2022年正弦定理余弦定理教学设计.pdf
【教学设计】全日制普通高级中学教科书（必修）教学第五册（下）59正弦定理、余弦定理一、内容及其解析1.内容：把学生学习的解三角形问题从解直角三角形问题扩充到解任意三角形问题，引入正弦定理和余弦定理。2.解析：正弦定理和余弦定理是高中学习了“三角函数”和“平面向量”知识后的应用问题，它是在复习初中所学的解直角三角形问题的勾股定理基础上，从实际需要出发把解直角三角形问题扩充到解任意三角形问题。本节的教学重点是正弦定理、 余弦定理的内容及其证明正弦定理、余弦定理的方法； 本节的难点运用正弦定理、 余弦定理解决两类基本的解三角形问题；教学关键是让学生理解正弦定理和余弦定理的应用。二、目标及解析1.目标：掌握正弦定理内容及证明正弦定理的方法（向量方法）；会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题；掌握余弦定理内容及证明正弦定理的方法（向量方法）；会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。2.解析：能说出正弦定理的内容，会用向量法证明正弦定理；会判断给出的问题能否用正弦定理解决，并会用正弦定理解三角形问题；能说出余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理；会判断给出的问题能否用余弦定理解决，并会用余弦定理解三角形问题。三、教学问题诊断分析：1.运用正弦定理、余弦定理解三角形时，受初中学习勾股定理的影响，往往只会考虑直角三角形的问题，忽视了正弦定理、余弦定理对任意三角形都成立；2.运用正弦定理和余弦定理解三角形时，往往分不清楚该用正弦定理还是该用余弦定理，忽视了正弦定理和余弦定理应用的条件；3.当解三角形时，如果出现一解或两解，不会进行判断。四、教学过程设计（一）教学基本流程第一课时正弦定理复习旧知提出问题引入新知巩固知识小结精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - （二）教学情景一、教学目标：1.正确掌握正弦定理内容及证明正弦定理的向量方法。2.灵活运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题。思考：为了建造瑞丽姐告大桥， 需要测量瑞丽江两岸的两个基座点A与点 B的距离。为此测量人员先在岸的一边定出基线 BC ，测得10BC，105ACB，45ABC（如图） ，这时怎样求 AB 的长呢？设计意图：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办？提出课题：正弦定理、余弦定理。二、问题与例题：问题 1：初中我们已经学习过解直角三角形，请同学们回忆一下直角三角形的边角关系？【分析】在ABCRt中，若2C，有222cba，Acasin，Bcbsin，Abatan，2BA，CcBbAasinsinsin。利用直角三角形中的这些边角关系对任给直角三角形的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角。式在任意三角形中也是成立的，这就是我们今天要学的正弦定理（板书正弦定理）。设计意图：复习提问勾股定理， 解直角三角形基本情况， 通过直角三角形的特殊性的得到正弦定理的一般形式，然后引入新课。问题 2：在ABCRt中，若2C，恒有CcBbAacsinsinsin成立，其反映了直角三角形的边与角 （或角的三角函数） 之间的关系。 在前面学过的三角函数或向量知识中，哪一处知识点体现了边（线段）角（三角函数）关系呢？【分析】三角函数的定义：sinry，cosry；向量的数量积：cos|baba。设计意图：为了证明正弦定理， 引导学生联系所学知识对比正弦定理的形式找到证明正弦定理的方法。A C B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 问题 3：CcBbAasinsinsin在ABCRt中显然成立。对于任意的三角形，我们怎么证明它的正确性呢？（让学生自己动手尝试证明，教师分析、点评）【分析】在ABC中，令aBCbACcAB,，作边 BC 的高 AD 交 BC 于点 D 。则有：证法一（略讲）三角形面积法）由CbBcADsinsin有AbcBacCabSABCsin21sin21sin21即CcBbAasinsinsin。证法二：（精讲）向量数量积法）若ABC是锐角三角形，则CADACBADAB2,2,由向量的减法法则（三角形法则），有CBADACABADCBACAB)(又CDAD，有02cos|2cos|CACADBABAD即CcBbCbBcCbBcADsinsinsinsin0)sinsin( |同理BbAasinsin，故CcBbAasinsinsin；若ABC是钝角三角形，让同学自己仿证。证法三：（向量数量积法）在ABC中，作BCAD交 BC 于点 D 。若点 D 在边 BC 上，有A B D C A B D C A B D C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - CADACBADAB2,2,由ACAB、在AD方向上的射影相等，有ADACADAB即CADACBADAB2cos|2cos|所以CcBbCbBcsinsinsinsin同理BbAasinsin，故CcBbAasinsinsin；若点 D 在边 BC 的延长线上，由同学自己仿证。证法四：（平面解析法）如图建立xyA。作平行四边形 ABCD，则BDABBCAD,由三角函数定义，知)sin(),cos(),sin,cos(BaBaDAbAbC由ABCD /，有BaAbsinsin即BbAasinsin，同理CcAasinsin，故CcBbAasinsinsin。证法五：（圆内接三角形法）已知如图，在圆 O内接三角形 ABC中，过点 A作圆 O的直径 AD ，连接CD 。在ADCRt中，由ADCABC，有RADCb2sin，即RBb2sin同理可得到其它边角关系，即可证得。设计意图：引领学生证明（证法一、证法二（重点）正弦定理，提示学生正弦定理的证明方法还有多种，并让学生自己下来探究。【正弦定理】在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等。A B C D xyA B C D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 即CcBbAasinsinsin。问题 4：请同学们观察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三角形问题？【点评】正弦定理适合任意三角形，是勾股定理的推广；正弦定理说明同一三角形中， 边与它所对角的正弦成正比， 且比例系数为外接圆的直径R2；由BbAasinsin，CcBbsinsin知：已知两角及其一边可以求其他边，如bBAasinsin；已知两边及其一边的对角可以求其他角，如BbaAsinsin。设计意图：使学生清楚正弦定理， 并让学生真正理解利用正弦定理可以解决什么类型的三角形的边角问题。例题 1：在ABC中，已知30,45,10CAc，求 b（保留两个有效数字）。【解】由题意，有105)(180CAB由正弦定理，有19)26(2sinsincCBb。例题 2：在ABC中，已知30,310,10Aba，求 B和c。【解】由题意，知30,310,10Aba由正弦定理，有23sinsinAabB又由ba，有60B或120B；则有：若60B，则90C若120B，则30C20sinsinaACc；10sinsinaACc。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 设计意图：巩固正弦定理，让学生会利用正弦定理解决简单的三角形的边角问题，并为第二课时判断三角形的一解或多解埋下伏笔。二、目标检测：1. 在ABC中，一定成立的等式是（ C ） A.BbAasinsin B.BbAacoscosC.AbBasinsin D.AbBacoscos2. 在ABC中，已知45,24,4Bba，求 A和c。【分析】由题意，知45,24,4Bba由正弦定理，有21sinsinBbaA又由ba，有30A；由105)(180BAC则有)26(2sinsinaACc。3. 在任一ABC中，求证：0)sin(sin)sin(sin)sin(sinBAcACbCBa。【分析】由题意及正弦定理，令CRcBRbARasin2sin2sin2则有：0)sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin(sin2)sin(sin)sin(sin)sin(sinBCACABCBCABARBAcACbCBa设计意图：巩固正弦定理，让学生会利用正弦定理解决简单的三角形的边角问题。三、小结：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 问题 5：正弦定理体现了三角形中怎样的边角关系？利用正弦定理能解决什么类型的三角形问题？已知两角和任一边，求其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。四、配餐作业：A组：1. 在ABC中（结果保留两个有效数字）：已知60,45,3BAc，求 b ；已知120,30,12BAb，求a。2. 根据下列条件解三角形（角度精确到1 ，边长精确到 1）：30,20,11Bab；115,39,54Cbc；23,15,26Ccb；60,10,15Aba。B组：1. 如图， 已知平行四边形 ABCD的对角线cmAC57， 它与两条邻边 AB 和 AD 的夹角分别是27和35，求 AB 和 AD （精确到 cm1）。2. 已知ABC中，15,33,33Cca。求ABCS（保留三个有效数字）。3. 在ABC中，45,2 Bb，若ABC有两解，求a的取值范围。4. 已知在ABC中，三边cba,所对的角分别是CBA,，且cba,成等差数列，求证：BCAsin2sinsin。C组：1. 在ABC中，CBA,所对的边长分别为cba,，求证：AbcBacCabSABCsin21sin21sin21。2. 在ABC中，三个内角CBA,的对边分别是cba,，且)(,802cbbaA，求 C 。3. 在ABC中，求证：CabAbBasin22sin2sin22。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -
