2022年天津市红桥区高三数学下学期第二次模拟考试试题理.pdf

天津市红桥区 2016 届高三数学下学期第二次模拟考试试题理 （扫描版）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 高三数学（理）2016、05 一、选择题：每小题5 分，共 40 分题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B A D B C B D 二、填空题：每小题5 分，共 30 分题号9 10 11 12 13 14 答案278 1033 2三、解答题：共6 小题，共 80 分（15） （本小题满分13 分）已知231( )sin 2cos22f xxx（）求函数( )f x 的最小正周期及在区间0,2的最大值；( ) 若01()3fx0,6 12x，求0sin2x 的值解() f(x) 32sin 2x1cos 2x21232sin 2x12cos 2xsin2x6（余弦二倍角1分两角和公式1分，特殊角函数值1分）-3 分( )sin(2)6f xx，最小正周期为，-5分x 0，2，故0,6x( )f x 单调增， ,6 2x单调减sin2x6 12，1 ，所以f(x) 在区间0，2的最大值是1.-( 单调性 1 分， 最大值 1 分)-7分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - ( ) ( )sin(2)6fxx，01()3f x，01sin(2)63x，又0,6 12x所以0262x，故022cos(2)63x-（判断区间1 分，结论1 分） -9 分所以0000sin 2sin(2)sin(2)coscos(2)sin666666xxxx132 2132232326-（变形，公式、特殊角、结论各1 分）-13分（16） （本小题满分13 分）甲、乙两队 参加听歌猜歌名游戏，每队3 人随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3 人答对的概率分别为23，13，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响.( ) 若比赛前随机从两队的6 个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；（）用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列和数学期望；（）求两队得分之和大于4 的概率 解： () 6个选手中抽取两名选手共有2665152 1C种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有：2326C种结果，用A表示事件：“从两队的6 个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队”62( )155P A.-（公式 2 分，结论 1 分）-3分故从两队的6 个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为25. ( ) 解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2， 3，且P(0)C03 1233127，P(1)C1323 123229，P(2)C23232 12349，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - P(3)C33233827.所以的分布列为0123 P 1272949827-7分的数学期望E()012712924938272.-9 分解法二：根据题设可知B3，23，因此的分布列为P(k)Ck323k 1233kCk32k33，k0，1，2，3.因为B3，23，所以E() 3232.（）用B表示事件 : 两队得分之和大于4 包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，用1A表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3 分乙队 2 分和乙队3 分甲队 2 分。3121 2 12 1 21 1 14 2 1 140()( ) 33 3 23 2 33 2 39 3 2 3243P A-11分用2A表示事件：两队得分之和为6，甲队 3 分乙队 3 分3222 1 1818()( )33 3 227 9243P A-12分1240848( )()()243243243P BP AP A-13分所以两队得分之和大于4 的概率为48243（17） （本小题满分13 分）已知数列na是递增等差数列，12a，其前 n 项为nS （ nN ） 且145,2aaS成等比数列（）求数列na的通项na 及前 n 项和nS ；（）若数列nb满足1221nanb，计算nb的前 n项和nT ，并用数学归纳法证明：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - ABCDPE当5n时， nN ，nnTS 解： （）设数列na的公差为d，由12a和145,2aaS成等比数列，得(2 3d)22(12 10d) ，-2分解得d2 或109d. 当109d时，与145,2a aS成等比数列矛盾，舍去所以d2，-3分所以2(1)22nann 即数列na的通项公式为2nan -4分2nSnn -5分（ ）1122121nannb， -6分021121212121(122)21nnnnTnn-7分要证nnTS ，即证明：221nn当5n时，522322651假设当nk时，221kk成立，则1nk时，1222 222kkk-10分而2222222(1)122222(2)kkkkkkkk k因为5k，所以2222(1)10kk，故1222 222kkk2(1)1k -12分综上得当5n时，nnTS，nN -13分（18） （本小题满分13 分）如图， 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60ABC，侧面PBC是边长为 2的等边三角形，点E 是PC的中点，且平面PBC平面ABCD. ( ) 求异面直线PD 与AC所成角的余弦值；( ) 若点 F 在 PC 边上移动，是否存在点F 使平面 BFD 与平面APC所成的角为 90 ？若存在，则求出点F 坐标，否则说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - ( ) 因 为 平 面PBC平 面ABCD， 底 面ABCD是 菱 形 ，60ABC， 故2A BB CA CP CP B取BC中 点O，则AOBC，,POBC POAO以O为坐标原点，OP为 x 轴，OC为 y轴建立平面直角坐标系，-2分(0,0,0)O，(0,0,3)A,(0, 1,0)B,(0,1,0)C( 3,0,0)P,(0,2,3)D,3 1(,0)22E-（对 5 个也给 1 分）-3分 ( ) (3,2,3)PD，(0,1,3)AC，则34310PD，132AC，231PDAC-5分设异面直线PD 与AC所成角为,110cos202 10PDACPD AC-6分所以异面直线PD 与AC所成角的余弦值为1020( ) 设存在点 F ，使平面 BFD 与平面APC所成的角为90 ，设( , ,0)E a b，因为,P C F 三点共线，PFPC ，-7分(3, ,0)PFab，(3,1,0)PC所以，(1) 3,ab，( (1) 3, 0)F，-8分设平面 BFD 的一个法向量为1111,xy zm，11111103300(1)3(1)0BDyzBFxymm令13y，11,3,31m.211()121m-9分设平面 APC 的一个法向量为2222,xyzm，2222220330030APxzPCxymm令21x，21, 3,1m.21315m,-10分又12113311mm精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 若平面 BFD 与平面APC所成的角为 90 ，则1221211cos9015()121mmmm故101-即1-12分，此时( 2 3,1,0)E，点F在 CP 延长线上，所以，在 PC 边上不存在点F 使平面 BFD 与平面APC所成的角为90 -13分（19） （本小题满分14 分）设椭圆:C22221(0)xyabab，过点(2,1)Q，右焦点(2,0)F, （）求椭圆C的方程；（）设直线:(1)lyk x分别交 x轴，y轴于,C D 两点，且与椭圆C交于,M N 两点，若CNMD , 求k值；（）自椭圆C上异于其顶点的任意一点P, 作圆22:2O xy的两条切线切点分别为12,P P , 若直线12,P P 在 x 轴，y轴上的截距分别为m ， n ，证明：22121mn解： （）因为过点( 2,1)Q，故有22211ab，由已知2c联立22222112abab解得：224,2ab，所以椭圆C的方程为22142xy-4分（）直线:(1)lyk x与 x 轴交点(1,0)C，y轴交点(0,)Dk联立2224(1)xyyk x消元得：2222(12)4240kxk xk设1122(,),(,)M xyN xy，则2122412kxxk22(1,)CNxy，11(,)MDxky，由CNMD得：21224112kxxk，解得：22k-9分（）因为12,P P 为切点，所以11OPPP,22OPPP , 所以12,P P O P 四点共圆， - -10分其圆心(,)22ppxyO，方程为：2222()()224pppPyxyxxy整理得：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 220ppxyxxyy-11分12,P P 是圆O与圆O的交点，联立222220ppxyxyxxyy得2ppxxyy， -12分得22,ppxymn，因为(,)ppP xy在椭圆22142xy上，则2222()()142mn整理得：22121mn。-14分（20） （本小题满分14 分）已知函数21( )ln2f xaxbxx ， （,a bR ）（）若函数( )f x 在121,2xx处取得极值，求,a b 的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值；（ ） 若 函 数( )f x在 （ 1 ,( 1 )f） 处 的 切 线 的 斜 率 为 1 ， 存 在 1,xe， 使 得21( )2f xxaxx(+2)(-成立，求实数a的取值范围；( ) 若2( )( )(1)2bh xxf xx，求( )h x 在1,e 上的最小值及相应的x值.解： （）因为( )1afxbxx，(1)10fab，1(2)2102fab。由解得：23a，13b.-2分此时221( )ln36f xxxx ，(1)(2)( )3xxfxx，x（0，1）1 （1,2 ）2 （2，+）( )fx- 0 + 0 - ( )f x减极小增极大减所以，在1x取得极小值，在2x取得极大值 -4分（）若函数( )f x 在（ 1,(1)f）处的切线的斜率为1，则(1)11fab，则ab故2( )ln2af xaxxx -5分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 若221( )ln)22af xxaxxaxx(+2)(-成立，则2(ln)a xxxx2 成立，, 1ex, ln1xx 且等号不能同时取，所以xxln，即0ln xx因而22lnxxaxx(, 1ex) -6分令xxxxxgln2)(2（, 1ex） ，又2)ln()ln22)(1()(xxxxxxg，当, 1ex时，10,ln1xx，0ln22xx，从而( )0g x （仅当 x=1 时取等号），所以)(xg在, 1e上为增函数-8分故)(xg的 最 大 值 为12)(2eeeeg，所 以实数a的取值范 围是),122eee-9分 ( ) 22( )( )(1)( )ln2bh xxf xxh xaxx22( )(0)xah xxx，当, 1ex，2, 2222eaaax.若2a， ( )h x 在, 1e上非负（仅当2a，1x时，( )0h x） ， 故函数( )h x 在, 1e上是增函数，此时min ( )h x1) 1(f-10分若222ae，当2ax时，( )0h x；当21ax时，( )0h x，此时( )h x 是减函数；当exa2时，( )0h x，此时( )h x 是增函数故min ( )h x)2(af2)2ln(2aaa-11分若22ea，( )h x 在, 1e上非正 （仅当2e2a，xe时，0)(xf） ，故函数( )h x 在, 1e上是减函数，此时min ( )( )h xh e2ea -12分综上可知，当2a时，( )h x 的最小值为1，相应的 x值为 1；当222ae时,( )h x 的最小值为2)2ln(2aaa, 相应的 x 值为2a；当22ea时，( )h x 的最小值为2ea，相应的x值为e-14分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -