自动控制原理-第7章-系统性能与校正(共30页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第7章 系统的性能分析与校正控制系统良好的稳定性是其正常工作的必要条件，在进行系统设计时往往发现设计出来的系统不能满足指标的预期要求，且有时相互矛盾。如当提高系统的稳定精度时，其稳定性下降；反之系统有了足够稳定性时，精度又可能达不到要求，这就要求调整系统中原有的某些参数，或者在原系统中加入某些环节使其全面满足给定的设计指标要求。7.1 频域性能指标与时域性能指标关系一个控制系统可以分为被控制对象和控制器两大部分。被控制对象包括了执行器，它是推动负载对象的基本部分，其结构在全工作过程中，结构形式和参数属于不可变的，通常称为系统的固有部分；如何设计出一个符合系统的性能指标要求的控制器，成为反馈控制系统研究的重要内容。这一节侧重讨论系统性能指标，根据性能指标设计控制器将在本章中讨论。控制系统的性能包括稳定性、快速性、准确性、抗干扰能力。分别从以下五个方面说明：(1) 稳定性指在干扰去除后，系统恢复原有工作状态的能力。稳定性与惯性不同，惯性是系统试图保持原有运动状态的能力。(2) 瞬态性能指系统受到输入作用后，系统输出和内部状态参数在整个时间过程中表现出来的特性。控制系统分析与设计中，对单输入单输出系统，通常关心系统在输入作用后较短时间内，输出的结果；侧重讨论响应过渡过程中各时间指标和动态误差的变化规律。(3)准确性能指系统受到输入作用后，系统输出和内部状态参数在足够长的时间后表现出来的特性。主要讨论足够长时间后，系统稳态误差与系统结构及输入信号形式的关系和特征。(4) 对参数变化的不敏感性指当系统中结构参数变化时，系统保持原有运动状态的能力。(5) 抗噪声能力指当系统承受噪声污染后，系统保持原有运动状态的能力。抗噪声能力是系统抗外部干扰的能力；而对参数变化的不敏感性是系统抗内部干扰的能力。抗噪声能力强调干扰的持续作用，这一点有别于稳定性。从控制系统工程实现的基本要求上，设计出一个性能优越的系统，其基本任务是使系统的稳定性储备充足、快速性好且被控制量准确。系统对参数变化的不敏感性和抗噪声能力不在本书讨论范围内，因此，这里讨论的性能指标也就是稳定性储备、快速性、稳态误差和误差准则。稳定性在前面已经讨论，使用误差来改善系统性能指标将在本节最后误差准则中讨论。控制系统可以在频率域和时间域内进行分析，因此，讨论系统快速性的指标相应地有时域性能指标和频域性能指标两种指标形式，两种性能指标间存在相互等价转换的关系，在下面分别进行讨论。-+xixo 图7-1 单位反馈系统 7.1.1 时域性能指标时域性能指标包括瞬态性能指标和稳态性能指标。为了系统的时域性能指标分析上的方便并具有可比性，现约定：(1) 设计的闭环系统为单位反馈系统，如图7-1所示；(2) 取输入信号为单位阶跃函数，即Xi(s)=1/s；(3) 系统的初始状态为零状态。为了表征系统的时域瞬态性能指标，一典型系统对单位阶跃输入信号的响应曲线如图7-2所示，对应的理论输出达到稳态时响应值等于参考输入，特规定如下性能指标。1. 延迟时间td：输出量第一次达到稳态值一半的时间。xo(t)0t0.10.50.91MptptstrtdD=±0.02或±0.05图7-2单位阶跃响应曲线 2. 上升时间tr：输出量第一次达到稳态值xo()的时间。对于无振荡的系统，常把响应曲线由稳态值的10%到90%的时间作为上升时间。3. 峰值时间tp：输出量第一次达到峰值的时间。4. 过渡过程时间或调整时间ts：输出量xo(t)与稳态值xo ()之间的差值达到允许范围D并维持在此范围内所需的时间。D为稳态误差的允许值，一般取D为2%或5%。5. 超调量Mp：输出量最大值xop超过xo ()或给定值的百分数，超调量有时被称为最大超调量，表示为 (7-1)一般情况下，要求Mp值在5%35%之间。6. 振荡次数N：在调节时间ts 内，输出偏离稳态值的振荡次数。上述几项指标中，上升时间tr 及调整时间ts标志暂态过程的快速性，而超调量Mp及振荡次数N标志暂态过程的准确性。系统的误差也属于时域性能指标范围，由于在定义调整时间概念时使用了允许稳态误差，因此，第4章的误差分析用于评价系统的误差特性而不作为性能指标来要求系统，使用误差来改善系统性能指标将在本节最后误差准则中讨论。7.1.2 频域性能指标频域性能指标包括稳定性储备指标和闭环频率性能指标。稳定性储备指标主要有：(1) 幅值储备Kg；(2) 相位储备g；(3) 剪切频率wc。闭环频率指标主要有：(1) 复现频率wm和复现带宽0wm；(2) 谐振峰值Mr及谐振频率wr；(3) 截止频率wb及截止带宽0wb。这里讨论闭环频率性能指标。设反馈系统的闭环幅频特性曲线如图7-3所示，对应的闭环对数幅频特性曲线如图7.4所示所示，闭环系统频率域主要特征量表述如下：(1) 零频值：是指频率等于零时的闭环幅值，即，记为A(0)。当A(0)=1 (即=0)时，则系统阶跃响应的终值等于输入信号的幅值，稳态误差为零。当时，则系统存在稳态误差，故零频幅值反映了系统的稳态精度。(2) 谐振峰值Mr：若记对数幅频特性的最大值为Amax，则谐振峰值定义为Amax/ A(0)，记为Mr。发生谐振峰值Mr对应的频率称谐振频率wr。由此定义，对二阶系统，可以求得 (7-2)较大的Mr意味着系统的阻尼比小，阶跃响应将有较大的超调量，平稳性差；谐振峰值越大则稳定储备也就越小。一般情况下，要求Mr =1.21.5，以使得系统有适度的振荡，从而具有较好的快速性。(3) 截止频率及截止带宽：如图7-4所示，当闭环对数幅频特性相对于零频值A(0)下降3dB时的对应频率wb，称为截止频率或带宽频率。截止频率的范围称截止频率带宽或简称为带宽，即。在如图7.3所示闭环幅频特性图中，wb是闭环幅值曲线上0.707A(0)处所对应的频率。截止频率带宽频率范围越大，表明系统复现快速变化信号的能力越强，系统快速性好，阶跃响应上升时间和调整时间短；但另一方面系统抑制输入端高频噪声的能力弱。输入信号频率大于截止频率时，其响应幅值被大幅度衰减。(4) 复现频率和复现带宽：如图7-4所示，复现频率是指幅频特性值与零频值之差不超出规定的幅值允许误差D所对应的最大频率，记为wm；复现频率的范围称复现带宽，即。复现带宽表征了系统复现低频输入信号的能力，换言之，认为系统不能正确响应频率大于wm的输入信号；通常都不希望系统工作中产生谐振，于是，允许误差D的选取应该使wm <wr 。wrw0.5w0w图7-3 闭环幅频特性曲线 wbA(0) Amax0.707A(0) 0.5A(0) 0 Dwm 图7-4 闭环对数幅频特性曲线 wwb3dB20lg|G(j0)| 20lg|G(jw)| wr20lg|G(jwr)|7.1.3频域指标与时域性能指标的相互关系这里主要讨论用以描述控制系统性能的时域性能指标与频域性能指标之间的关系，从而揭示出从不同角度、根据不同的方法来分析与设计控制系统的内在联系。1. 闭环频率特性特征量与时域指标的关系(1) 一阶系统其闭环传递函数为其带宽为在第三章时域分析中可知，当取允许误差D=5%时因此有关系可见，带宽频率和调整时间成反比，和上升时间成反比。(2) 欠阻尼二阶系统设欠阻尼二阶系统为 (7-3)在时域分析中可知、和根据闭环幅频特性及带宽频率定义可知得wb与wn的关系式如下： (7-4)可见，带宽wb与自然频率wn成正比。由此，可以推知，ts、tr和tp也都和wb成反比。由tp表达式和式(7-2)代入中，可得 (7-5)通过推导，超调量Mp和调整时间ts与谐振峰值Mr的关系式如下：´100% (7-6) (7-7)(3) 高阶系统高阶系统的Mr、wb与时域指标之间的关系也是确定的，其解析表达式难以求解，这里介绍一个根据闭环幅频特性曲线来估算时域指标的经验公式。参照图7-4所示，时域性能指标的估算公式为 (7-8) (7-9)2. 闭环带宽与开环剪切频率的关系系统的剪切频率wc和闭环的带宽频率wb之间有密切关系。wc大，wb也大；反之，wc小，wb也小。因此，也常用wc来衡量系统的响应速度。对二阶系统，剪切频率可由|G(jwc)|=1求得，为 (7-10)由式(7-10)解出wn代入式(7-4)，得 (7-11)计算可知，当x=0.4时，wb =1.6wc；x=0.707时，wb =1.55wc；初步设计时，可取wb »1.6wc。初步设计时，如果系统主要特性由主导极点支配，则可仿照二阶系统，取wb =(1.51.6)wc来近似计算；对闭环特性近似为三阶的高阶系统，取wb =1.3wc来近似计算，待设计后再进一步修正。3. 开环对数频率特性和时域指标的关系下面介绍由开环对数频率特性曲线的特征量g 和wc来估算时域指标。相位储备g 是在频域内描述系统稳定程度的指标，而系统的稳定程度直接影响时域指标Mp和ts，因此，g 必定与Mp和ts存在内在联系。对式(7-3)所表达的二阶系统，其相位储备为(7-12)将式(7-10)代入(7-12)式，得 (7-13)式(7-13)表明，g 越大，x也越大；g 越小，x就越小。由开环对数幅频特性求时域指标的方法：首先从开环对数幅频特性曲线上求得wn和g值，然后通过式(7-13)计算x值，最后由x值便可计算Mp、tp和ts。7.1.4误差准则对稳定的系统，希望其控制性能优良。控制系统的误差e是希望输出yd与其实际输出y之差值，将此差值以某误差性能指标规则或函数规律在时间0到¥上进行积分，由于该积分是系统参数的函数，若此积分取得极值，则可以获得优良性能的控制系统。这一积分称为误差准则。若记误差e=yd-y，误差准则的性能指标，通常有如下表7-1所示形式。表7-1 常用误差准则表序号积分准则积分形式适应场合主要效果和不足1误差平方侧重大误差，特别是初始大误差过渡过程时间较短；稳定储备较差。2时间乘误差平方侧重过渡过程后期误差过渡过程时间较长。3广义误差侧重大误差和误差变化率(t为误差变化率权重系数)过渡过程时间较短；过渡过程输出曲线较平滑。4绝对误差侧重初始误差过渡过程时间较短；不适宜于过阻尼或过分欠阻尼系统；用解析法不易求解。5时间乘绝对误差侧重过渡过程后期误差超调小；用解析法不易求解6时间乘绝对误差及绝对误差变化率侧重过渡过程后期误差及其变化率有良好的动态性能；用解析法不易求解。误差准则主要是通过对系统性能指标提出要求，选择期望的权重因素，即对系统性能指标影响大且该指标不够理想的因素，然后对误差积分取得极值从而求得使系统性能最佳的结构参数。误差准则作为控制系统设计的一个方面，其主要意义在于利用误差规则来选择结构参数，以改善系统性能。由于准则的合理选取依赖设计者对系统性能与结构参数的关系的深入理解；同时，误差准则大多用解析法不易求解。下面通过例子说明利用误差准则求解的过程。-+图7-5 二阶系统框图E(s)X(s)Y(s)例7-1设有如图7-5所示单位反馈二阶控制系统，其输入为单位阶跃信号，分别按误差平方积分准则、时间乘误差平方积分准则和广义误差平方积分准则，求解使系统性能最佳的结构参数x。解：由系统框图知，系统误差信号的拉氏变换为将上式拉式反变化得，(1)按误差平方积分准则求解最佳x误差平方为取的拉氏变换，记为F(s)，有因为，所以，。对I求极值，即，解得x=0.5。由于，所以在x=0.5时性能指标I具有极小值，其值为1。(2) 按时间乘以平方误差准则求解最佳x由拉氏变换的微分定理知，因此，求，解得x=0.595。(3) 按广义误差平方积分准则求解最佳x广义误差平方积分准则为：，取t=1，有其中，e(t)在上面已经求得，现给出：得，于是，由，解得x=0.707。从本例可以看出，采用不同的误差准则求解得到的结构参数是有区别的。使用误差准则时应特别注意控制系统必须是稳定的，因为不稳定系统的误差是发散的。7.2 利用开环频率特性分析系统的性能在频域中对系统进行分析、设计时，通常是以频域指标作为依据的，但是不如时域指标来得直接、准确。因此，须进一步探讨频域指标与时域指标之间的关系。考虑到对数频率特性在控制工程中应用的广泛性，本节将以Bode图为基点，首先讨论开环对数幅频特性曲线的形状与性能指标的关系，然后根据频域指标与时域指标的关系估算出系统的时域响应性能。实际系统的开环对数幅频特性一般都符合如图7-6所示的特征：左端（频率较低的部分）高；右端（频率较高的部分）低。将人为地分为三个频段：低频段、中频段和高频段。低频段主要指第一个转折点以前的频段；中频段是指截止频率附近的频段；高频段指频率远大于的频段。这三个频段包含了闭环系统性能不同方面的信息，需要分别进行讨论。图7-6 对数频率特性三频段的划分需要指出，开环对数频率特性三频段的划分是相对的，各频段之间没有严格的界限。一般控制系统的频段范围在之间。这里所述的“高频段”与无线电学科里的“超高频”、“甚高频”不是一个概念。7.2.1 低频渐近线与系统稳态误差的关系系统开环传递函数中含积分环节的数目（系统型别）确定了开环对数幅频特性低频渐近线的斜率，而低频渐近线的高度则取决于开环增益的大小。因此，对数幅频特性曲线低频段渐近线集中反映了系统跟踪控制信号的稳态精度信息。根据对数幅频特性曲线低频段可以确定系统型别和开环增益，利用第4章中介绍的静态误差系数法可以确定系统在给定输入下的稳态误差。7.2.2 中频段特性与系统动态性能的关系开环对数幅频特性的中频段是指截止频率附近的频段。设开环部分纯粹由积分环节构成，图7-7（）所示的对数幅频特性对应一个积分环节，斜率为，相角，因而相位裕度；图7-7（）的对数幅频特性对应两个积分环节，斜率为，相角，因而相位裕度。图7-7 中频段对稳定性的影响 一般情况下，系统开环对数幅频特性的斜率在整个频率范围内是变化的，故截止频率处的相位裕度应由整个对数幅频特性中各段的斜率共同确定。在处，曲线的斜率对相位裕度的影响最大，远离的对数幅频特性，其斜率对的影响就很小。为了保证系统有满意的动态性能，希望曲线以的斜率穿过线，并保持较宽的频段。截止频率和相位裕度是系统开环频域指标，主要由中频段决定，它与系统动态性能指标之间存在着密切关系，因而频域指标是表征系统动态性能的间接指标。 1 二阶系统典型二阶系统的结构图可用图7-8表示。其中开环传递函数为图7-8 典型二阶系统结构图相应的闭环传递函数为（1）和Mp的关系: 系统开环频率特性为 （7-14）开环幅频和相频特性分别为在处，即亦即解之，得 （7-15）当时，有由此可得系统的相位裕度为 （7-16）将式（7-15）代入式（7-16），得 （7-17）根据式（7-17），可以画出和的函数关系曲线,如图7.9所示。另一方面，典型二阶系统超调量 （7-18）为便于比较，将式（7-18）的函数关系也一并绘于图7.9中。从图7-9所示曲线可以看出：越小（即小），就越大；反之，越大，就越小。通常希望。 图7-9 二阶系统、与的关系曲线 图7-10 二阶系统与的关系曲线（2）、与的关系：由时域分析法可知，典型二阶系统调节时间（取时）为 （7-19） 将式（7-19）与式（7-15）相乘，得 （7-20）再由式（7-17）和式（7-20）可得 （7-21）将式（7-21）的函数关系绘成曲线，如图7-10所示。可见，调节时间与相位裕度和截止频率都有关。当确定时，与成反比。换言之，如果两个典型二阶系统的相位裕度相同，那么它们的超调量也相同（见图7.9），这样，较大的系统，其调节时间必然较短（见图7-10）。例7-2 二阶系统结构图如图7-11所示。试分析系统开环频域指标与时域指标的关系。解 系统的开环传递函数为式中，转折频率为。若取 （7-22）图7-11 系统的结构图 图7-12 系统的对数幅频特性则开环对数幅频特性如图7-12所示。系统的相角裕度为根据所求得的值，查图7-9可得，。由图7-10查得。再由式（7-19），得 若增加开环增益，则图7-12的对数幅频特性曲线向上平移，右移。当移至更靠近时，相位裕度变得较小，超调量自然变大。例如，若选时，则相角裕度，从上述曲线查得，。若值进一步加大，则将落在斜率为的高频渐近线段上，相位裕度将变得更小，超调量就更大。2. 高阶系统对于一般三阶或三阶以上的高阶系统，要准确推导出开环频域特征量（和）与时域指标（和）之间的关系是很困难的，即使导出这样的关系式，使用起来也不方便，实用意义不大。在控制工程分析与设计中，通常采用下述两个近似公式由频域指标估算系统的动态性能指标： （7-23） （7-24）7.2.3 高频段对系统性能的影响 的高频段特性是由小时间常数的环节构成的，其转折频率均远离截止频率，所以对系统的动态响应影响不大。但是，从系统抗干扰的角度出发，研究高频段的特性是具有实际意义的，现说明如下。对于单位反馈系统，开环频率特性和闭环频率特性的关系为在高频段，一般有，即。故由上式可得即在高频段，闭环幅频特性近似等于开环幅频特性。 因此，特性高频段的幅值，直接反映出系统对输入端高频信号的抑制能力，高频段的分贝值越低，说明系统对高频信号的衰减作用越大，即系统的抗高频干扰能力越强。 综上所述，我们所希望的开环对数幅频特性应具有下述性质： （1）如果要求具有一阶或二阶无差度（即系统在阶跃或斜坡作用下无稳态误差），则特性的低频段应具有或的斜率。为保证系统的稳态精度，低频段应有较高的分贝数。 （2）特性应以的斜率穿过零分贝线，且具有一定的中频段宽度。这样，系统就有足够的稳定裕度，保证闭环系统具有较好的平稳性。 （3）特性应具有较高的截止频率，以提高闭环系统的快速性。（4）特性的高频段应有较大的斜率，以增强系统的抗高频干扰能力。7.3 系统校正一个系统的性能指标总是根据它所要完成的具体任务规定的。一般情况下，几个性能指标的要求往往是互相矛盾的。例如，减小系统的稳态误差往往会降低系统的相对稳定性，甚至导致系统不稳定。在这种情况下，就要考虑哪个性能要求是主要的，首先加以满足；在另一些情况下，就要采取折衷的方案，并加上必要的校正，使两方面的性能要求得到适当满足。所谓校正或称补偿，就是指在系统中增加新的环节，以改善系统性能的方法。7.3.1 系统的校正方式及特点按照校正装置在系统中的连接方式不同可以分为串联校正和反馈校正两种基本校正方式。1 串联校正 校正环节和原系统之间是串联的关系，这样的校正方式称为串联校正，如图7-13所示。是原系统传递函数，就是串联校正环节。通常为了减小校正环节消耗的能量，串联校正环节一般都位于前向通道功率等级较小的位置。2 反馈校正 反馈校正又称为并联校正，校正环节放在局部反馈通道中。如图7.14所示。图中，、是系统原始传递函数，是反馈校正环节，该校正方式要检测输出量Xo(s)，经过运算处理后反馈到输入端进行控制。按照对检测到的输出量的处理方法不同，可以分为位置反馈、速度反馈和加速度反馈三种。图7-13 串联校正方框图图7-14 反馈校正方框图串联校正和反馈校正各有特点，串联校正更容易对已有的传递函数进行各种变换，其物理实现也比较容易，成本较低。反馈校正的设计比串联校正复杂，有时要使用比较昂贵的传感器，但它能消除被包围部分的参数波动对系统性能的影响。因此，对于技术要求不高、结构简单、成本低的系统，可采用串联校正。若系统有特殊要求时，特别是被控对象参数不稳定时，应采用反馈校正。在对系统指标要求较高的情况下，可以同时使用反馈校正和串联校正。串联校正和反馈校正一般都位于系统主反馈内部。如下图7-15所示。图7-15 串联、反馈校正方框图7.3.2 校正装置的设计方法对于线性控制系统，当设计系统要求的是时域性能指标时，一般在时域内进行系统设计。对三阶和三阶以上系统一般简化为低阶系统，然后进行分析设计。当系统给出的是频域性能指标时，一般在频域内进行系统设计。它使用开环系统Bode图作为分析的主要手段。在Bode图上，可以很方便的根据频域指标确定校正装置的参数。这是因为开环Bode图表征了闭环系统稳定性、快速性和稳态精度等方面的指标。在Bode图低频段，表征了闭环系统的稳态性能；中频段表征了闭环系统的动态性能和稳定性；高频段表征了闭环系统的噪声抑制能力。所以在频域内设计闭环系统时，就是要在原频率特性内加入适合的校正装置，使整个开环系统的Bode图变成所期望的形状。本章系统校正主要采用频域内的分析法，对开环系统的Bode图进行改造使其满足要求的指标。校正计算完成后应当检验校正后系统是否满足全部性能指标要求，如不满足则应修正，有时需反复计算才能取得满意的结果。7.4 串联校正按照校正环节相频特性的性质不同，串联校正可分为增益调整、相位超前校正、相位滞后校正、相位超前-滞后校正四种。7.4.1 超前校正1 超前校正环节的特点图7-16是超前校正网络的电气原理图，它实际上是采用RC元件的无源高通滤波器。图 7-16 超前校正环节电气原理图该环节以为输入电压，为输出电压，其传递函数是：，式中 ，。由以上传递函数可见：此环节的开环增益为，且。因此，当它串联在系统后，会使原系统的稳态误差增大。为消除影响，在下面的讨论中，都采用一个放大倍数是1/的比例环节与超前校正环节串联使用，其总的传递函数是 。 (7-25)与比例环节串联后，新的超前环节的Bode图如图7-17所示。从Bode图上可以看出，超前环节具有通高频阻低频的特点。图7-17 超前校正环节的波德图由式（7-25)可得相频特性： 。可见，当频率从0到变化时，其相位均大于零，这说明正弦信号通过该环节后，输出信号比输入信号具有超前的相位，这也是超前环节名称的由来。的极值可由对求导得来。 得， (7-26)因此，。 (7-27)由式（7-26）可求出：又因为，所以在对数横坐标轴上，恰好位于转折频率和的几何中心。取得越小，越大，其相位超前作用越强。经过校正以后，闭环系统带宽增大，系统响应速度加快。另外，由于超前环节的正相移作用，对数相频特性曲线上移，因此校正后系统相位裕度增大，相对稳定性增加。但是系统高频段叠加了正的分贝值，因此校正后系统高频段幅频特性明显上翘，表明系统高频段增益增加，对噪声的抑制能力降低，这也是使用超前校正的缺点。使用频率法进行串联超前校正的一般步骤归纳如下：（1）根据稳态误差的要求，确定原系统的开环增益K。（2）利用已确定的开环增益K，绘出原系统的开环Bode图，并计算未校正系统的相位裕度。（3）根据系统要求的性能指标，确定需要产生的最大超前角，公式为： 其中：是校正后要求达到的相位裕度。考虑到校正后，系统新的剪切频率将比原剪切频率增大并右移，使系统相位裕度减小，因此，在的计算公式中增加了作为补充。根据，由式（7-27）可以计算出的数值。（4）把校正装置的最大超前角频率确定为系统新的剪切频率，即要求原系统Bode图在处的幅值为-，从而确定，也就是新系统的剪切频率。由得出的和及式（7-26）可求出校正装置的另一个参数T。（5）根据T和计算校正装置的传递函数。（6）验算校正后系统的性能指标是否满足要求，如果不满足就需重选参数进行校正。求解的流程可简单表示如下：KT。例7-3系统开环传递函数是，对该系统的要求是：系统相位裕度，静态速度误差系数。求校正装置的传递函数。解 （1）由稳态指标要求，求得K=1000。（2）画出未校正系统的开环Bode图如图7-18中虚线所示。解得剪切频率=100，所以相位裕度。系统处于临界稳定状态。（3）考虑加入超前校正装置，系统叠加正的相位，使相位裕度达到要求。确定需要产生的最大超前角，由，取相位增加的补充值是，得，由，解得。（4）因位于处，所以，求得超前校正环节在处的幅值为=8.8dB，在原伯德图上可以计算出幅值为-8.8dB的频率为166rad/s，此即校正后系统新的剪切频率，=166rad/s，又，得。（5）校正环节的传递函数 。校正后系统的传递函数 。图7-18 超前校正的开环伯德图（6）校正后开环系统的Bode图如图7-18中实线所示。其相位裕度，满足要求。从上例可见，利用超前环节进行校正，不是利用其通高频阻低频，而是利用它相位超前的特性，在某一频率范围内使其相频特性曲线上翘，增大相位裕量，提高相对稳定性。采用超前校正后，系统的剪切频率右移，闭环系统带宽增加，但也减弱了对噪声的抑制作用。超前校正多用于对系统快速性要求较高的场合，如流量控制、随动系统等。7.4.2 滞后校正1滞后校正环节的特点图7-19是滞后校正环节的电气图，它实质上也是一个无源RC网络，此环节的传递函数是：，式中：，。它的Bode图如图7-20所示。在幅频特性上，低频段增益不变，而高频段增益下降，因此滞后环节具有通低频阻高频的特点。环节的相频特性，因，所以，也就是输出信号的相位滞后于输入信号的相位，这也是滞后环节名称的由来。图7-20 滞后环节的Bode图令最大滞后角度处的频率为，则可由对求导得来。， 解得：。因此，。根据对数坐标的关系，容易求得位于转折频率和之间。Bode图上，处的幅值：。利用滞后环节进行校正，不是利用其相位滞后的性质，而是主要利用其高频幅值衰减性能。在图7-20中，1/T之后的幅值都衰减了20，而之前幅值保持不变，因此，如果保持高频段增益不变，就相当于低频段增益增大，而低频段增益越大，稳态误差就越小。另外，滞后校正使已校正系统的剪切频率下降，从而可能使系统获得足够的相位裕度，增大了系统的相对稳定性。2滞后校正环节的应用如图7-21所示系统，原系统开环Bode图如虚线所示，滞后校正环节的Bode图如点画线所示。很显然，原系统的相位裕度和幅值裕度均为负值，因此系统不稳定。采用滞后校正，一般要使滞后环节的转折频率1/T远离原剪切频率，这一方面减小了相位滞后对相位裕度值的影响，另一方面，由于校正环节低频段幅频特性是0dB，因此对原系统低频段幅频特性影响很小，校正后系统的稳态精度不受影响。校正后的系统开环Bode图如实线所示，系统的剪切频率左移，幅值裕度和相位裕度均变为正值，系统稳定性增强。但是，采用滞后校正后，系统的减小，闭环系统带宽减小，系统响应速度减慢，但高频抗干扰能力增强。利用滞后校正装置在频域内进行校正的具体步骤为：（1）根据稳态误差的要求，确定原系统的开环增益K。（2）利用已确定的开环增益K，绘出原系统Bode图并计算未校正系统的相位裕度和剪切频率c，看其是否满足要求。（3）在原Bode图上选择c作为新的剪切频率，使其对应的相位裕度为，且满足：其中，是校正后系统要求的相位裕度。考虑到校正后，串联滞后校正装置将产生相位滞后，比要求的相位裕度增加了。（4）计算出原系统在c处的对数幅频特性幅值，为使校正后系统的剪切频率为c，确定滞后校正装置高频衰减的数值，即：-20lg+ =0，由此求得。（5）为减小滞后校正装置相位滞后特性对系统相位裕度的影响，滞后校正装置的剪切频率应远离c，可取：，由此可确定T。（6）根据T和计算校正装置的传递函数。（7）验算校正后系统的性能指标，如果不满足，可重新计算。求解的流程可简单表示如下：KcT。-R(s)C(s)图7-22 系统的控制框图 例7-4 设控制系统如图7-22所示，若要求校正后系统的静态速度误差系数等于30，相位裕度不小于40°，幅值裕度不小于10dB，剪切频率不小于2.3rad/s，试设计串联校正装置。解：根据稳态误差的要求，确定K=30。作出未校正系统的开环Bode图，如图7-23虚线所示。可以求出c=12，=-27.6°。根据，取=46°，在Bode图上求出相位为46°时对应的频率c =2.7（满足剪切频率不小于2.3的要求），以此作为校正后系统新的剪切频率，并求得=21dB由-20lg+ =0，得=11.22取，T=3.7s。串联滞后校正装置的传递函数为：在图7-23中绘制了校正装置以及校正后系统的开环传递函数的对数幅频特性曲线。校正后系统的性能指标为：c=2.7rad/s，=41.3°，g=6.8rad/s，20lgKg=10.5dB，满足要求。采用滞后校正后，开环系统的剪切频率左移，系统调节时间加长，稳定性增加，多用于对快速性要求不高，但对稳态精度要求较高的场合，如恒温控制。7.4.3 滞后-超前校正采用超前校正可以增强系统的快速性和相对稳定性，但对稳态精度改善不大；采用滞后校正可以增大系统的稳态精度和相对稳定性，但却有损于快速性。如果采用滞后-超前校正，就可能既会提高系统的快速性，又增加系统的稳态精度。滞后-超前校正环节的电气图如图7-24所示。其传递函数为：分母多项式化为：=令且，则：，令，那么，可见滞后-超前环节是由滞后环节和超前环节串联而成，滞后-超前环节的Bode图如图7-25所示，滞后-超前校正的作用如图7-26所示。图7-25 滞后-超前环节的Bode图图7-26 滞后-超前校正的作用 图7-26中虚线代表原系统，点画线表示滞后-超前环节，实线表示校正后的系统。由图分析可见，原系统相位裕度较小。采用滞后-超前校正后，由于超前环节的正相移作用，相位裕度增加。剪切频率左移，但比起纯粹的滞后校正，减小的幅度不大。由于滞后环节的高频幅值衰减性能，系统高频段增益不变，比纯粹的超前校正有更好的抗高频干扰的能力。但与滞后校正一样，为了减小滞后环节负相移对系统相对稳定性的影响，使用滞后-超前校正时，一般取。以上介绍的几种串联校正装置都属于无源校正装置，这种简单的RC网络常会使信号产生衰减，并且在前、后级串联环节间产生负载效应，这样会大大削弱校正的效果。由运算放大器构成的有源校正装置，可以对信号产生放大作用，且其输入阻抗很大，而输出阻抗很小，环节之间串联时，其负载效应可以忽略。因此实际中，多采用有源校正装置。需要指出的是：要改善某一系统的性能，其校正方式并不是唯一的，即使是采用相同的校正方式，也会因为参数选择不同而使校正装置的参数不同。7.5反馈校正反馈校正是常用的又一校正方案，一般放在主反馈回路内部，构成系统的内环，如图7-27所示。反馈校正除了可以获得串联校正的效果外，还能消除反馈校正回路所包围系统不可变部分的参数波动对系统性能的影响。按照反馈回路对反馈信号的处理，反馈校正可分为位置反馈、速度反馈、加速度反馈，其系统框图如7.28所示。图7-27 反馈校正系统框图位置反馈的反馈通道是比例环节，它在系统的动态和稳态过程中都起反馈校正作用；速度反馈的反馈通道是纯微分环节，它只在系统的动态过程中起反馈校正作用，而在稳态时，反馈校正支路如同断路，不起作用。有时为了进一步提高校正效果，还将位置与速度反馈结合，构成一阶微分负反馈。设固有部分的传递函数为 ，反馈校正环节的传递函数为 ，则校正后系统被包围部分的传递函数变为： （7-28）系统采用反馈校正后，具有以下作用：1、改变系统被包围环节的结构和参数，使系统的性能达到设计要求。（1）比例环节的反馈校正如果系统固有部分的传递函数是G02(s)=K，由于比例系数过大，系统的稳定性会受到较大影响。当采用位置反馈校正时，假设GC(s)=，则校正后的传递函数为 ，增益降低为原来的。因此，对于那些因为增益过大而影响系统性能的环节，采用位置反馈是一种有效的方法。（2）惯性环节的反馈校正如果系统固有部分的传递函数是，采用GC(s)=的位置反馈时，校正后的传递函数为：惯性环节的时间常数和增益均降为原来的1/（1+K），提高了原系统的稳定性和快速性。（3）二阶振荡环节的反馈校正设系统固有部分是一个二阶振荡环节，其传递函数是，当它的阻尼比较小时，系统超调量较大，可能不满足设计要求。对该系统采用速度反馈校正，令反馈环节，则校正后的系统传递函数为：可见校正后系统的阻尼比增大，系统超调量减小，而表征系统快速性的无阻尼固有频率却保持不变。2、消除系统固有部分中不希望有的特性，削弱被包围环节对系统性能的不利影响由式（7-28）可知，当G02(s)GC(s)1时，所以被包围环节的特性主要被校正环节代替，但此时对反馈校正环节参数的稳定性和精确性要求较高。3、降低干扰对系统输出的影响。当系统存在外界干扰时，在输出端就会引起误差。如果给系统增加反馈回路，且反馈回路恰好包围了干扰，那么干扰引起的误差就会大大减小。图7-28 反馈校正降低干扰引起的误差图7-28 (a)中干扰引起的误差 ，图7-28 (b)中干扰引起的误差 ，比较两个干扰误差可以发现