2022年极坐标与参数方程讲义.pdf

极坐标与参数方程一、极坐标知识点1. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如图所示 , 在平面内取一个定点O, 叫做极点 , 自极点O引一条射线Ox, 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位, 一个角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系.注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2) 极坐标设 M是平面内一点 , 极点O与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为; 以极轴Ox为始边, 射线OM为终边的角xOM叫做点 M的极角 , 记为. 有序数对(, )叫做点 M的极坐标, 记作( , )M.一般地 , 不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.特别地 , 当点M在极点时 , 它的极坐标为 (0, )( R). 和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02, 那么除极点外 , 平面内的点可用唯一的极坐标( , )表示 ;同时 , 极坐标( , )表示的点也是唯一确定的.2. 极坐标和直角坐标的互化(1) 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示 :(2) 互 化 公 式 : 设M是 坐 标 平 面 内 任 意 一 点 , 它 的 直 角 坐 标 是( ,)x y, 极 坐 标 是(, )(0), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标( , )x y极坐标(, )精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 互化公式cossinxy222tan(0)xyyxx在一般情况下 ,由tan确定角时 , 可根据点M所在的象限最小正角.3. 常见圆与直线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点, 半径为r的圆(02 )r圆心为( ,0)r, 半径为r的圆2 cos ()22r圆 心 为( ,)2r, 半径为r的圆）（0sin2r过极点 , 倾斜角为的直线(1)()()RR或(2)(0)(0)和过点( ,0)a, 与极轴垂直的直线cos()22a过 点( ,)2a, 与 极轴平行的直线sin(0)a注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(, ),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标, 这与点的直角坐标的唯一性明显不同. 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个能满足极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如 对 于 极 坐 标 方 程,点(,)4 4M可 以 表 示 为5(,2 )(,2 ),444444或或(-)等多种形式, 其中 , 只有(,)44的极坐标满足方程.二、考点阐述考点 1、极坐标与直角坐标互化精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 例题 1、在极坐标中，求两点)4,2(),4,2(QP之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。解：两点的直角坐标为),2,2(),2,2(QP它们之间的距离22PQ.由于直线PQ垂直于极轴，且距离极点2，所以直线的极坐标方程为2cos练习、已知曲线12CC，的极坐标方程分别为cos3，4cos0 02，求曲线1C与2C交点的极坐标解：我们通过联立解方程组cos3(0,0)4cos2解得2 36, 即两曲线的交点为(23,)6。1 2.已知圆 C：22(1)(3)1xy，则圆心 C的极坐标为 _(0, 02 )答案：（2(2,)3）练习 已知点 c 极坐标为(2,)3，求出以 C为圆心， 半径 r=2 的圆的极坐标方程（写出解题过程） ；解：1MM（ ）如图所示，设为圆上一点， (,),2MOC44cos()4333则或，由余弦定理得4cos()3极坐标方程为=。考点 2、极坐标与直角坐标方程互化例题 2、 已知曲线C的极坐标方程是4sin 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是22(242xttyt为参数） ，点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求|PQ| 的最小值解：曲线C的极坐标方程4sin可化为24sin,其直角坐标方程为2240 xyy，即22(2)4xy. （3分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 直线l的方程为40 xy. 所以圆心到直线l的距离243 22d（ 6分）所以，PQ的最小值为3 22. （10分）练习、 设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点。(1) 求圆 C的极坐标方程；(2) 求点 M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线解：圆的极坐标方程为4 分设点的极坐标为，点的极坐标为，点为线段的中点， 7分将，代入圆的极坐标方程，得点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为的圆10 分练习（ 2015理数） (23)( 本小题满分10 分) 选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中. 直线 :x 2，圆： (x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求，的极坐标方程；（II ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，求C2MN的面积（ 23 ） 解 ：（ I ） 因 为 ， 所 以 的 极 坐 标 方 程 为 ， 的 极 坐 标 方 程为。5 分（II ）将代入，得，解得， 。故，即。由于的半径为1，所以的面积为。10 分二、参数方程1. 参数方程的概念一般地 , 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标, x y都是某个变数t的函数( )( )xf tyg t, 并且对于t的每一个允许值, 由方程组所确定的点( , )M x y都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数, x y的变数t叫做参变数 , 简称参数 , 相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2) 如果知道变数, x y中的一个与参数t的关系 , 例如( )xf t, 把它代入普通方程, 求出另一个变数与参数的关系( )yg t, 那么( )( )xf tyg t就是曲线的参数方程, 在参数方程与精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 普通方程的互化中,必须使, x y的取值范围保持一致.注： 普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同， 那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置0M出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设( , )M x y，则cos()sinxryr为参数。这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0OM转过的角度。圆心为( , )a b，半径为r的圆的普通方程是222()()xaybr，它的参数方程为：cos()sinxarybr为参数。4椭圆的参数方程以坐标原点O为中心， 焦点在x轴上的椭圆的标准方程为22221(0),xyabab其参数方程为cos()sinxayb为参数，其中参数称为离心角； 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是22221(0),yxabab其参数方程为cos(),sinxbya为参数其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0 ，2） 。