2022年复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案.pdf

一填空题（每小题3 分，共计 15 分）1231i的幅角是（2, 1,0,23kk） ； 2.)1(iLn的主值是（i432ln21） ；3. 211)(zzf，)0()5(f（ 0 ） ，40z是4sinzzz的（一级）极点；5zzf1)(，),(Rezfs（-1 ） ；二选择题（每题4 分，共 24 分）1解析函数),(),()(yxivyxuzf的导函数为（ B ） ；（A）yxiuuzf)(； （B）yxiuuzf)(；（C）yxivuzf)(； （D）xyivuzf)(.2C是正向圆周3z，如果函数)(zf（ D ） ，则0d)(Czzf（A）23z；（B）2)1(3zz； （C）2)2()1(3zz； （D）2)2(3z.3如果级数1nnnzc在2z点收敛，则级数在（C ）（A）2z点条件收敛；（B）iz2点绝对收敛；（C）iz1点绝对收敛；（D）iz21点一定发散下列结论正确的是( B )（A）如果函数)(zf在0z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B) 如果)(zf在 C所围成的区域内解析，则0)(Cdzzf（C）如果0)(Cdzzf，则函数)(zf在 C所围成的区域内一定解析；（D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 在该区域内均为调和函数5下列结论不正确的是（ D ） 的可去奇点；为、zA1sin)(的本性奇点；为、zBsin)(.sin)(的孤立奇点为、zC11的孤立奇点；为、zDsin)(1三按要求完成下列各题（每小题10 分，共 40 分）（1） 设)()(2222ydxycxibyaxyxzf是解析函数，求.,dcba解：因为)(zf解析，由 C-R 条件yvxuxvyuydxayx22,22dycxbyax,2,2 da，,2,2dbca, 1, 1 bc给出 C-R条件 6 分，正确求导给2 分，结果正确2 分。（2） 计算Czzzzed) 1(2其中 C是正向圆周：解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数zzezfz2) 1()(在复平面内只有两个奇点1,021zz，分别以21,zz为圆心画互不相交互不包含的小圆21,cc且位于c内21d) 1(d) 1(d) 1(222CzCzCzzzzezzzezzzeizeizeizzzz2)1(2)(2021无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。（3） 3342215d)2()1 (zzzzz解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：3z内，由留数定理精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - ),(Re2d)2()1(3342215zfsizzzzz -（5 分）1)1(Re22zzfsi -（8 分）234221521)1(2()11()1(1)1(zzzzzzf0,z)12()1 (11)1(34222有唯一的孤立奇点zzzzzf1)12()1(11)1(0 ,1)1(Re34220202limlimzzzzzfzzfszz33422152d)2()1(zizzzz -（10 分）（4）函数2332) 3()(sin)2)(1()(zzzzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，请指出它的级 .解：，的奇点为,3,2, 1,0,)(sin)3()2)(1()(3232kkzzzzzzzf（1）的三级零点，）为（032103zkkzsin,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,zfzzfzz210（3）的一级极点，为)(3zfz（4）的三级极点；，为)(4, 3,2zfz（5）的非孤立奇点。为)(zf备注：给出全部奇点给5 分 ，其他酌情给分。四、 （本题 14 分）将函数) 1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110z， （2）10z， （3）z1解： （1）当110z精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - )11(1)1(1)1(1)(2zzzzzf而)1()1() 11(10nnnzz01) 1()1(nnnzn021)1()1()(nnnznzf -6分（2）当10z)1 (1)1(1)(22zzzzzf=021nnzz02nnz -10分（3）当z1)11 (1)1(1)(32zzzzzf03031)1(1)(nnnnzzzzf -14分一填空题（每小题3 分，共计 15 分）121i的幅角是（, 2, 10,24kk） ；2.)1(iLn的主值是（42ln21i） ；3. 211)(zzf，)0()7(f（ 0 ） ；43sin)(zzzzf， 0),(Rezfs（ 0 ）；521)(zzf，),(Rezfs（ 0 ） ；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 得分二选择题（每小题3 分，共计15 分）122yx是解析函数),(),()(yxivyxuzf的实部，则（ A ） ；（A）)(2)(iyxzf； （B）)(2)(iyxzf；（C）)(2)(ixyzf； （D ）)(2)(ixyzf.2C是正向圆周2z，如果函数)(zf（ A ） ，则0d)(Czzf（A）11z；（B）zzsin； （C ）2)3(1z； （D ）2)1(1z.3如果级数1nnnzc在iz2点收敛，则级数在( C )（A）2z点条件收敛；（B）iz2点绝对收敛；（C）iz1点绝对收敛；（D）iz21点一定发散下列结论正确的是( C )（A）如果函数)(zf在0z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B) 如果0)(Cdzzf, 其中 C复平面内正向封闭曲线, 则)(zf在 C所围成的区域内一定解析；（C） 函数)(zf在0z点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为0zz的幂级数，而且展开式是唯一的；（D ）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数5下列结论不正确的是（ C ） （A）lnz是复平面上的多值函数；（B）cosz是无界函数；（C）zsin是复平面上的有界函数； （D）ze是周期函数三按要求完成下列各题（每小题10 分，共计 40 分）（1）求dcba,使)()(2222ydxycxibyaxyxzf是解析函数，解：因为)(zf解析，由 C-R 条件得分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - yvxuxvyuydxayx22,22dycxbyax,2,2 da，,2,2dbca, 1, 1 bc给出 C-R条件 6 分，正确求导给2 分，结果正确2 分。（2） Czzzd)1(12其中 C是正向圆周2z；解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数zzzf2) 1(1)(在复平面内只有两个奇点1,021zz，分别以21,zz为圆心画互不相交互不包含的小圆21,cc且位于c内21d)1(1d) 1(1d) 1(1222CCCzzzzzzzzz0)1(12)1(2021zzzizi（3） 计算Czzzezd)1 (13，其中 C是正向圆周2z；解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：2z内，由留数定理122),(Re2(z)diczfsizfz -（5 分）z1)1111)(! 31! 2111 (11)1(323221213zzzzzzzzezzezzz)1111)(! 41! 31! 21(3222zzzzzzz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - )! 31! 2111(1c38izfz238(z)d2（4）函数332)(sin)2)(1()(zzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点， 请指出它的级 .，的奇点为, 3,2, 1,0,)(kkzzf的三级零点，）为（032103zkkzsin,的可去奇点，是的二级极点，为)(2)(, 1zfzzfz的三级极点；，为)(4,3,2,0zfz的非孤立奇点。为)(zf给出全部奇点给5 分。其他酌情给分。四、 （本题 14 分）将函数) 1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110z， （2）10z， （3）z1（1）110z， （2）10z， （3）z1解： （1）当110z) 1(1(1)1(1) 1(1)(2zzzzzf而)1()1(1(10nnzz01)1(nnzn02) 1()(nnznzf -6分（2）当10z得分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - )1(1)(2zzzf=02)1(1nnnzz02)1(nnz -10分（3）当z1)11(1)1(1)(32zzzzzf03031)1()1(1)(nnnnnzzzzf -14分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -