2022年大一高数复习资料.pdf

word 高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数函数基础（高中函数部分相关知识）（）邻域（去心邻域） （）,|Uaxxa,|0U axxa第二节数列的极限数列极限的证明（）【题型示例】已知数列nx，证明limnxxa【证明示例】N语言1由nxa化简得gn，Ng2即对0，Ng，当Nn时，始终有不等式nxa成立，axnxlim第三节函数的极限0 xx时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数xf，证明Axfxx0lim【证明示例】语言1由fxA化简得00 xxg，g2即对0，g，当00 xx时，始终有不等式fxA成立，Axfxx0limx时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数xf，证明Axfxlim【证明示例】X语言1由fxA化简得xg，gX2即对0，gX，当Xx时，始终有不等式fxA成立，Axfxlim第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（）函数xf无穷小0limxf函数xf无穷大xflim无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设xf为有界函数，xg为无穷小，则lim0fxg x（定理四） 在自变量的某个变化过程中，若xf为无穷大， 则1fx为无穷小； 反之， 若xf为无穷小，且0fx，则xf1为无穷大【题型示例】计算：0limxxfxg x（或x）1fxM函数fx在0 xx的任一去心邻域,0 xU内是有界的；（fxM，函数fx在Dx上有界；）20lim0 xgxx即函数xg是0 xx时的无穷小；（0limxgx即函数xg是x时的无穷小； ）3由定理可知0lim0 xxfxg x（lim0 xfxg x）第五节极限运算法则极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式p x、xq商式的极限运算设：nnnmmmbxbxbxqaxaxaxp110110则有0lim00baxqxpxmnmnmn000lim00 xxfxg xfxg x0000000,00g xg xfxg xfx（特别地，当00lim0 xxfxg x（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9xxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - word 【求解示例】解：因为3x，从而可得3x，所以原式23333311limlimlim93336xxxxxxxxx其中3x为函数239xfxx的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：00233323311limlimlim9269xLxxxxxxx连续函数穿越定理（复合函数的极限求解） （）（定理五）若函数xf是定义域上的连续函数，那么，00limlimxxxxfxfx【题型示例】求值：93lim23xxx【求解示例】22333316limlim9966xxxxxx第六节极限存在准则及两个重要极限夹迫准则（ P53） （）第一个重要极限：1sinlim0 xxx2, 0 x，xxxtansin1sinlim0 xxx0000lim11limlim1sinsinsinlimxxxxxxxxxx（特别地，000sin()lim1xxxxxx）单调有界收敛准则（P57） （）第二个重要极限：exxx11lim（一般地，limlimlimg xg xfxfx，其中0limxf）【题型示例】求值：11232limxxxx【求解示例】211121212122121122122121lim21221232122limlimlim121212122lim1lim121212lim121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：12lim1212121212122lim121xxxxxxxxxeeee第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）等价无穷小（）1 sin tan arcsin arctan ln(1)1UUUUUUUe2UUcos1212（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：xxxxxx31ln1lnlim20【求解示例】3131lim31lim31ln1lim31ln1lnlim,0,000020 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以原式即解：因为第八节函数的连续性函数连续的定义（）000limlimxxxxfxfxfx间断点的分类（P67） （）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数xaexfx2，00 xx应该怎样选择数a，使得xf成为在R上的连续函数？【求解示例】12 010000feeefaafa2由连续函数定义efxfxfxx0limlim00ea精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - word 第九节闭区间上连续函数的性质零点定理（）【题型示例】 证明：方程fxg xC至少有一个根介于a与b之间【证明示例】1 （建立辅助函数）函数xfxg xC在闭区间,a b上连续；20ab（端点异号）3由零点定理，在开区间ba,内至少有一点，使得0，即0fgC（10）4这等式说明方程fxg xC在开区间ba,内至少有一个根第二章导数与微分第一节导数概念高等数学中导数的定义及几何意义（P83） （）【题型示例】 已知函数baxexfx1，00 xx在0 x处可导，求a，b【求解示例】10010fefa，00001120012feefbfe2由函数可导定义0010002ffafffb1,2ab【题型示例】求xfy在ax处的切线与法线方程（或：过xfy图像上点,a fa处的切线与法线方程）【求解示例】1xfy，afyax|2切线方程：yfafaxa法线方程：1yfaxafa第二节函数的和（差） 、积与商的求导法则函数和（差） 、积与商的求导法则（）1线性组合（定理一） ：()uvuv特别地，当1时，有()uvuv2函数积的求导法则（定理二）：()uvu vuv3函数商的求导法则（定理三）：2uu vuvvv第三节反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则（）【题型示例】求函数xf1的导数【求解示例】由题可得xf为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且0 xf；11fxfx复合函数的求导法则（）【题型示例】设2arcsin122lnxyexa，求y【求解示例】2222222arcsin122arcsin122222arcsin1222arcsin1222arcsin1222arcsin122arcsiarcsin12211121121221221xxxxxxxyexaexaxxaexaxexaxxxexxaexaeexa解：2n1222212xxxxxxa第四节高阶导数1nnfxfx（或11nnnnd ydydxdx） （）【题型示例】求函数xy1ln的n阶导数【求解示例】1111yxx，12111yxx，2311121yxx1( 1)(1) (1)nnnynx！第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导（等式两边对x求导）（）【题型示例】试求：方程yexy所给定的曲线C：xyy在点1 ,1e的切线方程与法线方程【求解示例】由yexy两边对x求导即yyxe化简得1yyeyeey11111切线方程：exey1111精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - word 法线方程：exey111参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程tytx，求22dxyd【求解示例】 1.ttdxdy2.22dyd ydxdxt第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法则（）dxxfdy第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理引理（费马引理） （）罗尔定理（）【题型示例】 现假设函数fx在0,上连续，在0,上可导，试证明：0,，使得cossin0ff成立【证明示例】1 （建立辅助函数）令sinxfxx显然函数x在闭区间0,上连续，在开区间0,上可导；2又00 sin00fsin0f即003由罗尔定理知0,，使得cossin0ff成立拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当1x时，xee x【证明示例】1 （建立辅助函数）令函数xfxe，则对1x，显然函数fx在闭区间1,x上连续，在开区间1,x上可导，并且xfxe；2由拉格朗日中值定理可得，1, x使得等式11xeexe成立，又1ee，111xeexee xe，化简得xee x，即证得：当1x时，xee x【题型示例】证明不等式：当0 x时，ln 1xx【证明示例】1 （建立辅助函数）令函数ln 1fxx，则对0 x，函数fx在闭区间0,x上连续，在开区间0,上可导，并且11fxx；2由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式1ln 1ln 1001xx成立，化简得1ln 11xx，又0, x，111f，ln 11xxx，即证得：当1x时，xee x第二节罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1等价无穷小的替换（以简化运算）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A属于两大基本不定型（0,0）且满足条件，则进行运算：limlimxaxafxfxg xgx（再进行 1、2 步骤，反复直到结果得出）B不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）0型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0limlnxxx【求解示例】10000201lnlnlimlnlimlimlim111lim0 xxL xxxxxxxxxxxxxa解：（一般地，0limln0 xxx，其中,R）型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：011limsinxxx【求解示例】200011sinsinlimlimlimsinsinxxxxxxxxxxxx解：000000002sin1cos1 cossinlimlimlimlim0222LxxLxxxxxxxxxx00型（对数求极限法）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - word 【题型示例】求值：0limxxx【求解示例】0000lim lnln000002ln,lnlnln1lnln0lim lnlimlim111limlim0limlim11xxxxxLxyyxxxxxyxyxxxxxxxyxxxxyeeex解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有1型（对数求极限法）【题型示例】求值：10lim cossinxxxx【求解示例】01000000lim lnln100ln cossincossin,ln,ln cossinln0lim lnlimln cossincossin10limlim1,cossin10lim= limxxxxLxxyyxxxxyxxyxxxyxyxxxxxxxxyeeee解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得0型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan01limxxx【求解示例】tan002000202200011,lntanln,1ln0lim lnlimtanln1lnlnlimlimlim1sec1tantantansinsinlimlimlixxxxLxxxL