2022年求数列通项公式的办法.pdf

精心整理求数列的通项公式的方法1. 定义法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式。例 1等差数列na是递增数列，前 n 项和为nS，且931,aaa成等比数列，255aS求数列na的通项公式 . 解：设数列na公差为)0(dd931,aaa成等比数列，9123aaa，即)8()2(1121daadadad120d，da1255aS211)4(2455dada由得：531a，53dnnan5353)1(53点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。练一练： 已知数列,3219 ,1617,815,413试写出其一个通项公式：_；2. 公式法 ：已知nS（即12( )naaaf n）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。例 2已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn求数列na的通项公式。解：由1121111aaSa当2n时，有,)1(2)(211nnnnnnaaSSa,)1(22221nnnaa，.2212aa经验证11a也满足上式，所以)1(23212nnna点评： 利用公式211nSSnSannnn求解时， 要注意对 n 分类讨论，但若能合写时一定要合并练一练： 已知na的前n项和满足2log (1)1nSn，求na；数列na满足11154,3nnnaSSa，求na；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 精心整理3. 作商法： 已知12( )na aaf n求na，用作商法：(1),(1)( ),(2)(1)nfnf nanf n。如数列na中，,11a对所有的2n都有2321naaaan，则53aa_；4. 累加法 ：若1( )nnaaf n求na：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a (2)n。例 3.已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111) 1(1121nnnnnnaann分别令)1( ,3 ,2, 1nn，代入上式得) 1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa所以naan111211a，nnan1231121如已知数列na满足11a，nnaann111(2)n，则na=_；5. 累乘法： 已知1( )nnaf na求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。例 4.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1( ,3 ,2 ,1nn，代入上式得) 1(n个等式累乘之，即又321a，nan32如已知数列na中，21a，前n项和nS，若nnanS2，求na6. 已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列） 。（1）形如1nnakab、1nnnakab（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后 ，再求na。1nnakab解法：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例 5.已知数列na中，11a，321nnaa，求na. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 精心整理解：设递推公式321nnaa可以转化为)(21tatann即321ttaann.故递推公式为)3(231nnaa,令3nnab，则4311ab,且23311nnnnaabb所以nb是以41b为首项，2 为公比的等比数列， 则11224nnnb,所以321nna. 1nnnakab解法 ：该类型较类型 3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab） ，得：qbqpbnn11再应用1nnakab的方法解决 .。例 6.已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnnnaa令nnnab2，则1321nnbb,应用例 7 解法得：nnb)32(23所以nnnnnba)31(2)21(32练一练 已知111,32nnaaa，求na；已知111,32nnnaaa，求na；（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。例 7：1,13111aaaannn解：取倒数：11113131nnnnaaaana1是等差数列，3)1(111naan3)1(1n231nan练一练 ：已知数列满足1a=1，11nnnnaaa a，求na；数列通项公式课后练习精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 精心整理1 已知数列na中，满足 a1， a1n+1=2(an+1)（nN ）求数列na的通项公式。2 已知数列na中，an0, 且 a1，1nana （nN ）3 已知数列na中，a1， a1n21an（ nN ）求数列na的通项公式4 已知数列na中，a1， a1n3an，求数列na的通项公式5 已知数列na中，an， a121，a1nnnaa21（nN ）求 an6 设数列na满足 a1=4，a2=2，a3=1若数列nnaa1成等差数列，求 an7 设数列na中，a1=2，a1n=2an+1 求通项公式 an8 已知数列na中，a1=1，2a1n=an+a2n求 an精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -