1997年考研数学二真题及答案.doc

1997年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) ìï(cos x)x-2 ,(1) 已知 f (x) = íïîa,x ¹ 0,x = 0在 x = 0 处连续,则a = 1- x1+ x2x=0(2) 设 y = ln,则 y¢¢= (3) ò+¥dx= x(4 - x)dx(4) ò0= . x2 + 4x + 8(5) 已知向量组a1 = (1, 2, -1,1),a2 = (2, 0, t, 0),a3 = (0, -4, 5, -2) 的秩为 2,则t = 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) b(1) 设 x ® 0 时 , etan x - ex 与 xn 是 同 阶 无 穷 小 , 则 n 为 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (2) 设在区间a, b 上 f (x) > 0, f ¢(x) < 0, f ¢¢(x) > 0, 记 S1= òa f (x)dx, S2 =f (b)(b - a) , 1S3 = 2 f (a) + f (b)(b - a) , 则 ( ) (A) S1 < S2 < S3 (B) S2 < S3 < S1 (C) S3 < S1 < S2 (D) S2 < S1 < S3 (3)已知函数 y =f (x) 对一切 x 满足 xf ¢¢(x) + 3x f ¢(x)2 = 1- e- x ,若 f ¢(x ) = 0(x¹ 0), 00则 ( ) (A) f (x0 ) 是 f (x) 的极大值 (B) f (x0 ) 是 f (x) 的极小值 (C) (x0 , f (x0 ) 是曲线 y =f (x) 的拐点 (D) f (x0 ) 不是 f (x) 的极值, (x0 , f (x0 ) 也不是曲线 y =f (x) 的拐点 ò(4) 设 F (x) = x+2p esin t sin tdt, 则 F (x) ( ) x(A) 为 正 常 数 (B) 为 负 常 数(C) 恒 为 零 (D) 不 为 常 数 ì2 - x,x £ 0ìx2 ,x < 0(5) 设 g(x) = íx + 2,x > 0 , f (x) = í-x, 则 g f (x) 为 ( ) x ³ 0îîîì2 + x2 ,x < 0ì2 - x2 ,x < 0î(A) í2 - x,x ³ 0 (B) í2 + x, x ³ 0îì2 - x2 ,x < 0ì2 + x2 ,x < 0î(C) í2 - x,x ³ 0 (D) í2 + x, x ³ 0三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.) (1) 求极限 limx®-¥. 4x2 + x -1 + x +1 x2 + sin xìx = arctan tdyî(2) 设 y = y(x) 由í2 y - ty2 + et = 5 所确定,求 dx . (3) 计算 ò e2 x (tan x +1)2dx . (4) 求微分方程(3x2 + 2xy - y2 )dx + (x2 - 2xy)dy = 0 的通解. (5) 已知 y = xex + e2 x , y = xex + e- x , y= xex + e2 x - e- x 是某二阶线性非齐次微分方程123的三个解,求此微分方程. é11-1ùêú(6) 已知 A = ê011 ú ,且 A2 - AB = E ,其中 E 是三阶单位矩阵,求矩阵 B . êë00-1ûú四、(本题满分 8 分.) ì2x1 + l x2 - x3 = 1l 取何值时,方程组ïl x - x + x = 2无解,有惟一解或有无穷多解？并在有无穷í123ï4x + 5x - 5x= -1î多解时写出方程组的通解. 五、(本题满分 8 分) 123设曲线 L 的极坐标方程为 r = r(q ) , M (r,q ) 为 L 上任一点, M 0 (2, 0) 为 L 上一定点,若极径OM 0、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0 , M 两点间弧长值的一半,求曲线 L 的方程. 六、(本题满分 8 分) 设函数 f (x) 在闭区间0,1 上连续,在开区间(0,1) 内大于零,并满足 xf ¢(x) =f (x) + 3a x2 ( a 为常数),又曲线 y =2f (x) 与 x = 1, y = 0 所围成的图形 S 的面积值为 2,求函数y = f (x) ,并问a 为何值时,图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小. 七、(本题满分 8 分.) 已知函数 f (x) 连续,且lim f (x) = 2 ,设j(x) = ò1 f (xt)dt ,求j¢(x) ,并讨论j¢(x) 的连续性. 八、(本题满分 8 分) x®0x0pp就 k 的不同取值情况,确定方程 x -的结论. sin x = k 在开区间(0,) 内根的个数,并证明你22答案 一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.) - 1(1)【答案】e 2 由于 f (x) 在 x = 0 处连续,故 ln f ( x)ln(cos x)x-2x-2 ln cos xf (0) = lim f (x) = lim e= lim e= lim ex®0ln cos xx®0ln cos xx®0 1 (-sin x)x®02lim洛必达2lim cos x = lim ex®0lim -xsin x= ex®0 x- 1= ex®02 x = ex®02 x cos x = e2 3 (2)【答案】- 2题目考察复合函数在某点处的高阶导数,按照复合函数求导法则具体计算如下： 2y = 1 éëln(1- x) - ln(1+ x2 )ùû , y¢ = 1 ( -1 - 2x ) = -1-x, 2 1- x1+ x22(1- x)1+ x2y¢¢ = -1- 1- x2, ¢¢= - 3 . 2(1- x)2(1+ x2 )2y x=02(3) 【答案】arcsin+ C 或 2 arcsin2+ C x2题目考察不定积分的计算,分别采用凑微分的方法计算如下： 方法 1：原式=òdxd ( x - 2)4 - (x - 2)2= ò21- ( x - 2)22x - 2= arcsin+ C . 2x 4 - ( x )2x dx方法 2：原式= ò= 2òpddx4 - ( x )221- (2x )2= 2ò x= 2 arcsin+ C . 2(4) 【答案】8题目考察广义积分的计算,采用凑微分的方法,结合基本微分公式表计算如下： d ( x + 2)=+¥dx原式1 +¥2= ò0 4 + (x + 2)2x + 221+¥2 ò011+ ( x + 2)22ppp=arctan=(-) =. 2(5) 【答案】3 02 248方法 1：利用初等变换. 以a1 ,a2 ,a3 为行构成3´ 4 矩阵,对其作初等变换： éa1 ùé12-11 ùé12-11 ù= êaú = êú 2+1´(-2) ê-+- úAê 2 úê20t0 ú®ê04t22úêëa3 úûêë0-45-2úûêë0-45-2úûé12-11 ù3+2´(-1) êú®ê0-4t + 2-2ú ,ëê003 - t0 úûéa1 ùêú因为r ( A) = r êa2 ú = 2,所以3 - t = 0,t = 3 . êëa3 úû方法 2：利用秩的定义. éa1 ùêú由于r êa2 ú = r ( A) = 2,则矩阵 A 中任一三阶子行列式应等于零. êëa3 úûéa1 ùé12-11 ùêa ú = ê20t0 ú , ê 2 úêú应有 êëa3 úûêë0-45-2úû12-112-112-120t= 0-4t + 2 = 0-4t + 2 = 0 , 0-450-45003 - t解得t = 3 . 方法 3：利用线性相关性. 因为 r (a ,a,a ) = r ( A) = 2,故a ,a,a 线性相关, Û 以a T ,a T ,a T 组成的线性齐次方123123123程组a T x + a T x + a T x= BX = 0 有非零解,因 1 12 23 3é 120 ùê 20-4úB = éëa T ,a T ,a T ùû = êú123ê-1t5 úêúë10-2 ûæ 1 ö2+1´(-2)2´ç - ÷é120 ùè 4 øé120ù3+1ê-4-4ú 3+2´(-t -2) ê011ú4+1´(-1) ê0ú 4+2´(-2) êú®ê0t + 25 ú®ê00-t + 3ú ,ê0- 2-2 úê000úëûëû故 BX = 0 有非零解Û t = 3 . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 【答案】(C) 题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用洛必达法则计算如下： limx®0etan x - exxn= lim ex x®0× etan x- x -1xn=tan x - x 洛必达sec2 -1tan2 x n=3x21limx®0xnetan x - ex 与 x3 同阶,故应选(C). (2) 【答案】(D) = limx®0nxn-1= limx®0nxn-1= lim=,x®0 3x23方法 1：用几何意义.由 f (x) > 0, f ¢(x) < 0, f ¢¢(x) > 0 可知,曲线 y =f (x) 是bD上半平面的一段下降的凹弧, y = f (x) 的图形大致如右图. yS1 =òa f (x)dx 是曲边梯形 ABCD 的面积； S2 = f (b)(b - a) 是矩形 ABCE 的面积； 1ECS3 = 2 f (a) + f (b)(b - a) 是梯形 ABCD 的面积. 由图可见 S2 < S1 < S3 ,应选(D). abxBAO方法 2：观察法.因为是要选择对任何满足条件的 f (x) 都成立的结果,故可以取满足条件的1特定的 f (x) 来观察结果是什么.例如取 f (x) =, x Î1, 2,则 x221115S1 = ò1 x2 dx = 2 , S2 = 4 , S3 = 8 Þ S2 < S1 < S3 . 【评注】本题也可用分析方法证明如下： b由积分中值定理,至少存在一个点x ,使òa f (x)dx =f (x )(b - a), a < x < b 成立,再由f ¢(x) < 0, 所以 f (x) 是单调递减的,故 f (x ) >f (b), 从而 bS1 = òa f (x)dx = f (x )(b - a) > f (b)(b - a) = S2 . 1x为证 S3 > S1 ,令j(x) = 2 f (x) + f (a)(x - a) - òaf (t)dt, 则j(a) = 0, j¢(x) = 1 f ¢(x)(x - a) + 1 ( f (x) + f (a) - f (x) 22= 1 f ¢(x)(x - a) - 1 ( f (x) - f (a) 22= 1 f ¢(x)(x - a) - 1 f ¢(h)(x - a)(a < h < x) (拉格朗日中值定理) 22= 1 ( f ¢(x) - f ¢(h)(x - a), 2由于 f ¢¢(x) > 0 ,所以 f ¢(x) 是单调递增的,故 f ¢(x) > f ¢(h) , j¢(x) > 0 ,即j(x) 在a, b 上单调递增的.由于j(a) = 0, 所以j(x) > 0, x Îa, b ,从而 1bj(b) = 2 f (b) + f (a)(b - a) - òa即 S3 > S1 .因此, S2 < S1 < S3 ,应选(D). f (t)dt > 0 , 如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证. (3) 【答案】(B) 题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下： 由 f ¢(x ) = 0 知 x = x 为 f (x) 的驻点. 把 x = x 代入恒等式 x f ¢¢(x ) = 1- e- x0 , 即00000¢¢1 e0x- - x0f (x ) =.由于分子、分母同号,故 f ¢¢(x ) >,因此驻点=为极小值点.应选00xx00(B). (4) 【答案】(A) 由于函数esin t sin t 是以2p 为周期的函数,所以, x0F (x) = ò x+2p esin t sin tdt = ò2p esin t sin tdt , F (x) 的值与 x 无关.不选 D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关). ò估计 2p esin t sin tdt 的值有多种方法. 0方法 1：划分esin t sin t 取值正、负的区间. 00pF (x) = ò2p esin t sin tdt = òp esin t sin tdt + ò2p esin t sin tdtòò= p esin t sin tdt + p e-sin u (-sin u)du00ò= p (esin t -e-sin t ) sin tdt0当0 < t < p 时, sin t > 0 , esin t - e-sin t > 0, 所以 F (x) > 0 .选(A). 方法 2：用分部积分法. òòF (x) = 2p esin t sin tdt = - 2p esin t d cos t00ò= - esin t cos t 2p + 2p cos tdesin t00òò= -e0 (1-1) + 2p esin t cos t 2dt = 2p esin t cos t 2dt > 0.00故应选(A). 【评注】本题的方法 1 十分有代表性. 被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时,则常将积分区间划分成若干个,使每一个区间内,被积函数保持确定的符号,然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相同,然后只要估计被积函数的正、负即可. (5) 【答案】(D) 题目考察函数的复合问题,分清内层函数的定义域与值域,要注意内层函数的值域又构成了外层函数的定义域. 当 x < 0 时, f (x) = x2 > 0 ,则 g f (x) = f (x) + 2 = x2 + 2 ； 当 x ³ 0 时, f (x) = -x £ 0 ,则 g f (x) = 2 - f (x) = 2 - (-x) = 2 + x . ìx2 + 2,故 g f (x) = íî 2 + x,x < 0x ³ 0,因此应选(D). 三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.) ¥(1) 【分析】这是 ¥ 型的极限,可以设法约去分子、分母中极限为¥ 的因子,从而转化为确定x2x2x2型的极限.于是分子、分母同除.在计算过程中应注意 x 趋于负无穷. 分子、分母同除,注意= -x (x < 0) ,则 原式= limx®-¥= 1 . 4 + 1 - 1 -1- 1xx2x1- sin x x24 -11(2) 题目考察参数方程所确定的函数的微分法. xy¢ = yt¢ , x¢ =1, xt¢1+ tt2yt¢ 可由第二个方程两边对t 求导得到： tt=. 2 y¢ - 2tyy¢ - y2 + et = 0 , 解得 y¢ =y2 - et.由此,有¢(1+ t 2 )( y2 - et )t2(1- ty)yx2(1- ty)(3) 题目考察,不定积分的换元与分部积分法,难度不大,具体计算如下： 原式= ò e2 x (sec2 x + 2 tan x)dx = ò e2 x sec2 xdx + 2ò e2 x tan xdx 分部= ò e2 xd tan x + ò tan xde2 x = e2 x tan x + C . (4) 题目考察齐次微分方程的通解,分别利用齐次方程的求解方法和凑全微分方法 计算如下： 方法 1：所给方程是齐次方程. 令 y = xu ,则dy = xdu + udx ,代入原方程得 3(1+ u - u2 )dx + x(1- 2u)du = 0 , 分离变量得 1- 2u 1+ u - u2du = -3 dx , xd (1+ u - u2 )1积 分 得 ò1+ u - u2= -3ò x dx , 即 1+ u - u2 = Cx-3 . 以u = y 代入得通解 x2 + xy - y2 = C . xx方法 2：用凑全微分的方法求解.由于 (3x2 + 2xy - y2 )dx + (x2 - 2xy)dy = 3x2dx + ( yd (x2 ) + x2dy) - ( y2dx + xd ( y2 ) = d (x3 ) + d (x2 y) - d (xy2 ) = d (x3 + x2 y - xy2 ) , 故通解为： x3 + x2 y - xy2 = C . (5) y - y = e- x 与 y - y = e2 x - e- x 都是相应齐次方程的解, ( y - y ) + ( y - y ) 13121312= e2 x 也是相应齐次方程的解, e- x 与 e2 x 是两个线性无关的相应齐次方程的解；而2y - e- x = xex 是非齐次方程的解.下面求该微分方程： 方法 1：由e- x , e2 x 是齐次解,知r = -1, r= 2 是特征方程的两个根,特征方程为 12(r +1)(r - 2) = 0 ,即r 2 - r - 2 = 0 , 相应的齐次微分方程为： y¢¢ - y¢ - 2 y = 0 . 设所求非齐次方程为： y¢¢ - y¢ - 2 y = f (x) ,把非齐次解 xex 代入,便得 f (x) = (xex )¢¢ - (xex )¢ - 2(xex ) = (1- 2x)ex . 所求方程为： y¢¢ - y¢ - 2 y = (1- 2x)ex . 12方法 2：由于通解为： y = c e- x + c e2 x + xex ,求出 y¢ = -c e- x + 2c e2 x + (x +1)ex , y¢¢ = c e- x + 4c e2 x + (x + 2)ex , 1212并消去c , c ,便得微分方程 y¢¢ - y¢ - 2 y = (1- 2x)ex . 12é021ùêú(6)【答案】 ê000ú êë000úû由题设条件 A2 - AB = E ,把 A 提出来得 A( A - B) = E ,因为 11-1A = 011 = -1 ¹ 0 , 00-1由此知道 A 是满秩的,所以 A 可逆,两边左乘 A-1 ,从而有 A - B = A-1 , B = A - A-1 . (或 A2 - AB = E , AB = A2 - E, A 可逆,两边左乘 A-1 ,得 B = A-1 ( A2 - E ) = A - A-1 ). 用矩阵的初等变换求 A-1 . é11-1M100ù 1+3´(-1) é110 M10-1ùêú 2+3êú AM E = ê011 M010ú®ê010 M011 úêë00-1M001úûêë00-1M001 úû1+2´(-1) é100M1-1-2ù3´(-1)êú = é-1 ù®ê010M011 úëEM A ûêë001M00-1ûúé1-1-2ùêú得 A-1 = ê011 ú , êë00-1ûúé11-1ùé1-1-2ùé021ùêúêúêú从 而 得 B = A - A-1 = ê011 ú - ê011 ú = ê000ú . 四、(本题满分 8 分.) êë00-1úûêë00-1úûêë000úû方法 1：对原方程组的增广矩阵作初等行变换： é 2l-1M 1 ù 2+1é 2l-1M 1 ùêú 3+1´(-5) êú AMb = êl-11 M 2 ú®êl + 2l -10 M 3 úêë 45-5M-1úûêë -6-5l + 50 M-6úûé3+2´52l-1M1ù® ê l + 2l -10 M3úêúêë5l + 400 M9úû4M当 l ¹-且l ¹ 1 时, r ( A) = r A b = 3 ,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等54且等于未知量的个数,故原方程组有唯一解. 当 l = - 5 时, r ( A) = 2 ¹ r AMb = 3 ,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,故原方程组无解. 当l = 1 时,原方程组的同解方程组为 ì2x1 + x2 - x3 = 1íx= , î 1ìx1 = 1,原方程组有无穷多解,其通解为ïx = -1+ k , ( k 为任意常数). í 2ïx = k.î 3123(或x ,x ,x T = 1,-1,0T + k 0,1,1T ( k 为任意常数) 方法 2：原方程组系数矩阵的行列式 2l-12ll -1A = l-11 = l-10= (l -1)(5l + 4) , 45-54504M故知：当l ¹-且l ¹ 1时, r ( A) = r A b = 3 ,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等54且等于未知量的个数,故原方程组有唯一解. 当l = -时,对原方程组的增广矩阵作初等行变换,得 512-êMúé4-1ù5êú 1´5 é10-4-5 M5 ùé10-4-5 M5 ùê 4ú 2´5 êú 3+2 êú AMb = ê- 5-11M2 ú ® ê-4-55M 10ú ® ê-4-55M 10ú ê 45-5 M-1úêë 45-5 M-1úûêë 000M9 úûêúêúûr ( A) ¹ r AMb,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,故原方程组无解. 当l = 1 时,对原方程组的增广矩阵作初等行变换,得 é211«2-1M 1 ù 2+1´(-2) é13+2´3-11 M 2 ù 2´1é1-11 M 2 ùêú 3+1´(-4) êú3êúê1-11 M 2 ú®ê03-3M-3ú® ê01-1M-1ú ëê45-5M-1ûúëê09-9M-9ûúëê000 M 0 ûúr ( A) = r AMb = 2 < 3 ,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数,故ìx1 = 1,原方程组有无穷多解,其通解为ïx = -1+ k , ( k 为任意常数). í 2ïx = k.î 3123(或x ,x ,x T = 1,-1,0T + k 0,1,1T ( k 为任意常数) 五、(本题满分 8 分) 由已知条件得 1 òq r 2dq = 1 × òqr 2 + r¢2 dq . 2 020两边对q 求导,得 r 2 =r 2 + r¢2(隐式微分方程), r 2 -1解 出 r¢ , 得 r¢ = ±r. r r 2 -1dr分离变量,得 = ±dq . òò2drd1( r )1由于= -r r -111 ( )1r= arccos, -2rò2dr或 r r -11r =sect=ò dt = t = arccos r , 两 边 积 分 , 得 arccosr= ±q + c . 代入初始条件r(0) = 2 ,得c = arccos 1p1=, Þ arccos=± q . p23r331p1即 L 的极坐标方程为 r = cos( 3 ± q ) º 2 cosq msinq , 2从而, L 的直角坐标方程为 x m 六、(本题满分 8 分) 3y = 2 . 由 xf ¢(x) =f (x) + 3a x2 ,有 2xf ¢(x) - f (x) = 3a ,即( f (x)¢ = 3a , x22x2从 而 得 f (x) = 3a x + C , 即 f (x) = 3a x2 + Cx . x2又由题设知,面积 1123aaCS = ò0 f (x)dx = ò0 ( 2+ Cx)dx =+= 2 , 22得C = 4 - a ,从而 f (x) = 3a x2 + (4 - a)x . 21 21 3a 22a2a16旋转体体积 V (a) = p ò0 y dx = p ò0 2 x + (4 - a)x dx = p (+3033) . 由V ¢(a) = p ( a + 1) = 0 ,解得惟一驻点 a = -5 ；又由V ¢¢(a) = p> 0 , a = -5 是极小值点15315也是最小值点.(易验证,此时 f (x) = - 15 x2 + 9x 在(0,1 恒正.) 2 七、(本题满分 8 分.) 【分析】通过变换将j(x) 化为积分上限函数的形式,此时 x ¹ 0 ,但根据limx®0f (x) x= A ,知 1f (0) = 0 ,从而j（0）= ò0 f (0)dt = 0 ,由此,利用积分上限函数的求导法则、导数在一点处的定义以及函数连续性的定义来判定j¢(x) 在 x = 0 处的连续性. 由题设lim f (x) = A 知, f (0) = 0, f ¢(0) = A, 且有j(0) = 0 .又 xx®0x1ò0 f (u)duj(x) = ò0 f (xt)dt u = xt xx(x ¹ 0), 从而 j¢(x) = xf (x) - ò0x2f (u)du(x ¹ 0) . 由导数定义,有 xj¢(0) = lim ò0f (u)du f (x) A= lim=. x®0x2x®0 2x2xx由于 limj¢(x) = lim xf (x) - ò0 f (u)du = lim f (x) - lim ò0f (u)du x®0x®0x2x®0xx®0x2 = A - A = A = j¢(0) , 22从而知j¢(x) 在 x = 0 处连续. 八、(本题满分 8 分) 设 f (x) = x - p2psin x ,研究 f (x) 在(0,) 内的极值情况,从而判定它与水平线2y = k的 交点个 数 . 由f ¢(x) = 1- p cos x = 0 解得 f (x)2p在 (0,)2内的 唯一 驻点 x = arccos 2 ；由cos x 在(0, p ) 单调减, f ¢(x) 在点 x 由负变正, x 是 f (x) 的极小点也是0p200pp最小点.最小值 f (x0 ) = x0 - 2 sin x0 y0 ；由此,最大值 f (0) = f ( 2 ) = 0 (显然 y0 < 0 ). 当 k ³ 0 或 k < y0 时, y = f (x) 与 y = k 没有交点；当 k = y0 时,两者有唯一交点；当y0 < k < 0 时,两者有两个交点. p评注：也可以设 g(x) = x - sin