xyyxxxyxyxxxxxxxxxxxxx解：令两边取对数得对求时的极限，00lim lnln0002sincosm0,1lim= lim1xxyyxxxxyeee从而可得运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）0000001(1)(2)(3)通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性连续函数单调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数3229123fxxxx的单调区间【求解示例】1函数fx在其定义域R上连续，且可导261812fxxx2 令6120f xxx， 解得：121,2xx3 （三行表）x,111,222,fx00fx极大值极小值4函数fx的单调递增区间为,1 , 2,；单调递减区间为1,2【题型示例】证明：当0 x时，1xex【证明示例】1 （构建辅助函数）设1xxex， （0 x）210 xxe， （0 x）00 x3既证：当0 x时，1xex【题型示例】证明：当0 x时，ln 1xx【证明示例】1 （构建辅助函数）设ln 1xxx， （0 x）21101xx， （0 x）00 x3既证：当0 x时，ln 1xx连续函数凹凸性（）【题型示例】 试讨论函数2313yxx的单调性、 极值、凹凸性及拐点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - word 【证明示例】1236326661yxxx xyxx2令320610yx xyx解得：120,21xxx3 （四行表）x(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y00yy1(1,3)54函数2313yxx单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0),(2,)；函数2313yxx的极小值在0 x时取到，为01f，极大值在2x时取到，为25f；函数2313yxx在区间(,0),(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)上凸；函数2313yxx的拐点坐标为1,3第五节函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系（）设函数fx的定义域为D，如果Mx的某个邻域MUxD，使得对MxUx，都适合不等式Mfxfx，我们则称函数fx在点,MMxfx处有极大值Mfx；令123,.,MMMMMnxxxxx则函数fx在闭区间,a b上的最大值M满足：123max,.,MMMMnMfaxxxxfb；设函数fx的定义域为D， 如果mx的某个邻域mUxD，使得对mxUx，都适合不等式mfxfx，我们则称函数fx在点,mmxfx处有极小值mfx；令123,.,mmmmmnxxxxx则函数fx在闭区间,a b上的最小值m满足：123min,.,mmmmnmf axxxxf b；【题型示例】求函数33fxxx在1,3上的最值【求解示例】1函数fx在其定义域1,3上连续，且可导233fxx2令3110fxxx，解得：121,1xx3 （三行表）x11,111,3fx00fx极小值极大值4又12,12,318fffmaxmin12,318fxffxf第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念（）原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数F x的导函数为Fx， 即当自变量xI时，有Fxfx或dF xfxdx成立，则称F x为fx的一个原函数原函数存在定理： （）如果函数fx在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数F x使得Fxfx，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（）在定义区间I上，函数fx的带有任意常数项C的原函数称为fx在定义区间I上的不定积分，即表示为：fx dxFxC（称为积分号，fx称为被积函数，fx dx称为积分表达式，x则称为积分变量）基本积分表（）不定积分的线性性质（分项积分公式）（）1212k fxk g xdxkfx dxkg x dx第二节换元积分法第一类换元法（凑微分）（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - word （dxxfdy的逆向应用）fxx dxfxdx【题型示例】求221dxax【求解示例】222211111arctan11xxdxdxdCaxaaaaxxaa解：【题型示例】求121dxx【求解示例】11112121221212 2121dxdxdxxxxxC解：第二类换元法（去根式）（）（dxxfdy的正向应用）对于一次根式（0,abR） ：axb：令taxb，于是2tbxa，则原式可化为t对于根号下平方和的形式（0a） ：22ax：令tanxat（22t） ，于是arctanxta，则原式可化为secat；对于根号下平方差的形式（0a） ：a22ax：令sinxat（22t） ，于是arcsinxta，则原式可化为cosat；b22xa：令secxat（02t） ，于是arccosatx，则原式可化为tanat；【题型示例】求121dxx（一次根式）【求解示例】2211122112121txxtdx tdtdxtdtdttCxCtx解：【题型示例】求22ax dx（三角换元）【求解示例】2sin ()222222arcsincos22cos1cos221sin 2sin cos222x attxtadx ataax dxatdtt dtaattCtttC解：第三节分部积分法分部积分法（）设函数ufx，vg x具有连续导数， 则其分部积分公式可表示为：udvuvvdu分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分： （vdxdv）使用分部积分公式：udvuvvdu展开尾项vduv u dx，判断a若v u dx是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b若v u dx依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2xex dx【求解示例】222222222222222xxxxxxxxxxxxxxxex dxx e dxx dex ee d xx ex e dxx ex d ex exee dxx exeeC解：【题型示例】求sinxexdx【求解示例】sincoscoscoscoscoscossincossinsincossinsinxxxxxxxxxxxxxxexdxe dxexxd eexexdxexe dxexexxd eexexexdx解：sincossinsinxxxxexdxexexxd e即：1sinsincos2xxexdxexxC第四节有理函数的不定积分有理函数（）设：101101mmmnnnP xp xa xa xaQ xq xb xb xb精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - word 对于有理函数P xQ x，当P x的次数小于Q x的次数时，有理函数P xQ x是真分式；当P x的次数大于Q x的次数时，有理函数P xQ x是假分式有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）将有理函数P xQ x的分母Q x分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式kxa；而另一个多项式可以表示为二次质因式2lxpxq， （240pq） ；即：12Q xQxQx一般地：nmxnm xm，则参数nam22bcaxbxca xxaa则参数,bcpqaa则设有理函数P xQ x的分拆和式为：122klP xPxPxQ xxaxpxq其中1122.kkkPxAAAxaxaxaxa2112222222.llllPxM xNM xNxpxqxpxqxpxqM xNxpxq参 数121212,.,.,lklMMMAAANNN由 待 定 系数法（比较法）求出得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21xdxx（构造法）【求解示例】221111111111ln112xxxxdxdxxdxxxxxdxdxdxxxxCx第五节积分表的使用（不作要求）第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质定积分的定义（）01limnbiiaifx dxfxI（fx称为被积函数，fx dx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，,a b称为积分区间）定积分的性质（）bbaafx dxf u du0aafx dxbbaakfxdxkfx dx（线性性质）1212bbbaaak fxk g xdxkfx dxkg x dx（积分区间的可加性）bcbaacfx dxfx dxfx dx若函数fx在积分区间, a b上满足0fx，则0bafx dx；（推论一）若函数fx、函数g x在积分区间, a b上满足fxg x，则bbaafx dxg x dx；（推论二）bbaafx dxfx dx积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式牛顿 - 莱布尼兹公式（）（定理三）若果函数F x是连续函数fx在区间,a b上的一个原函数，则bafx dxF bF a变限积分的导数公式（） （上上导下下导）xxdft dtfxxfxxdx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - word 【题型示例】求21cos20limtxxedtx【求解示例】221100coscos2002limlim解：ttxxxLxdedtedtdxxx2222221coscos000cos00coscos0cos010sinsinlimlim22sinlim2cossin2sincoslim21limsincos2sincos21122xxxxxLxxxxxxeexx exxdx edxxx ex exxexxxxee第三节定积分的换元法及分部积分法定积分的换元法（）（第一换元法）bbaafxx dxfxdx【题型示例】求20121dxx【求解示例】222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dxdxxxx（第二换元法）设函数,fxC a b，函数xt满足：a,，使得, ab；b在区间,或,上，,ftt连续则：bafx dxftt dt【题型示例】求40221xdxx【求解示例】22121 0,43220,1014,33233231113222211311 1332223522933解：ttxxxtxttxdxdxtxtt dttdttxt（分部积分法）bbaabbbaaau x vx dxu x v xv x ux dxu x dv xu x v xv x du x偶倍奇零（）设,fxCa a，则有以下结论成立：若fxfx，则02aaafx dxfx dx若fxfx，则0aafx dx第四节定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节反常积分（不作要求）如：不定积分公式21arctan1dxxCx的证明。很多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这样一种证明方法以说明问题：tan22arctan22222211tan11tan111cosseccoscosarctanxtttxdxtdtxtdttdtdtttttCxC如此，不定积分公式2211arctanxdxCaxaa也就很容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。最后，限于编者水平的限制，资料中错误和疏漏在所难免，希望同学们积极指出，以便互相学习改进。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - word 本文档由 编辑精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -