2022年概率论与数理统计第四章测试题.pdf

第 4 章 随机变量的数字特征一、选择题1设两个相互独立的随机变量X 和 Y的方差分别为4 和 2，则随机变量3X-2Y的方差是(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 2若随机变量X和Y的协方差,0Cov X Y，则以下结论正确的是（）(A) X与Y相互独立(B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY3 设随机变量X和Y相互独立，且221122,XNYN:， 则2ZXY :（）(A) 221212,2N(B) 221212,N(C) 2212122,4N(D) 2212122,4N4设二维随机变量(X,Y) 服从二维正态分布，则随机变量=X+Y与 =X-Y不相关的充要条件为(A) EX=EY (B) E(X2)- (EX)2= E(Y2)- (EY)2 (C) E(X2)= E(Y2) (D) E(X2)+(EX)2= E(Y2)+ (EY)2 5设X、Y是两个相互独立的随机变量且都服从于0,1N，则max,ZX Y的数学期望E Z（） (A) 12(B) 0 (C) 1(D) 126 设X、Y是相互独立且在0,上服从于均匀分布的随机变量，则min,EX Y（）(A) 2(B) (C) 3(D) 47设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则 D(X+Y)=DX+DY是 X和 Y（）(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件(B) 独立的充分条件，但不是必要条件(C) 不相关的充分必要条件(D) 独立的充分必要条件8 若离散型随机变量X的分布列为1121,2,2nnnP XnL， 则E X（）(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9将一枚硬币重复掷n 次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和 Y的相关系数等于（A） 1 （B）0 （C）21（D）110设随机变量X和 Y独立同分布，具有方差20，则随机变量U=X+Y和 V=X-Y精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - （A）独立(B) 不独立（C） 相关(D) 不相关11随机变量X 的方差存在，且E(X)= ，则对于任意常数C，必有。（A）E(X-C)2=E(X2)-C2（B）E(X-C)2=E(X-)2（C）E(X-C)2 E(X-)2（D）E(X-C)2 E(X-)212设 XU(a,b), E(X)=3, D(X)=31, 则 P(1X3) = （）（A）0 （B）41（C）31（D）21二、填空题1 设X表 示10次 独 立 重 复 射 击 命 中 目 标 的 次 数 ， 每 次 命 中 目 标 的 概 率 为 ， 则2E X2设一次试验成功的概率为p，进行了 100 次独立重复试验，当p时，成功的次数的标准差的值最大，其最大值为3设随机变量X在区间 -1,2上服从均匀分布，随机变量100010XYXX，则Y的方差DY=44D X，9D Y，0.5XY， 则D XY，D XY5设随机变量X服从于参数为的泊松分布，且已知121EXX，则6设 (X,Y) 的概率分布为：YX-10101则),cov(22YX。7已知)3 ,2, 1(,)(kkakXP, 则 E(X)= 。8XN（ ，2） ，YN（，2） ，X 与 Y相互独立 , 则 Cov(X+Y , X-Y) =_ 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 9随机变量X1,X2,X3相互独立 ,且都服从均匀分布U(0,2), 令 X=3X1-X2+2X3 ,则E(X)=_，D(X)。10设XY=，Z=，则 Y与 Z 的相关系数为。11设随机变量Xij独立同分布， EXij=2，则行列式nnnnnnXXXXXXXXXY212222111211的数学期望EY= 。三、简答题1从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5。设 X 为同种遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望。2已知随机变量,X Y服从二维正态分布，且X与Y分别服从正态分布2(1,3 )N与2(0,4 )N，它们的相关系数12XY，令32XYZ，求Z的数学期望EZ与方差DZ(2) 求X与Z的相关系数XZ。3已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3 件合格品和3 件次品，乙箱中仅装有3 件合格品。从甲箱中任取3 件产品放入乙箱后，求（1）乙箱中次品数X 的数学期望； （2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。4游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5 分钟、 25 分钟和 55 分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X 在0,60上均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望。5一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对某种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间10,20上的均匀分布。商店没售出一单位商品可得利润1000 元；若需求量超过了供货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500 元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。6两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5 的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度 f(t)、数学期望和方差。7某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0p1)，各产品合格与否相互独立，当出现一精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 个不合格品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求 X 的数学期望和方差。8设随机变量X的概率密度为,0;0,2cos21)(他其xxxf对 X独立地重复观察4 次，用 Y表示观察值大于3的次数，求2Y的数学期望。9设随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为 1/2 的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差。10 假 设 二 维 随 机 变量 (X, Y)在 矩 形 G=(x,y)|0 x 1,0 y 1上 服 从 均 匀 分 布 。 记, 1;, 0YXYXU,2, 1;2,0YXYXV。（1）求 (U, V)的概率分布；（2）求 U 和 V 的相关系数r。11.假设随机变量U 在区间 -2,2 上服从均匀分布，随机变量1, 1;1, 1UUX,1, 1;1, 1UUY试求（ 1）X和 Y的联合概率分布； （2）D(X+Y) 。12设 A，B 是两个随机事件；随机变量, 1;, 1不出现若出现若AAX, 1;, 1不出现若出现若BBY试证明随机变量X和 Y不相关的充要条件是A 与 B 相互独立。参 考 答 案一、选择题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 1D 2B 3C 4B 5C 6C 7C 8D 9 A 10D 11D 12D二、填空题121/2，5 38/9 47，19 51 6718/11 8094，14/3 10110三、简答题1解： X服从二项分布)52, 3(B，其分布律为X0123P27/12554/12536/1258/125其分布函数为.3, 1, 32,125/117,21,125/81, 10,125/27, 0,0)(xxxxxxFX的数学期望为.56523EX2 解： 因221(1,3 ),(0,4 ),2XYXNYN:,32XYZ,故有111323EZEXEY,1cov,3462XYX YDXDY，221111314()2cov(,)2( 6)3329324964XYDZDDXX YDY(2)21131cov,cov(,)cov(,)( 6)0,0323232XZXYX ZXDXX Y3解： （1）由题意知， X服从超几何分布，故23633EX；（2）又全概率公式，可得416162633613233613233633CCCCCCCCp。4解：有题意，.6055,560,5525,55,255,25,50,5)(XXXXXXXXXgY因此精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 600)(601)()()(dxxgdxxfxgXEgEY67.11)65()55()25()5(6016055552525550dxxdxxdxxdxx。5解：设 Z表示商店每周所得的利润，则,),(500)(5001000,1000),(XYYXXYXXYYYXgZ所以dxdyyxfyxgYXEgEZ),(),(),(67.141661001)(50010011000201010201020yydxdyyxdxdyy。6解：以 X 和 Y表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，则T=X+Y ，从而有,0,0,0,2525)()()(50)(55tttedxeedxxtfxftfttxtxYX由已知，251,51DYDXEYEX，从而有：252,52DYDXDTEYEXET。7解： X服从几何分布，P(X=i)=qi-1p，i=1,2,pqqpqpqppiqEXiiiiii1)1()()(1111；2221111112221221)() 1(ppppppqpqiqqiippqiEXiiiiiiii；2221)(ppEXEXDX.8解：设 A 表示 X的观察值大于3，故212cos21)3()(3/dxxXPAP；由题意可知，YB(4,1 /2)；故5)214(21214)(222EYDYEY。9解：有独立正态分布的性质，X-YN(0,1) ，先求22222|20222dzezdzezYXEzz；再求101|2YXE；所以21221|2YXD。10解： （1）41)()0, 0(YXPVUP；0)1,0(VUP；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 41)2()0, 1(YXYPVUP；21) 1, 1(VUP；（2）43EU,21EV，21EUV，可计算81),cov(EUEVEUVVU，1634143DU，41DV，最后得到33),cov(DYDXYX。11.解： （1）41) 1() 1, 1(UPYXP；0) 1, 1(YXP；21)11()1, 1(UPYXP；41) 1() 1, 1(UPYXP；（2）41)2(YXP,21)0(YXP,41)2(YXP,所以 E(X+Y)=0 ，D(X+Y)=2。12证明： EX=P(A)-1-P(A)=2P(A)-1 ，EY=2P(B)-1 ，1)(2)(2)(4)()()(1)()()()()()()()()()(BPAPABPABPBPAPABPBPABPAPABPBAPBAPBAPABPXYE从而 X和 Y不相关的充要条件是0)(),cov(EXEYXYEYX，即1)(2)(2)()(4 1)(21)(21)(2)(2)(4BPAPBPAPBPAPBPAPABP，当且仅当 P(AB)=P(A)P(B) ，当且仅当A,B独立。精品资料 - 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