2022年江苏省苏州市太仓市昆山市联考-学高一下学期期中数学试卷.pdf

江苏省苏州市太仓市、 昆山市联考2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（共14 小题，每小题5 分，满分 70 分）1 （ 5 分）函数 y=+1g（x1）的定义域是2 （ 5 分）若直线l 的倾斜角为120 则 l 的斜率是3 （ 5分）在 ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，如果 a： b：c=3：2：4，那么 cosC=4 （ 5 分）若不等式x2axb0 的解集为 x|2 x3，则 a+b=5 （ 5 分）在 ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 b=5，B=，tanA=2 ，则 a=6 （ 5 分）不等式组，所表示的平面区域的面积为7 （ 5 分）在 ABC 中，已知 sinA=2sinBcosc ，则 ABC 的形状为8 （ 5 分）设 A，B 是ABC 的内角，且（ 1+tanA） ?（1+tanB）=2，则 C=9 （ 5 分）在 ABC 中，若 A=60 ，边 AB=2 ，SABC=，则 BC 边的长为10 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最大值为11 （5 分）已知、 、 满足+=0，且与的夹角为135 ， 与的夹角为120 ， |=2，则|=，| |=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 12 （5 分）已知函数，则满足不等式f（1x2） f（2x）的 x 的范围是13 （5 分）有一个角为60 的钝角三角形，满足最大边与最小边之比为m，则 m 的取值范围为14 （5 分）设二次函数f（x）=ax24x+c（a 0）的值域为二、解答题（共6 小题，满分90 分）15 （14 分）已知 ABC ，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且a，b，c 互不相等，设a=5，c=3，A=2C （1）求 cosC的值（2）求 b的值16 （14 分）设 f（x）=6cos2xsin2x （1）求 f（x）的最大值及最小正周期（2）若 满足 f（）=3，求 sin（2）的值17 （14 分）已知不等式x23x+2 0 的解集为 A，不等式 1 的解集为B，不等式 x2（ a+1）x+a0 的解集为 C （1）求 A B （2）若 AC=R，求 a 的取值范围18（16 分） 已知在 ABC 中， a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边，向量，（1）求角 A 的大小；（2）若 a=3，求 ABC 面积的最大值19 （16 分）如图， GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点 B 的正北方向的A 处建一仓库，并在公路同侧建造一个矩形无顶中转站CDEF（其中边EF 在GH 上） ，现从仓库A 向 GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC，已知 AB=AC+1 ，CD=EF+1且 ABC=60 ，设 AB=ykm ，CF=xkm （1）求 y 关于 x 的函数解析式（2）如果中转站四周围墙（即矩形周长）造价为2 万元 /km，两条道路造价为6 万元 /km，问： x 取何值时，该公司建中转围墙和两条道路总造价M 最低？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 20 （16 分）设 a 为实数，设函数f（x）=2，设t=（1）求 t 的取值范围，并把f（x）表示为 t 的函数 g（t）（2）若 g（t） 0 恒成立，求实数a的取值范围（3）若存在 t 使得|g（t）|t 成立，求实数a的取值范围江苏省苏州市太仓市、 昆山市联考 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14 小题，每小题5 分，满分 70 分）1 （ 5 分）函数 y=+1g（x1）的定义域是（1，2考点：函数的定义域及其求法专题：函数的性质及应用分析：通过对数的真数大于0，被开偶次方数非负求解即可解答：解：要使函数有意义，可得：，解得： x （1，2函数 y=+1g（x1）的定义域是（1，2故答案为：（1，2点评：本题考查函数的定义域的求法，对数的解得性质的应用，考查计算能力2 （ 5 分）若直线l 的倾斜角为120 则 l 的斜率是考点：直线的斜率专题：直线与圆分析：直接利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可解答：解：直线l 的倾斜角为120 则 l 的斜率是： tan120 =精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 故答案为：点评：本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，基本知识的考查3 （ 5分）在 ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，如果 a： b：c=3：2：4，那么 cosC=考点：余弦定理专题：解三角形分析：由已知的a：b：c 的比值设出a，b 及 c，然后利用余弦定理表示出cosC，把设出的 a，b 及 c代入，化简可得cosC的值解答：解：因为a：b：c=3：2：4，所以设 a=3k，b=2k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC=故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及比例的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键4 （ 5 分）若不等式x2axb0 的解集为 x|2 x3，则 a+b=1考点：一元二次不等式的应用专题：计算题分析：不等式 x2axb0 的解集是 x|2 x3， 故 3， 2 是方程 x2axb=0 的两个根，由根与系数的关系求出a，b 可得解答：解：由题意不等式x2axb0 的解集是 x|2 x3 ，故 3，2 是方程 x2axb=0 的两个根，3+2=a，3 2=b a=5，b=6 a+b=56=1 故答案为： 1 点评：本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值注意总结方程，函数， 不等式三者之间的联系5 （ 5 分）在 ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 b=5，B=，tanA=2 ，则 a=2考点：正弦定理专题：解三角形分析：由 tanA 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，再由b 与 sinB 的值，利用正弦定理即可求出a 的值解答：解： tanA=2 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - cos2A=，sinA=，又 b=5，sinB=，由正弦定理得： a=2故答案为： 2点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键6 （ 5 分）不等式组，所表示的平面区域的面积为8考点：二元一次不等式（组）与平面区域专题：不等式的解法及应用分析：利用不等式组画出图形，求解阴影部分的面积问题解答：解：因为不等式组，所以表示的平面区域直角三角形，根据图形得出：面积=8，故答案为： 8 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 点评：本题考查了不等式组表示的平面区域的面积问题，关键是画出图形，确定点， 求解面积，属于几何图形的运用问题7 （ 5 分）在 ABC 中，已知 sinA=2sinBcosc ，则 ABC 的形状为等腰三角形考点：三角形的形状判断专题：计算题分析：通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状解答：解：因为sinA=2sinBcosc ，所以 sin（B+C ）=2sinBcosC，所以 sinBcosCsinCcosB=0，即 sin（BC）=0，因为 A，B，C 是三角形内角，所以B=C三角形的等腰三角形故答案为：等腰三角形点评：本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形的判断，考查计算能力8 （ 5 分）设 A，B 是ABC 的内角，且（ 1+tanA） ?（1+tanB）=2，则 C=考点：两角和与差的正切函数专题：计算题；三角函数的求值分析：将已知关系式（1+tanA） ?（1+tanB）=2 展开整理，可得tan（A+B ）=1，从而可求得 ABC 中的角 C解答：解：（ 1+tanA）?（1+tanB）=2，tanA+tanB+tanAtanB=1 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - =1，即 tan（A+B ）=1，A，B 是 ABC 的内角，tan（ C）=1，tanC=1C=故答案为：点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查化简与运算能力，属于中档题9 （ 5 分）在 ABC 中，若 A=60 ，边 AB=2 ，SABC=，则 BC 边的长为考点：余弦定理；三角形的面积公式专题：解三角形分析：由 AB ，sinA 及已知的面积，利用三角形面积公式求出AC 的长，再由AB ，AC 及cosA 的值，利用余弦定理即可求出BC 的长解答：解： A=60 ，边 AB=2 ，SABC=，SABC=AB ?AC ?sinA，即= 2AC，解得： AC=1 ，由余弦定理得：BC2=AB2+AC22AB ?AC?cosA=4+1 2=3，则 BC=故 答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键10 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最大值为8考点：简单线性规划专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 联立，解得 B（2，3） ，化目标函数z=x+2y 为，由图可知，当直线过 B（2，3）时， z 取得最大值为z=2+2 3=8故答案为： 8点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题11 （5 分）已知、 、 满足+=0，且与的夹角为135 ， 与的夹角为120 ， |=2，则|=，|=1+考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由已知+=0，可知三个向量首尾相接后，构成一个三角形，且与的夹角为135 ，与的夹角为120 ，可以得到三角形的两个内角和一边的长，利用正弦定理，可求出向量对应边的长度解答：解：+=0，三个向量首尾相接后，构成一个三角形且与的夹角为135 ，与的夹角为120 ，| |=2，故所得三角形如下图示：其中 C=45 ， A=60 ，AB=2 |=；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - | |=1+；故答案为：点评：本题考查了向量的三角形法则的运用以及利用正弦定理求三角形的边长关键是明确三个向量的位置关系12 （5 分）已知函数，则满足不等式f（1x2） f（2x）的 x 的范围是（ 1，1） 考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由题意 f（x）在m2，故 m 的取值范围为（2，+） 点评：本题考查等差数列的定义和性质，正弦定理的应用，求得tan =是解题的关键，属于中档题14 （5 分）设二次函数f（x）=ax24x+c（a 0）的值域为故答案为点评：本利用基本不等式求函数最值是2015 届高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等同时注意数形结合思想的运用是中档题二、解答题（共6 小题，满分90 分）15 （14 分）已知 ABC ，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且a，b，c 互不相等，设a=5，c=3，A=2C （1）求 cosC的值（2）求 b的值考点：余弦定理；正弦定理专题：解三角形分析：（1） 对 A=2C 两边取正弦， 运用二倍角公式和正弦定理，计算即可得到cosC 的值；（2）运用余弦定理，代入计算即可得到b 的值解答：解： （1）由 A=2C ，可得 sinA=sin2C=2sinCcosC ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 由正弦定理可得a=2ccosC，代入 a=5，c=3，可得 cosC=；（2）由余弦定理，c2=a2+b22abcosC 即 9=25+b22 5b ，解得 b=3 或，由于 a，b，c 互不相等，即有b=点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查三角函数的二倍角公式，考查运算能力，属于中档题16 （14 分）设 f（x）=6cos2xsin2x （1）求 f（x）的最大值及最小正周期（2）若 满足 f（）=3，求 sin（2）的值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象专题：三角函数的图像与性质分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用三角函数图象与性质求得函数的最大值和最小正周期（2）根据已知等式求得cos（ +）的值，利用倍角公式求得cos（2 +）的值，最后通过诱导公式求得答案解答：解： （1）f（x）=3cos2xsin2x+3=2cos（ 2x+）+3，函数的最大值为2+3，最小正周期T= （2）f（）=2cos（ +）+3=3，cos（ +）=，cos（2 +）=2cos2（ +）1=，sin（2）=cos（+2 ）=cos（2 +）=点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质注重了对学生基础公式的灵活运用的考查精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 17 （14 分）已知不等式x23x+2 0 的解集为 A，不等式 1 的解集为B，不等式 x2（ a+1）x+a0 的解集为 C （1）求 A B （2）若 AC=R，求 a 的取值范 围考点：其他不等式的解法；并集及其运算；交集及其运算专题：不等式的解法及应用；集合分析：求出集合 A、BC，然后求解（1）A B （2）通过 AC=R，直接求 a 的取值范围解答：解：不等式x23x+2 0 的解集为 A=x|x 2 或 x 1，不等式 1 的解集为 B= ，（1）A B=x|0 x 1 （2）A=x|x 2 或 x 1，AC=R，不等式 x2（ a+1）x+a0 化为（ x1） （xa） 0，由数轴可知：a 2点评：本题考查不等式的解法，集合的交、并、补的基本运算，基本知识的考查18（16 分） 已知在 ABC 中， a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边，向量，（1）求角 A 的大小；（2）若 a=3，求 ABC 面积的最大值考点：三角形中的几何计算专题：计算题；分类讨论分析：（1） 利用题设的表达式利用两角和公式化简整理求得sinA 的值， 进而求得A（2）利用余弦定理根据（1）中 A 的值求得 bc 的最大值，进而利用三角形面积公式求得面积的最大值解答：解： （1）=cosAcosB+sinAsinB ，又=sinB+cos（ A+B ）=，或（2）a2=b2+c22bccosA ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 当时， b2+c2bc=9 bc，； 当时，9=b2+c2+bc 3bc，故 bc 3，点评：本题主要考查了三角形的几何计算考查了学生对三角函数基础知识的熟练掌握19 （16 分）如图， GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点 B 的正北方向的A 处建一仓库，并在公路同侧建造一个矩形无顶中转站CDEF（其中边EF 在GH 上） ，现从仓库A 向 GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC，已知 AB=AC+1 ，CD=EF+1且 ABC=60 ，设 AB=ykm ，CF=xkm （1）求 y 关于 x 的函数解析式（2）如果中转站四周围墙（即矩形周长）造价为2 万元 /km，两条道路造价为6 万元 /km，问： x 取何值时，该公司建中转围墙和两条道路总造价M 最低？考点：解三角形的实际应用专题：解三角形分析：（1）根据题意得AB=y 且 AC=y 1，在 RtBCF 中，BC=2CF=2x 然后在 ABC中利用余弦定理AC2=AB2+BC22?AB ?BC?cosB 的式子建立关于x、y 的等式，解出用x表示 y 的式子，即可得到y 关于 x 的函数解析式；（2）由（ 1）求出的函数关系式，结合题意得出总造价M=3+4x然后换元：令 x1=t，化简得到M=16t+25，利用基本不等式算出当t=时， M 的最小值为49由此即可得出当总造价M 最低时，相应的x 值解答：解： （1） AB=y ，AB=AC+1 ， AC=y 1在 RtBCF 中， CF=x， ABC=60 ， CBF=30 ，可 得 BC=2x 由于 2x+y1y，得 x在ABC 中，根据余弦定理AC2=AB2+BC22?AB ?BC?cosB，可得（ y1）2=y2+（2x）22（y1）?2x?cos60 ，即（ y1）2=y2+4x22x（y1） ，解得 y=y0 且 x，x1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 可得 y 关于 x 的函数解析式为y=（x 1） （2）由题意，可得总造价M=3+4x=3+4x令 x1=t，则 M=3+4（t+1）=16t+25 2 +25=49，当且仅当 16t=，即 t=时， M 的最小值为49此时 x=t+1=，y=答：当 x 的值为时，该公司建中转站围墙和道路总造价M 最低点评：本题给出实际应用问题，求能够使公司建中转站围墙和两条道路总造价最低的方案着重考查了函数解析式的求法、运用基本不等式求最值和余弦定理及其应用等知识，属于中档题20 （16 分）设 a 为实数，设函数f（x）=2，设t=（1）求 t 的取值范围，并把f（x）表示为 t 的函数 g（t）（2）若 g（t） 0 恒成立，求实数a的取值范围（3）若存在 t 使得|g（t）|t 成立，求实数a的取值范围考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：（1）由偶次根式被开方数非负，可得x 的范围，将t 的式子两边平方，结合二次函数的值域，可得t 的范围，进而得到g（t） ；（2）由 g（t） 0 恒成立，即有0 g（t）min，注意到直线t=是抛物线g（t）=t2+at+3 的对称轴，分以下几种情况讨论 当即 a 2时， 当2 即 4a 2时， 当 2 即 a 4 时，讨论 g（t） 的单调性，即可得到最小值，进而得到a 的范围；（3） ）存在 t 使得 |g（t）|t 成立，即为 |t2+at+3|t? tt2+at+3t，即有 a1t且 a 1t在成立，运用函数的单调性求得右边函数的最值，再由存在性问题的解法即可得到 a 的范围精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 解答：解： （1）t=，要使 t 有意义，必须1+x 0 且 1x 0，即 1 x 1，t2=2+2，t 0t 的取值范围是由 得=t21，g（t）=t2+at+3， t 2；（2）由 g（t） 0 恒成立，即有0 g（t）min，注意到直线t=是抛物线 g（t）=t2+at+3 的对称轴，分以下几种情况讨论 当即 a 2时， g（t）在上为递增函数，即有 t=时，取得最小值，且为5+a； 当2 即 4a 2时， g（t）的最小值为g（）=3； 当 2 即 a 4 时， g（t）在上为递减函数，即有 t=2 时，取得最小值，且为7+2a则或或，解得 a 2或 2 a 2或 a? ，则有 a 2；（3）存在 t 使得 |g（t）|t 成立，即为|t2+at+3|t? tt2+at+3t，即有 a1t且 a1t在成立，h（t）=t+在，）递减，在（， 2）递增，即有 h（t）的最小值为2，最大值为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 即有 a12且 a 1则实数 a 的取值范围是（1，12） 点评：本题考查换元法的运用，主要考查二次函数的最值的求法，同时考查分类讨论的思想方法，以及不等式恒成立和成立问题的解法，属于中档题和易错题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -