2022年均值不等式学案.pdf
均值不等式（ 1）学习目标：1、理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题；2、认识到数学是从实际中来的，体会思考与发现的过程。重点难点：重点：理解 均值不等式 ; 难点： 均值不等式的应用。一、探求新知如何用代数法证明均值定理：,2aba bRab如果那么。当且仅当ab时，等号成立。二、深度研究：（1）均值定理内容：_.对任意两个正实数,a b，数2ab叫做,a b的_；数ab叫做,a b的_均值定理的文字表述：_.均值不等式中等号成立条件是： _.（2）均值不等式与不等式222abab的关系如何精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （3）均值定理的几何解释：做线段 AD=a，延长 AD至点 B ，使 DB=b（,0a b）以 AB为直径做半圆O，过 D点做 CDAB于 D，交半圆于点C，连接 AC，BC ，OC 。当点 D 在线段 AB （端点除外）上运动时，试探讨OC与 CD的大小关系。三、学以致用：探究一、均值不等式在不等式证明中的应用：例 1：已知0,ab求证：2,baab并推导出式中等号成立的条件跟踪练习1：（1）求函数1yxx（0 x）的值域。（2）已知,a bR求证：11()()4.abab精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 探究二、利用均值不等式求最值：例 2 ：（1）一个矩形的面积为1002m，问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最短最短周长是多少（2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大最大面积是多少由例 2 的求解过程，可以总结出以下规律：【结论】跟踪练习2：（1）把 49 写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小（2）把 36 写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 跟踪练习3：一段长为l米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大求出这个最大值。四、总结反思（本节课我们学到了哪些知识）五、讨论研究课题（1）你还能用什么方法证明均值不等式（2）均值不等式还有哪些变形形式均值不等式 （1）当堂检测精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 班级：姓名：限时： 5 分钟分数： _ 必做题（每题5 分）1、 （5 分）设01,x则函数(1)yxx的最大值是（）A 1 B 12 C 14 D 18 2 、 （5 分）已知, x y均为正数，且1,xy则11xy的最小值是（） A 32 2 B 2 C 2 2 2 D 43、 （5 分）已知点( , )P x y在直线240 xy上运动，求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此时点P的坐标。选做题：4、已知0,0,ab且2ab，则那么下列结论正确的是（） A 12ab B 12ab C 222ab D 222ab均值不等式（ 2）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 学习目标：1、理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题；2、认识到数学是从实际中来的，体会思考与发现的过程。重点难点：重点：理解 均值不等式 ; 难点： 均值不等式的应用。一、复习巩固（1）均值定理内容：_.对任意两个正实数,a b，数2ab叫做,a b的_；数ab叫做,a b的_均值定理的文字表述：_.均值不等式中等号成立条件是： _.二、例题讲解例 1.求函数1yxx的值域。变式训练 ： （1）求函数3(2)2yxxx的最小值以及相应的x的值。（2）下列函数中，y的最小值为4的是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - A4yxx B222(3)()2xyxRxC 4xxyee D4sin(0)sinyxxx题型小结：例 2：求函数223( )(0)xxf xxx的最大值，以及此时x的值。变式练习：求函数223( )(0)xxf xxx的最小值，以及此时x的值。跟踪练习 1：求函数24( )(0)2xf xxx的最大值以及相应的x值。跟踪练习 2：求函数24(1)1xxyxx的最小值及相应的x的值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 题型小结 ：三、课堂小结：均值不等式 （2）当堂检测班级：姓名：限时： 5 分钟分数： _ 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 必做题（每题5 分）1.某工厂产品第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（）A 2abx B 2abx C 2abx D 2abx2. 求226( )1xxf xx的最值。选做题：（10 分）3. 若281,xy且, x y均为正数，则xy有（）A最大值 64 B 最小值164 C 最小值12 D 最小值 64精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -
