求A；（2）若D为BC边上一点，且，求20（本小题满分12分）设椭圆离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆C的外切矩形（即矩形的四边所在的直线均与椭圆相切）ABCD的面积S的取值范围21（本小题满分12分）随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度某科技公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当时，建立了y与x的两个回归模型：模型：；模型：当时，确定y与x满足的线性回归方程为（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型、的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益回归模型模型模型回归方程182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数，）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数，）（3）科技升级后，“麒麟”芯片效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过，不予奖励；若芯片的效率超过50%，但不超过，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过，每部芯片奖励4元，记Y为每部芯片获得的奖励，求（精确到0.01）（附：若随机变量），则，22（本小题满分12分）已知函数，（1）当时，讨论函数的零点个数；（2）记函数的最小值为m，求的最小值雅礼中学2021届高三月考试卷（七）数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案CADACAAD1C ，故选C2A 因为，所以z的虚部为，故选A3D ，是偶函数，排除A，时，即，当时，又有，因此，排除B，C，故选D4A 由已知，得，则，近似于，过20年或21年，结合选项选A，故选A5C ，（或补角）为异面直线DE与AB所成的角，设CD的中点为O，过E作底面O，连接OE，OF，E是弧AB的中点，F是弧CD的中点，又平面O，平面OEF，设，则，故，于是，故选C6A 依题意可分类：甲同学选马，则有种情况符合要求；甲同学选牛，则有 种情况符合要求；三位同学抽取礼物的所有情况有种，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率故选A7A 设点A关于直线的对称点，的中点为，故解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选A8D 函数与的所有交点从左往右依次记为、和，且和，和都关于点对称，如图所示：则，所以故选D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分题号9101112答案ABCBCBCDABD9ABC由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的，超过一半，A正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的，超过，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D不一定正确故选ABC10BC，故A错误；因为，所以，故B正确；由对数函数的单调性可得，故D错误；因为，所以，故C正确故选BC11BCD令，则，因为是等比数列，所以，即，B正确；，是公差为的递减等差数列，A错误；，是首项为，公比为q的递增等比数列，C正确；，时，时，时，又，所以使得成立的n的最大值为6，D正确故选BCD12ABD由题意知，抛物线C的准线为，即，解得，故选项A正确；因为，所以抛物线C的方程为：，其焦点为，又直线l：，即，所以直线l恒过抛物线的焦点，设点，因为A，B两点在抛物线C上，联立方程，两式相减可得，设AB的中点为，则，因为点在直线l上，解得，所以点是以AB为直径的圆的圆心，由抛物线的定义知，圆Q的半径，因为，所以，解得，故选项B正确；因为，所以直线l为，由点到直线的距离公式可得，点M到直线l的距离为，所以，故选项C错误；因为，所以弦长，故选项D正确；故选ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即1480，二项式的展开式的第项为，令，则，令，则，则展开式中，的系数为15每个三角形面积是，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可求出该四面体的高为，故四面体体积，因此该六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是16如图，作于D，根据双曲线定义，所以，所以，所以，在中，化简得，所以四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17若选择，因为，所以，两式相减得，整理得即，所以为常数列，所以（或由，利用相乘相消法，求得）所以，又，成等比数列，所以，所以，解得或（舍），所以若选择，由变形得，所以，易知，所以，所以为等差数列又，所以，又时，也满足上式，所以因为，成等比数列，或，又，若选择，因为，所以，两式相减得，整理得，因为，所以是等差数列，所以又，成等比数列，或，又，18（1）设PD的中点为E，连接AE，CE，GF，又G为的重心G，又面PDC，面PDC，平面PDC（2）设O为AD的中点，为正三角形，则平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD过O分别作BC，AB的平行线，建系如图.，易知平面PAD的法向量设平面PBC的法向量为，得，从而，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为19（1）因为，所以，所以，即因为，所以，所以，则因为，所以6分（2）因为，所以，即因为，所以，所以由余弦定理得，则，整理得，即，故因为，所以，所以12分20（1）由题设条件可得，解得，所以椭圆C的方程为4分（2）当矩形ABCD的一组对边斜率不存在时，得矩形ABCD的面积当矩形ABCD四边斜率都存在时，不妨设AB，CD所在直线斜率为k，则BC，AD斜率为，设直线AB方程为，与椭圆联立，可得，由，得由对称性知直线CD的直线方程为，直线AB，CD间的距离，同理可求得BC，AD间的距离为，所以四边形ABCD面积为（等号当且仅当时成立）又，故由以上可得外切矩形面积的取值范围是12分21（1）由表格中的数据，所以，所以可见模型的相关指数小于模型的相关指数所以回归模型的拟合效果更好所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为（亿元）4分（2）当时，由已知可得，所以所以当时，y与x满足的线性回归方程为当时，科技升级直接收益的预测值为亿元当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大8分（3）因为，所以；所以（元）12分22（1）的定义域为，当时，单调递增，又，所以函数有唯一零点；当时，恒成立，所以函数无零点；当时，令，得当时，单调递减；当时，单调递增所以，故当时，所以函数无零点综上所述，当时函数无零点；当，函数有一个零点4分（2）由题意得，则，令，则，所以在上为增函数，即在上为增函数又，所以在上存在唯一零点，且，即当时，在上为减函数，当时，在上为增函数，的最小值因为，所以，所以由得，易知在上为增函数因为，所以，所以在上存在唯一零点，且，当时，在上为减函数，当时，在上为增函数，所以的最小值为，因为，所以，所以，又，所以，又函数在上为增函数，所以，因为，所以，即在上的最小值为012分专心-专注-专业