2022年概率论大题附答案.pdf

假设一批 100 件商品中有4 件不合格品抽样验收时从中随机抽取4 件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p解以表示随意抽取的4 件中不合格品的件数，则4964100C110110.84720.1528CpPP从0,1 ,2,10等 11 个数中随机取出三个，求下列事件的概率：1A= 三个数最大的是5 ；2A= 三个数大于、等于和小于5 的各一个 ；3A= 三个数两个大于5，一个小于7 解从 11 个数中随机取出三个，总共有311C165种不同取法， 即总共有311C个基本事件， 其中有利于1A的取法有25C10种（三个数最大的是5，在小于 5 的 5 个数中随意取两个有25C10种不同取法）；有利于2A的取法有 55=20 种（在小于 5 的 5 个数中随意取一个，在大于 5 的 5个数中随意取一个，有 55=25 种不同取法） ；有利于3A的取法有525C70种( 在小于 5 的 5 个数中随意取一个，在大于5 的 5 个数中随意取两个) 于是，最后得111102550()0.06()0.15()0.30165165165P AP AP A&，考虑一元二次方程02CBxx, 其中B, C分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数(1) 求方程无实根的概率， (2) 求方程有两个不同实根的概率解显然，系数B和C各有 1,2,3,4,5,6等 6 个可能值； 将一枚色子接连掷两次，总共有 36 个基本事件 考虑方程的判别式CB42事件 无实根 和有两个不同实根 ，等价于事件0和0下表给出了事件0和0所含基本事件的个数B1 2 3 4 5 60 含基本事件数0 0 2 3 6 617由对称性知0和0等价，因此易见，方程无实根的概率和有两个不同实根的概率为170.4736已知概率(),(),()P Ap P Bq P ABr分别求下列各事件的概率：ABAB，AB，AB，()A AB解由事件运算的性质，易见()1()1P ABP ABr，()()1P ABP ABr，()1()1P ABP ABpqr ，()()1P ABP ABpqr ，( )()()P A ABP AABP Ap假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个球，结果是白球求箱中原来是白球的概率解引进事件：A取出的是白球 ，1H箱中原来是白球 ，2H箱中原来是红球 ，则12,HH构成完精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 全事件组，并且12()()0.5P HP H由条件知12(|)1(|)0.5P A HP A H，由贝叶斯公式，有1111122() (|)2(|)() (|)()(|)3P HP A HP HAP HP A HP HP A H假设 一厂 家生产的每台仪器，以概率可以直接出厂；以概率需进一步进行调试，经调试以概率可以出厂，以概率定为不合格品不能出厂现在该厂在生产条件稳定的情况下，新生产了20 台仪器求最后20 台仪器(1) 都能出厂的概率；(2) 至少两台不能出厂的概率解这里认为仪器的质量状况是相互独立的设1H= 仪器需要调试，2H= 仪器不需要调试 ，A= 仪器可以出厂 由条件知1212()0.30()0.70(|)0.80(|)1P HP HP A HP A H，(1) 10台仪器都能出厂的概率0112210100( )() (|)()(|)0.300.800.700.940.940.5386P AP HP A HP HP A H；(2) 记 10 台中不能出厂的台数，即10 次伯努利试验“成功( 不能出厂 ) ”的次数由(1) 知成功的概率为p=易见， 10 台中至少两台不能出厂的概率109210110.94100.940.060.1175PPP设BA,是任意二事件，证明：(1) 若事件A和B独立且BA，则( )0P A或( )1P B；(2) 若事件A和B独立且不相容，则A和B中必有一个是0 概率事件证明(1) 由于BA，可见()( ) ( )()( )( )( )( )P ABP A P BP ABP AP AP A P B，因此，若()0P A，则( )1P B；若( )0P B，( )0P A(2) 对于事件A和B，由于它们相互独立而且不相容，可见( )( )()0P A P BP AB，因此，概率()P A和()P B至少有一个等于0补充：第二节 事件的关系和运算1.设A,B,C是三个随机事件, 用事件A,B,C的运算关系表示下列事件：A,B,C三个都发生；A发生而B,C都不发生；A,B都发生 , C不发生；A,B,C恰有一个发生；A,B,C恰有两个发生；A,B,C至少有一个发生；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - A,B,C都不发生 .解： （1）ABC（2）ABC（3）ABC（4）ABCABCABC (5)ABCABCABC (6) ABC (7) ABC第三节 事件的概率1. 0 4.P A,0 3.P B,0 6 .P AB, 求P AB,P AB,P AB,P AB.解： 由()()( )()P ABP AP BP AB知，()()()()P ABP AP BP AB0.40.30.6=()1()10.10.9P ABP AB()()1()10.60.4P ABP ABP AB()()()0.40.10.3P ABP AP AB2. 0 7.P A,0 3.P AB, 求P AB.解： 由P ABP AP AB，得P ABP AP AB()()()0.70.30.4P ABP AP AB，()1()10.40.6P ABP AB3. 已知0 9 .P A,0 8.P B,试证0 7.P AB.解： 由()()( )()P ABP AP BP AB知，()()()()P ABP AP BP AB0.90.8 10.74. 设,A B C 是三个事件, 且1( )()( )4P AP BP C,()()0P ABP BC,1()8P AC, 求,A B C 至少有一个发生的概率 .解： 由条件()()0P ABP BC，知()0P ABC，()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC11115000444885. 设A,B是两事件 , 且0 6 .P A,0 7.P B, 问 在什么条件下 ,P AB取到最大值 ,最大值是多少？ 在什么条件下 ,P AB取到最小值 ,最小值是多少？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 解： 由()()( )()P ABP AP BP AB知，()( )( )()P ABP AP BP AB又因为()()P AP AB，()()P BP AB，所以max( ),()P A P BP AB，所以0.7()1P AB，所以0.3()0.6P AB.第四节 条件概率及与其有关的三个基本公式1设有对某种疾病的一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种疾病，若某病人做这种化验呈阳性反应，则他患有这种疾病的概率是多少？解： 设A某疾病患者，A非某疾病患者，B检查结果为阳性. 依条件得 , BAA，且( )0.01,P A()0.99P A,(|)0.9P BA(|)0.05P BA所以0 01 0 90 150 01 0 90 99 0 05BP A PP AB.AAP.BP B.BBP A PP A PAA第五节事件的独立性和独立试验1设有n个元件分别依串联、并联两种情形组成系统I和II, 已知每个元件正常工作的概率为p，分别求系统I、II的可靠性（系统正常工作的概率）解：AI系统 正常工作，BII系统正常工作，BII系统不正常工作1,2,iCinL每个元件正常工作，且()iP Cp，iC每个元件都不正常工作，()1iP Cp由条件知，每个元件正常是相互独立的，故1212()()() ()()nnnP AP C CCP CP CP CpLL，()1iP Cp，1212( )()() ()()(1)nnnP BP C CCP C P CP CpLL()1()1(1)nP BP Bp2. 设有六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件通达的概率为p，求这个装置通达的概率 . 假定各个元件通达、不通达是相互独立的.解:设iAi第 条线路通达，1,2,3,iA代表这个装置通达,iAi第 条线路不通达 ，1,2,3,iA代表这个装置不通达，由条件知，2()iP Ap，2()1iP Ap，23123()1()1()1(1)P AP AP A A Ap精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 第二章 随机变量及其分布口袋中有 7 个白球， 3 个黑球，每次从中任取一球且不再放回(1) 求 4 次抽球出现黑球次数X的概率分布；(2) 抽球直到首次出现白球为止，求抽球次数Y的概率分布解 (1) 随机变量X有 4 个可能值 0,1,2,3，若以 W和 B分别表示白球和黑球，则试验“4 次抽球”相当于“含 7 个 W 和 3 个 B”的总体的4 次不放回抽样，其基本事件总数为410C210，其中有利于Xk(0,1,2,3)k的基本事件个数为：437C Ckk，因此437410C C(0,1,2,3)CkkP Xkk，或01230123351056371131210210210210621030X(2) 随机变量Y显然有 1,2,3,4等 4 个可能值；以Wk和Bk分别表示第(1,2,3,4)k k次抽到白球和黑球，则“不放回抽球直到首次出现白球为止”相当于“自含7 个白球 3 个黑球的总体的4 次不放回抽样” ，其基本事件总数410P10987120易见78437281210120109120P YP Y，3277321 7134109812010987120P YP Y，1234842871120120120120Y设X服从泊松分布，且已知12P XP X，求4P X解以X表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，以)4, 3,2, 1(kXk表示随意抽取的第k页上印刷错误的个数，由条件知X和)4, 3, 2, 1(kXk服从同一泊松分布，未知分布参数决定于条件：212ee2!P XP X，于是=2由于随机变量)4, 3 ,2, 1(kXk显然相互独立，因此42222=4=e=e0.090243P X！设随机变量X服从区间2 5 ， 上的均匀分布，求对X进行 3 次独立观测中，至少有2 次的观测值大于3 的概率解设Y3 次独立试验事件3AX出现的次数，则Y服从参数为(3, )p的二项分布，其中2 3p因此234820( )233(1)92727P BP YP Yppp设随机变量X服从正态分布(3,4)N，且满足P XCP XC和2 P XCP XC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - ，分别求常数C解 （1）由XC与XC为对立事件，又P XCP XC得12P XC所以 C=3 (2) 由题意可知23=32CP XC（）所以反查表可得3.88C设随机变量X服从 1,2上的均匀分布，求随机变量Y的分布律，其中1000 10XYXX，若，若，若解由于X服从 1,2上的均匀分布，知随机变量Y的概率分布为110 10000321002311233P YP XPXP YP XP YP XPXY，；-1补充：第二节 离散随机变量1. 从学校乘公交车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都为14，设X遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列及至多遇到一次红灯的概率。解： 由条件知，随机变量X的分布列如下：X0123P27642764964164设A至多遇到一次红灯，则54( )(0)(1)64P AP XP X2. 设每分钟通过交叉路口的汽车流量X服从泊松分布， 且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。解： A=在一分钟内至少有两辆车通过，A在一分钟内至多有一辆车通过由条件知，(),0,1,2,!keP XKklkL，且(0)(1)P XP X，即00!1!ee，求出，1故：1(0)P Xe，1(1)P Xe ，1(A)(0)(1)2PP XP Xe1()1(A)12P APe3. 计算机硬件公司制造某种特殊型号的芯片，次品率达0.1%，各芯片成为次品相对独立，求在 1000 只产品中至少有2 只次品的概率。以X记产品中的次品数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 解：设10002A在只产品中至少有只次品，1000A在只产品中至多有1只次品，B=生产的产品是次品，B= 生产的产品不是次品由条件知，()0.001P B，)0.999BP(，)0.999P B(01000199910001000( )(0)(1)(1 0.001)0.001(1 0.001)P AP XP XCC1000999(10.001)(10.001)1000999()1(10.001)(10.001)P A第三章 随机向量及其概率分布设随机变量X和Y的联合密度为2601,02( , )72 0 xyxxyf x y，若，若不然(1) 试求X的概率密度)(1xf；(2) 试求事件“X大于Y”的概率P XY；解 (1) 易见，当)1 ,0(x时)(1xf=0；对于10 x，有222102166( )( , )dd(2)7276(2)01( )7 0 xyfxf x yyxyxxxxxfx，若，若不然(2) 事件“X大于Y”的概率112300066515( , )d dddd727456xxyxyP XYf x yx yxxyxx设随机变量X和Y的联合密度为22e00( , ) 0 0 0 xyxyf x yxy或，若，若求随机变量X和Y的联合分布函数和概率1,1P XY解设( , ),F x yP Xx Yy是X和Y的 联 合 分 布 函 数 当0 x或0y时0),(yxF； 设00yx，则2200( , )2ee d d(1 e)(1e)xyuxyF x yuvv于是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 223111,1(1e)(1e)00( , ) 0 0 01,1 ( , )d d2ede dexyxyxyxyF x yxyP XYf x yx yxy或，若，若设G是曲线2yx和直线4y所围成的封闭区域，而随机向量),(YX在区域G上均匀分布， 求X和Y的概率密度)()(21yfxf和解设G是xy和2xy所围区域，其面积GS为22016d3GSxx（4-），因此X和Y的联合概率密度为3( , )( , )160( , )x yGf x yx yG，若，若(1) X的密度对于(0 2)x，242133( )d1616xfxyx(4-) ；于是213(4)( )16xxfx，若20，其他(2) Y的密度对于04y，2033( )d1616yfyxy于是234( )16yyfy，若0，其他补充：第一节 二元随机向量及其分布1. 设 二 维 随 机 变 量(,)X Y的 联 合 分 布 函 数 为 ：( , )(arctan )(arctan)F x yA Bx Cy， 求 常 数,.A B C,xy解: 由条件知，(,)1F，( ,)0F x,(,)0Fy, 即：()()122(arctan )()02()(arctan )02A BCA Bx CA BCy求出，21A，2BC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 2设XY和的联合概率密度函数为26,0,xyxf （x,y ），其他，求x和y的边缘密度函数。解： 设( , )xfx y为f （x,y ）关于x的边缘密度函数，( , )yfx y为( , )f x y为关于y的边缘密度函数，且，( )( , )Xfxf x y dy，( )( , )Yfyf x y dx当01x时，22( )66()xXxfxdyxx，当0,1xx时，( )0Xfx当01y时，( )66()yYyfydxyy当0y，1y时，( )0Yfy第四章随机变量的数字特征设随机变量X的概率密度为01( )0kxxf x，若， ，其他已知0.75EX，求未知常数k与的值解由题设知111200( )dd0.7522kkEXxf xxkxxx，另一方面，由于11100( )dd111kkf xxkxxx，于是，得关于k与的方程组0.75211kk，其解为2,3k设随机变量X服从参数为2 的泊松分布，求(32)EX解熟知，参数为2 的泊松分布的数学期望2EX，故(32)323224EXEX求EX，已知随机变量X具有概率密度为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 01( )2120 xxf xxx，若，若，其他解由数学期望的定义，知12201122323101( )d(2)d11133EXxf xxx dxxxxxxx设随机变量X具有概率密度如下，2(1)12( ) 0 xxf x，若，其他 .求1ZX的数学期望解由随机变量函数的数学期望，知2221111( )d2(1)d2ln2ln 2EZzf xxxxxxx设随机变量123XXX,相互独立，且1X服从区间 (0,6)上的均匀分布，而22(0, 2 )XN，3X付出参数为 3 的泊松分布，试求12323YXXX的方差解由条件知1233,4,3DXDXDX，而由方差的性质可得123123(23)493449346DYD XXXDXDXDX设随机变量XY与相互独立，且(12)(01)XNYN，试求随机变量23ZXY的数学期望、方差以及概率密度解由条件知，(1,2),(0,1)XNYN从而由期望和方差的性质得23549EZEXEYDZDXDY，由于Z是X和Y的线性函数，且,X Y是相互独立的正态随机变量，故Z也为正态随机变量，而正态分布完全决定于其期望和方差，因此(5,9)ZN，于是，Z的概率密度为2(5)291( )e ()3 2zZfzz已知随机向量(,)X Y的概率密度0101( , ) 0 xyxyf x y，若，若不然求cov()XYEX EY DX DY EXYXY,解 (1) 求EX EY DX DY,。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 111000111222200022217( , )d dd()dd21215( ,)d dd()dd2125711()1212144EXxf x yx yx xxyyx xxEXx f x yx yxxxyyxxxDXEXEX；由对称性，有71112144EYDY，(2) 求cov()XYEXYX Y,11100011( , )d dd()dd2331771cov(, )31212144cov(, )1144111 14411XYxEXYxyf x yx yx xy xyyxxX YEXYEX EYX YDXDY；第六章 数理统计的基本概念和抽样分布假设总体X服从参数为的泊松分布, ，而12(,)nXXX是来自总体X的简单随机样本求12(,)nXXX的概率函数解总体X的概率函数为,e( ; ) ! 0 xxp xxx若为自然数若不是自然数，由于12,nXXX独立同服从参数为的泊松分布，可见12(,)nXXX的概率函数为12121122112( ,),e()(0,1,2,)!nnnnnnxxxiiinp x xxP Xx XxXxp xxx xxL； 假设总体),(2NX， 而12(,)nXXX是来自总体X的简单随机样本 求12,nXXX的概率函数 .解由于12,nXXX独立同分布，可见12(,)nXXX的密度为22()212i 12211(,)e211exp()22ixnnnniif x xxxL其中12,nx xx第七章参数估计设总体X的概率分布为2201232 (1)12X，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 其中1(0)2是未知参数，由总体X的( 简单随机 ) 样本值： (3,1,3,0,3,1,2,3)，求的矩估计值和最大似然估计值解(1) 的矩估计量由样本值 (3,1,3,0,3,1,2,3)，得样本均值1(022 134)28X用X估计数学期望EX，可得关于未知参数矩估计量?的方程；总体X的数学期望为21?2 (1)23(12 )2434104EXx，于是，的矩估计值为(2) 的最大似然估计量易见，在12(,)nXXX中 0,1,2和 3 各出现 1，2，1 和 4 次，因此未知参数似然函数和似然方程为222422212( )2 (1)(12 )ln( )ln6ln2ln(1)4ln(12 )dln( )6286 1) 1212 )81)d1121) 12121430 1214301) 1214144123713?2412LLCL，；（）- 2（）-，-，（），其中C是常数，而似然方程的解1713?1210.882显然不合题意。于是，参数的最大似然估计值为713?120.28设总体X的密度函数为101( ) 0 xxf x，若，其他其中0为未知参数 , 12,nXXX为来自总体X的一个样本，求的矩估计量和最大似然估计量.解 (1) 矩估计量总体X的数学期望为11100( )dd11EXxf xxxxx；将EX换成样本均值X，得参数的矩估计量?：22?1?1XXX，（）(2) 的最大似然估计量参数的似然函数?为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 112111111222211( )ln( )ln(1)ln2ln( )1ln0221ln0ln2?ln0lnnnniiiinininniinniiiLXXnLXLnXnXnXnXnX2，d，d，假设总体X的概率密度为01( ; )112 0 xf xx，若，若，其他，其中是未知参数（10） 12,nXXX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本的n个观测值中小于 1 的个数(1) 求的矩估计量； (2) 求的最大似然估计量解 (1) 求的矩估计量总体X的数学期望为12013( ; )dd(1)d2EXxf xxx xx x用样本均值X估计EX，得的矩估计量?：33?22XX，于是，?就是的矩估计量(2) 求的最大似然估计量参数的似然函数为，；，01)(ln)1ln()(ln)(ln)1();()(1NnNdLdNnNLXfLNnNnii?(1)NNnNn，于是，的最大似然估计量是?N n精品资料 - 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