2020年8月自考02198线性代数试题及答案含评分标准.pdf
绝密启用前 2020 年 8 月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数试题答案及评分参考线性代数试题答案及评分参考 （课程代码 02198） 一、单项选择题：本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分。 1C 2A 3D 4B 5D 二、填空题：本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。 60 71234a a a a 81 93100011054 101a 11T1 45(,)3 33 1212(),cc为任意常数 134 1436 152212433yy+ 三、计算题：本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分。 16解 1111000000 xxxDxyxy+=1110000000 xxxyxy= 5 分 211111010010 xxxyxyxyy= = 9 分 线性代数试题答案及评分参考第 1 页（共 5 页） 222111011011xyx yy= += 9 分 17解 2111122111122=A 3 分 2221110234= 234221101+AAE 3773= 9 分 18解 10000100001000011101001000322aaaaaa00010010010010001000100101232aaaaaa 2 分 00010010010010010001001000012aaaa00010010010100100010000100001aaa 00010010101001000010000100001aaa 7 分 从而=00010010101001aaaA 9 分 19解 由=2112113122502011101154321),( 2 分 00000111002101032001 6 分 线性代数试题答案及评分参考第 2 页（共 5 页） 可知该向量组的秩为 3，321,为一个极大线性无关组，并且有 32142+=，321523+=. 9 分 （答案不惟一） 20解 由方程组的增广矩阵1101002131( ,)0020200010aac+ A 可知（1）当1,2ca= =时，r( )r( ,)24= AA，方程组有无穷多解 此时，由1101002131( ,)0000000000 A， 得同解方程组124324123xxxxxx= + 通解为TTT12(0, 0,1, 0)(1,1, 2, 0)( 1, 0,3,1)kk+， 12,k k为任意常数 3 分 （2）当1,2ca =时，r( )r( ,)34= AA，方程组有无穷多解 此时，由1100002101( ,)0001000000 A， 得同解方程组12324120 xxxxx= += 通解为TT3(0, 0,1, 0)(1,1, 2, 0)k+，3k为任意常数 6 分 （3）当1,2ca= 时，r( )r( ,)34= AA，方程组有无穷多解 此时，由110101005 20021310103 20( ,)00101001010000000000 A， 线性代数试题答案及评分参考第 3 页（共 5 页） 得同解方程组1424352321xxxxx= = = 通解为TT453(0, 0,1, 0)(, 0,1)22k+，4k为任意常数 9 分 21解 由1111113232311011= +EA 2121322(1) (4)0001=+=+ 得到A的特征值为121= ，34 = 4 分 对于121= ，求解齐次线性方程组()= 0EA x， 由211101312011312000=EA 得基础解系T( , , ) 1= 1 1 1（或12r=)(AE） 7 分 即A的 2 重特征值121= 只有 1 个线性无关的特征向量， 因此A不可对角化 9 分 22解 二次型的矩阵13223122= A 由1322(2)(1)03122EA=+= 得到A的特征值为122,1= 3 分 对于12=，齐次线性方程组(2)= 0EA x的基础解系为T1(1,1) =， 将其单位化，得T111(,)22 =； 线性代数试题答案及评分参考第 4 页（共 5 页） 对于21= ，齐次线性方程组()= 0EA x的基础解系为T2(1,1) =， 将其单位化，得T211(,)22 =； 7 分 令121122(,)1122 =Q，则Q为正交矩阵， 从而经正交线性变换=xQ y，将二次型化为标准形 22122yy. 9 分 四、证明题：本题 7 分。 23证 11TT()()=+=+ECCC C BE ABC A 3 分 两边取转置()TTT()=+EBC A，从而T()+=A BCE 故A可逆且1T()=+ABC 7 分 线性代数试题答案及评分参考第 5 页（共 5 页）