注： 椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内） ，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02时，相应地也有02，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程（了解）以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),xyabab其参数方程为sec()tanxayb为参数，其中30,2),.22且精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 焦 点 在y轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是22221(0,0),yxabab其 参 数 方 程 为cot(0,2 ).cscxbeya为参数，其中且以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以 坐 标 原 点 为 顶 点 ， 开 口 向 右 的 抛 物 线22(0)ypx p的 参 数 方 程 为22().2xpttypt为参数7直线的参数方程经过点000(,)Mxy，倾斜角为()2的直线l的普通方程是00tan(),yyxx而过000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数，其中t表示直线l上以定点0M为起点，任一点( , )M x y为终点的有向线段0M M的数量， 当点M在0M上方时，t0；当点M在0M下方时，t0；当点M与0M重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以0M为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。考点 3、参数方程与直角坐标方程互化例题 3：已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由解： （1）由得曲线的普通方程为，即曲线的直角坐标方程为（分）（2）圆的圆心为，圆的圆心为两圆相交设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 公共弦长为（10 分）练习（本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程.已知曲线 C：(sin21cos23yx为参数， 02 ) ，（）将曲线化为普通方程；（） 求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程（）023222yxyx 5分（）sincos32 10 分练习已知曲线C1：cos()sinxy为参数，曲线 C2：222()22xttyt为参数。（1）指出 C1，C2各是什么曲线，并说明C1与 C2公共点的个数；（2） 若把 C1， C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1C，2C。 写出1C，2C的参数方程。1C与2C公共点的个数和C1与 C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。练习 (2014II)（23）( 本小题满分10 分) 选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为.（1）求得参数方程；（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.（23）解：（I ）C的普通方程为 . 可得 C的参数方程为（t 为参数，）（）设 D.由（ I ）知 C是以 G （1,0 ）为圆心， 1 为半径的上半圆。因为 C在点 D处的切线与t 垂直，所以直线 GD与 t 的斜率相同 , . 故 D的直角坐标为，即。练习（ 2013） （23） （本小题10 分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程为 ( 为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。（）把C1的参数方程化为极坐标方程；（）求C1与 C2交点的极坐标（0,0 2） 。【命题意图】 本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.【解析】将消去参数，化为普通方程，即： ，将代入得，的极坐标方程为；（）的普通方程为，由解得或，与的交点的极坐标分别为（），.练习 (2015II)23 （本小题满分10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，） ，其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （） . 求与交点的直角坐标；（） . 若与相交于点，与相交于点，求的最大值【答案】（）和；（） 解： （）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立解得或所以与交点的直角坐标为和（）曲线的极坐标方程为，其中因此得到极坐标为，的极坐标为所以，当时，取得最大值，最大值为考点： 1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值考点 4：利用参数方程求求值域例 题4 、 在 曲 线1C：）yx为参数(sincos1上 求 一 点 ， 使 它 到 直 线2C：12 22(112xttyt为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。解：直线 C2化成普通方程是x+y-22-1=0 2 分设所求的点为P（1+cos,sin), 3 分则 C到直线 C2的距离 d=2|122sincos1|5 分 =|sin(+4)+2| 7 分当234时，即=45时， d 取最小值 19 分此时，点 P的坐标是（ 1-22，-22）10 分练习 . 在平面直角坐标系xOy中，动圆2228 cos6 sin7cos80 xyxy的圆心为( ,)P xy，求 2xy 的取值范围 . 【解】由题设得sin3cos4yx（为参数） .3 分于是 28cos3sin73 cos()xy，6 分所以73273xy. 10 分练习（本小题满分10 分）已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）（）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；（）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.答案：（本小题满分10 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 解： （1）曲线的极坐标方程可化为：又 .所以，曲线的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得：令得 即点的坐标为又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，则练习（ 2014理数） 3. （本小题满分10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数） .( ) 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.【解析】：.( ) 曲线 C的参数方程为：（为参数），直线 l 的普通方程为：5 分（）（2）在曲线 C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为，则?，其中为锐角且.当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 10分考点 5：直线参数方程中的参数的几何意义考点易错点二：直线参数方程中t的几何意义的应用为参数）（ttyytxxsincos00t表示直线上任意一点到定点00(,)P xy的距离 .直线参数方程为参数）（ttyytxxsincos00（t为参数），椭圆方程2222:1xyCab，相交于,A B两点，直线上定点00(,)P xy将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于t的一元二次方程，则：212121 2()4ABttttt t002121212121ttttttttttPBPA21ttPBPA若M为AB的中点，则122ttPM例题 5： 已知直线经过点, 倾斜角，写出直线的参数方程;设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.解（1）直线的参数方程为，即 3分（2）把直线代入，得， ， 6分则点到两点的距离之积为 10分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 练习 求直线415315xtyt（为参数t）被曲线2 cos()4所截的弦长 .解：将方程415315xtyt，2 cos()4分别化为普通方程：3410 xy，220,xyxy-(5分)2172.105dd211211圆心C （，），半径为圆心到直线的距离，弦长 2 r2222100 -10分练习已知直线（I ）求直线l的参数方程；（II ）设直线l与圆相交于M 、N两点，求 |PM| |PN| 的值。解： （）的参数方程为，即。5 分（）由可将，化简得。将直线的参数方程代入圆方程得，。 10 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -