2022年天津市高三数学总复习之综合专题导函数.pdf

导函数（理）1、 （单调区间、极值、 最值问题） 已知函数22( )(23 )(),xf xxaxaa exR其中aR。（1）当0a时，求曲线( )yfx在点(1(1)f，处的切线的斜率；（2）当23a时，求函数( )f x 的单调区间与极值。解： （1）当0a时，求曲线( )yfx在点(1(1)f，处的切线的斜率为 3e；（2）当32a时，( )f x 在(2 ) (2)aa，内是增函数，在( 22)aa，内是减函数；函数( )f x 在2xa处取得极大值2( 2 )( 2 )3afafaae，且；函数( )f x 在2xa处取得极小值2(2)(2)(43 ).af af aa e，且当32a时，( )f x 在(2) ( 2)aa，内是增函数，在(22 )aa，内是减函数；函数( )f x 在2xa处取得极大值2(2)(2)(43 )af af aa e，且；函数( )f x 在2xa处取得极小值2( 2 )( 2 )3afafaae，且。2、 （单调区间、极值、最值问题）设Rk，函数11 11 1 xxfxxx，F xfxkx，Rx，试讨论函数 F x 的单调性。解 ：11 111 kxxxF xfxkxxkxx，211 111 21kxxF xkxx，对 于F x ，分段进行研究。对于111F xkxxx，对k分类：当0k时，2101Fxkx，函数 F x 在 1，上是增函数；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 当0k时，22212111kxkxkFxkxx，令0Fx，得1kxk或1kxk（舍） ，函数F x在1 1k，上是减函数，在11 1k，上是增函数；对于)1(1)(xkxxxF，kxxF121)( ，对k分类：当0k时，0Fx，函数 F x 在 1 ，上是减函数；当0k时，由10 21Fxkx，解得2114xk；函数 F x 在211 14k，上是减函数，在2114k，上是增函数。3、 （单调区间、极值、最值问题）已知函数ln( )xfxx。（1）求函数( )fx的单调区间；（2）设0a，求函数( )f x在2 ,4aa上的最小值。解： （1）定义域为(0,)，21ln( )xfxx，令21ln( )0 xfxx，则ex，当x变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表：( )f x的单调增区间为(0, )e；单调减区间为( ,)e。（2）由（ 1）知( )fx在(0, )e上单调递增，在( ,)e上单调递减，所以，当4ae时，即4ea时，( )f x在 2 ,4aa 上单调递增，min( )(2 );f xfa当2ae时，( )f x在 2 ,4aa 上单调递减，min( )(4 )f xfa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 当24aea时，即42eea时，( )f x在2 ,a e上单调递增，( )f x在,4ea上单调递减，min( )min(2 ),(4 ) .f xfafa下面比较(2 ),(4 )fafa的大小， ln(2 )(4 ),4afafaa若14ea，minln 2( )(2 );2af xfaa若12ea，minln 4( )(4 );4af xfaa综上，当01a时，minln2( )(2 )2af xfaa；当1a时，minln 4( )(4 )4af xfaa。4、 （单调性问题）已知Ra，函数2xfxxax e，其中Rx，e为自然对数的底数。（1）当2a时，求函数fx的单调递增区间；（2）若函数fx在1,1上单调递增，求实数a的取值范围；（3）函数fx是否为R上的单调函数？若是，求出实数a的取值范围；若不是，请说明理由。解： （1）当2a时，22xfxxx e，22( )2222xxxfxxexx exe令( )0fx，即220 xxe，20,20 xex，解得22x。函数( )f x 的单调递增区间是2,2。（2）函数fx在1,1上单调递增，()0fx 对1,1x都成立，22( )22xxxfxxa exax exaxa e ，220 xxaxae 对1,1x都成立。20,20 xexaxa对1,1x都成立，即2211211111xxxaxxxx对1,1x都成立；令111yxx， 则21101yx，111yxx在1,1上单调递增，131 11 12y，32a 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （3）若函数fx在R上单调递减，则()0fx 对Rx都成立，即220 xxaxa e 对Rx都成立，0,xe220 xaxa 对Rx都成立，2240aa ，即240a，这是不可能的，故函数fx不可能在R上单调递减；若函数fx在R上单调递增，则( )0fx 对Rx都成立，即220 xxaxae对Rx都成立，0,xe220 xaxa对Rx都成立，而222440aaa，故函数fx不可能在R上单调递增。综上可知函数fx不可能是R上的单调函数。5、 （不等式成立问题）已知函数2)21ln()(xxaxf，0a，1,0(x。（1）求函数( )f x 的单调递增区间；（2）若不等式)21ln(122nnn对一切正整数n恒成立，求实数的取值范围。解： （1）xaxaxf21)(axaxax1222，由0222axax，得aax21212，0a，021212aa，021212aa，又1112212122aaaa，函数( )f x 的单调递增区间为)2112,0(2aa，递减区间为)1,2112(2aa。（2）不等式)21ln(12nn，即为21)21ln(nn令xn1，当Nn时，1,0(x，则不等式即为2)21ln(xx；令2)21ln()(xxxg，(0,1x，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 在)(xf的表达式中，当2a时，)(xf)(xg，又2a时，2121212aa，)(xg在)21,0(单调递增，在)1,21(单调递减，)(xg在21x时，取得最大，最大值为412ln)21(g，因此，对一切正整数n，当2n时，21)21ln(nn取得最大值412ln，实数的取值范围是412ln。6、 （不等式成立问题）已知函数1) 1()1ln()(xkxxf。（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若不等式0)(xf恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：),2(2)1ln(在xx上恒成立；2,4)1(1ln*2nNnnniini。解： （1）函数kxxfxf11)( ), 1()(的定义域为当0k时011)( kxxf，则), 1 ()(在xf上是增函数当0k时，若)11 , 1(kx时，有011)( kxxf，若),11(kx时有011)( kxxf，则)11 , 1()(kxf在上是增函数，在),11 (k上是减函数；（2）由（ 1）知0k，时), 1 ()(在xf递增，而0)(,01)2(xfkf不成立，故0k，又由（ 1）知kkfyln)11(max，要使0)(xf恒成立，则0ln)11(maxkkfy即可，由10lnkk得；（3）由（ 2）知，当1k时有), 1(0)(在xf恒成立，且), 2)(在xf上是减函数，0)2(f，0)(),2(xfx恒成立，即),2(2)1ln(在xx上恒成精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 立；令21nx，则1ln22nn，即)1)(1(ln2nnn，从而211lnnnn，4) 1(212322211ln54ln43ln32lnnnnnn成立。7、 （不等式成立问题）已知函数0 xbxaxxf，其中Rba,。（1）若曲线xfy在点2,2 fP处的切线方程为13xy，求函数xf的解析式；（2）讨论函数xf的单调性；（3）若对于任意的2,21a，不等式10 xf在1 ,41上恒成立，求b的取值范围。解： （1）2( )1afxx，由导数的几何意义得(2)3f，于是8a，由切点(2(2)Pf，在直线31yx上可得27b，解得9b，所以函数( )f x的解析式为8( )9f xxx。（2）2( )1afxx，当0a时，显然( )0(0)fxx，这时( )fx在0,，,0内是增函数；当0a时，令( )0fx，解得 xa ；当x变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表：所以( )f x在,(a ，),a内是增函数，在 (0)a， ， (0)a，内是减函数。（3）解：由（ 2）知，( )fx在1 ,41上的最大值为14f与(1)f中的较大者，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 对于任意的2,21a，不等式10 xf在1 ,41上恒成立，当且仅当1104(1)10ff，即39449baba，对任意的2,21a成立，从而得满足条件的b 的取值范围是47,(。8、 （不等式成立问题）设函数432( )2()f xxaxxb xR，其中Rba,。（1）当103a时，讨论函数( )f x 的单调性；（2）若函数( )f x 仅在0 x处有极值，求a的取值范围；（3）若对于任意的22a， ，不等式1)(xf在11 ，上恒成立，求 b 的取值范围。解： （1）322( )434(434)fxxaxxxxax；当103a时，2( )(4104)2 (21)(2)fxxxxxxx。令( )0fx，解得10 x，212x，32x。当x变化时，( )fx ，( )f x 的变化情况如下表：所以( )f x 在102，(2)， 内是增函数，在(0)，122， 内是减函数。（2）2( )(434)fxxxax，显然0 x不是方程24340 xax的根；为使( )f x 仅在0 x处有极值，必须24340 xax恒成立，即有29640a；解此不等式，得8833a，这时，(0)fb是唯一极值，因此满足条件的a的取值范围是8 83 3，。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （3）由条件2 2a， 可知29640a，从而24340 xax恒成立。当0 x时，( )0fx；当0 x时，( )0fx。因此函数( )f x 在11 ，上的最大值是(1)f与( 1)f两者中的较大者。为使对任意的2 2a， ，不等式( )1fx 在11 ，上恒成立，当且仅当(1)1(1)1ff，即22baba，在2 2a， 上恒成立；所以4b，因此满足条件的 b 的取值范围是4,(。9、 （不等式证明问题）设0a，函数)0( ,ln2ln1)(2xxaxxxf。（1）令( )( )0F xxfx，讨论( )F x 在), 0(内的单调性并求极值；（2）求证：当1x时，恒有2ln2ln1xxax。解： （1）根据求导法则有2ln2( )10 xafxxxx，故( )( )2ln20F xxfxxxax，于是22( )10 xF xxxx，列表如下：故知( )F x 在 (0 2)，内是减函数，在(2)， 内是增函数，所以，在2x处取得极小值(2)22ln 22Fa。（2）证明：由0a知，( )F x 的极小值(2)22ln 220Fa；于是由上表知，对一切(0)x， ，恒有( )( )0F xxfx；从而当0 x时，恒有( )0fx，故( )f x 在(0)， 内单调增加；所以当1x时，( )(1)0f xf，即21ln2 ln0 xxax；故当1x时，恒有2ln2ln1xxax。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 10、 （不等式证明问题）已知函数2( )ln ,( )3f xxx g xxax。（1）求( )f x在 ,2(0)t tt上的最小值；（2）若存在1,xee（ e是常数， e2.71828） ，使不等式2( )( )fxg x成立，求实数 a的取值范围；（3）证明对一切(0,),x都有12lnxxeex成立。解： （1）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 11、 （不等式证明问题）已知函数)()(Rxxexfx。（1）求函数( )fx的单调区间和极值；（2）已知函数()yg x的图象与函数( )yfx的图象关于直线1x对称，证明：当1x时，()()fxgx；（3）如果12xx ，且12()()f xf x，证明122xx。解： （1）1exfxx，令1e0 xfxx，则1x。当x变化时，,fxfx 的变化情况如下表，略所以fx在区间,1内是增函数，在区间1,内是减函数；函数fx在1x处取得极大值1f且11ef。（2）因为函数 yg x 的图象与函数 yfx 的图象关于直线1x对称，所以2g xfx ，于是22exg xx。记 F xfxg x ，则2e2 exxF xxx，221 e1 exxFxx，当1x时，220 x，从而22e10 x，又e0 x，所以0Fx，于是函数Fx在区间1,上是增函数，因为111ee0F，所以，当1x时，10F xF，因此 fxg x 。（3）若12110 xx，由（ 1）及12fxfx，得12xx ，与12xx 矛盾；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 若12110 xx，由（ 1）及12fxfx，得12xx ，与12xx 矛盾；则12110 xx，不妨设121,1xx。由（2）可知2222fxg xfx，所以12222fxfxg xfx。因为21x，所以221x，又11x，由（ 1） ，fx在区间,1内是增函数，所以122xx ，即122xx。附：解决不等式证明问题的思路：通过构造函数，以导数为工具，证明不等式或比较大小。证明不等式 fxg x 在区间D上成立，等价于函数 fxg x 在区间D上的最小值等于零；而证明不等式fxg x 在区间D上成立，等价于函数fxg x 在区间D上的最小值大于零，因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最值问题。12、 （函数零点问题）设函数322113fxxxmx xR ，其中0m。（1）当1m时，求曲线 yfx 在点 1,1f处的切线的斜率； 1 （2）求函数 fx 的单调区间与极值；（3）已知函数 fx 有三个互不相同的零点120,xx ，且12xx ，若对任意的12,1xx xfxf恒成立，求 m的取值范围。解： （1）当1m时，3221,23fxxxfxxx，故11f。所以，曲线 yfx 在点 1,1f处的切线的斜率为1。（2）2221fxxxm，令0fx，解得11xmxm或。因为0m，所以， 11mm 。当 x变化时，,fxfx 的变化情况如下表：所以 fx 在区间,1m ， 1,m内是减函数，在1,1mm 内是增函数；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 函数 fx 在1xm处取得极小值3221133fmmm；函数 fx 在1xm处取得极大值3221133fmmm。（3）由题设，221211133fxxxxmx xxxx，所以，方程221103xxm，有两个相异实根12,x x ，故123xx，241103m，由0m解得12m。因为12xx ，所以21223xxx，故2312x。如果121xx，则12111103fxx，而10fx，不合题意；如果121xx，对任意的12,xx x，有120,0,0 xxxxx，则12103fxx xxxx，又10fx，所以， fx 在12,x x上的最小值为0，于是对任意的12,xx x，1fxf恒成立的充要条件是min1fxf，即21103fm，解得3333m。注意到12m，于是 m 的取值范围是13,23。13、 （函数零点问题）已知函数Rxtxttxxxf, 1634)(223，其中Rt。（1）当1t时，求曲线)(xfy在点)0(,0(f处的切线方程；（2）当0t时，求( )fx的单调区间；（3）证明：对任意),0(t，( )f x在区间)1 ,0(内均存在零点。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 14、 （函数零点问题）已知0a，函数2( )ln,0.f xxaxx。 （( )f x的图象连续不断）（1）求( )f x的单调区间；（2）当18a时，证明：存在0(2,)x，使03()()2fxf；（3）若存在均属于区间1,3 的,，且1，使( )( )ff，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 证明：ln3ln 2ln 253a。补充 1： 关于函数图象的切线问题的处理方法。 审题要津与解法研究 第 410 页 题目 12，第 407页 题目 9。补充 2： 审题要津与解法研究经典例题解析。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -