2022年河北衡水中学-学高二上学期期中考试数学理试题含答案.pdf

20132014学年度高二上学期中考试高二年级数学试卷（理科）第 I 卷一，选择题： （本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1 已知向量1( 1,2,)3a，下列向量中与a平行的向量是（）A1( 1,2,)3B5(5, 10,)3C5( 5,10,)3D(3,6,1)2已知抛物线C：y2x 与直线 l：ykx1. “ k0”是 “ 直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点” 的() A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件3. 已知方程abbyax22和01byax(其中0ab,ba)，它们所表示的曲线可能是（）4. 2x25x30 的一个必要不充分条件是（）A21x3 B21x0 C 3x21D1x10 5. 已知双曲线0,12222babyax，两渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为（）A2 33B3C2D2 33或26已知123,e e e是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是（）1223,2,ee ee221212,2e ee ee1223132,5ee eeee31313,e ee eeABCD7.在正方体ABCD A1B1C1D1中， E、F 分别在 A1D、AC 上，且 A1E23A1D，AF 13AC，则 () AEF 至多与 A1D、AC 之一垂直BEF 是 A1D，AC 的公垂线CEF 与 BD1相交DEF 与 BD1异面8. 如图，空间四边形OABC中，OAa，OBb，OCc，点M在线段OA上，且2OMMA，点N为BC的中点，则MN（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - A121232abcB211322abcC111222abcD221332abc9.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长是 1，则直线 DA1与平面 ACB1间的距离为 ( ) A.33B.36C.32D.4210.椭圆1162522yx的左、 右焦点分别为12,F F,弦 AB 过1F，若 2ABF的内切圆面积为，A、B 两点的坐标分别为11(,)xy和22(,)xy，则21yy的值为（）A.53B.103C.203D.5311. 椭圆149:22yxC的左右焦点分别为21, FF,点P在第一象限，且在椭圆C 上，点P在第一象限且在椭圆C 上，满足212PFPF,则点P的坐标为（）A554,553B. 1 ,23C.330,26D.21,415312.已知 F1,F2是椭圆22221(0)xyabab的左、 右焦点， 点 P 在椭圆上， 且122F PF记线段 PF1与 y 轴的交点为Q，O 为坐标原点，若F1OQ 与四边形OF2PQ 的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于( ) A23B2 33C42 3D31第卷（非选择题90 分）二 .填空题（每小题5 分，共 20 分. 把每小题的答案填在答卷纸的相应位置）13.已知, 5, 4,2, 4, 1,6, 2,4cba，若, ,a b c三向量共面，则_ 14.正三棱锥ABCP的高为 2，侧棱与地面ABC 成045，则点 A 到侧面 PBC 的距离为15 已知直线l 与椭圆2222yx交于21, PP两点，线段21PP的中点为 P， 设直线 l 的斜率为1k(k1 0) ， 直线 OP 的斜率为2k，则21kk的值等于16.已 知 函 数1logxya1, 0 aa恒 过 抛 物 线pxy22)0( p的 焦 点F,若 A,B是 抛 物 线 上 的 两 点 ， 且0BFAF,直线 AB 的斜率不存在，则弦AB的长为三 .解答题（共6 小题，共 70 分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）CDABADAB/, 17.（本题满分10 分）如图，在四棱锥ABCDS，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 33ABCD,平面SAD平面ABCD,E 是线段AD上一点，ADSEEDAE,3(1) 证明：平面SBE平面SEC(2)若1SE,求直线CE与平面SBC所成角的余弦值。18.（本题满分 12 分）如图所示， 在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形， PAD为等边三角形， 平面PAD平面ABCD，且DAB=60 ,2AB，E为AD的中点 . （）求证：ADPB；（）求二面角APDC的余弦值；（）在棱PB上是否存在点F，使EF平面PDC？并说明理由19（本题满分12分）已知椭圆22122:1(0)xyCabab与 直 线10 xy相交于AB、两点（1）若椭圆的半焦距3c，直线xa与yb围成的矩形ABCD的面积为8，求椭圆的方程；（2）若0OA OB（O为坐标原点） ，求证：22112ab；（3）在（ 2）的条件下，若椭圆的离心率e满足3232e，求椭圆长轴长的取值范围20. （本题满分12 分）在四棱锥 PABCD 中，侧面 PCD底面 ABCD ， PDCD ， 底面 ABCD 是直角梯形， AB CD， ADC90 ，ABAD PD1，若 E 为 PC 的中点，且 BE与平面 PDC 所成的角的正弦值为552，(1)求 CD 的长（2）求证BC平面 PBD (3)设 Q 为侧棱 PC 上一点， PQ PC，试确定 的值，使得二面角QBD P的大小为45 . 21. （本小题满分12 分）已知椭圆22122:1(0)xyCabab经过点3(1, )2M， 且其右焦点与抛物线22:4Cyx的焦点 F 重合 . （1） 求椭圆1C的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 方程；（2）直线l经过点F与椭圆1C相交于 A、B 两点，与抛物线2C相交于 C、 D 两点求ABCD的最大值22.（本题满分12 分） 如图，已知椭圆12222byax的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F为顶点的三角形的周长为4(21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为BA、和CD、. （ 1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线1PF、2PF的斜率分别为1k、2k，证明121k k；（ 3）是否存在常数，使得ABCDAB CD恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由 . 20132014学年度高二上学期期中考试高二年级数学试卷（理科）一， 选择题目：BABDA DBBAB AD 12. D 【解析】由题意知点P 在圆222xyc上，由22222221xycxyab消 y 得224222Pc aaxc,又因为 F1OQ 与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，可得221112|1|2,2,|3|34ppPFOOQOQcFQQPxF Fyy,2242422222,840,42 3,42 3()4c aaceeeec舍31e,选 D。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 二，填空题13.5 14. 55615.2116.82817. 解： （）平面SAD平面ABCD,平面SAD平面ABCDAD, SE平面SAD，SEAD，SE平面ABCD, 2 分BE平面,ABCD.SEBEABAD，/ABCD，3CDAB=3, AE=ED =3，30 ,60.AEBCED所以90BEC即.BECE4分结合SECEE得 BE平面 SEC，BE平面SBE，平面 SBE平面 SEC. 5 分（）由（）知，直线ES,EB,EC 两两垂直 . 如图，以 EB 为 x 轴, 以 EC 为 y 轴,以 ES 为 z轴,建立空间直角坐标系. 则(0,0,0),(0,2 3,0),(0,0,1),(2,0,0)ECSB，(2,2 3,0),(0, 2 3,1)CBCS. 设平面 SBC 的法向量为( , )nx y z，则0,0,n CBn CS解得一个法向量( 3,1,2 3)n，7(0,2 3,0),CE设 直 线CE与 平 面SBC所 成 角 为，则1sin.4n CEnCE所以直线CE 与平面 SBC 所成角的正弦值1.4- 9 分则直线 CE 与平面 SBC 所成角的余弦值为415 1018.（）证明：连结EB，在 AEB 中， AE=1，AB=2，EAB=60 ，2222cos60BEAEABAE AB1+423. 222AEBEAB， ADEB2分PAD为等边三角形，E为AB的中点，ADPE又 EB PE=E，AD平面 PEB，ADPB4 分ESDCABx z y 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （）平面PAD平面ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，且 PEAD， PE平面 ABCD ， PEEB以点 E 为坐标原点，EA，EB，EP 为 x，y，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图则A(1,0,0)，B(0,3,0)，P(0,0,3)，D(-1,0,0) ，( 1, 3,0)DCAB设平面 PCD 的一个法向量为( , , )nx y z，则00n DCn DP，即( , , )( 1, 3,0)0( , , )(1,0,3)0 x y zx y z，3030 xyxz令 z 1，则 x3，y1，故( 3,1, 1)n平面 PAD 的一个法向量为(0,3,0)EB，35cos,535EB nEB nEBn又二面角APDC为钝角，二面角APDC的余弦值为55-8分（）假设棱PB 上存在点F，使EF平面PDC，设 F(0,m,n)，PFPB，则：(0,3)m n=(0,3,3)，3 ,33mn，(0,3 ,33 )EFEF平面PDC，EFn，即(0,3 ,33 ) ( 3,1,1)03330，12故当点 F 为 PB 的中点时，EF平面PDC-12分19. 【解析】试题分析：解：（1）由已知得：22348abab解得21ab3 分所以椭圆方程为：2214xy- 4分（2）设1122(,),(,)A x yB xy，由22222210b xa ya bxy，得222222()2(1)0abxa xab由22222(1)0a bab，得221ab222121222222(1),aabxxx xabab由0OA OB，得12120 x xy y- 8 分12122()10 x xxx即222220aba b，故22112ab- 8 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （3）由（ 2）得22221aba由222222cabeaa，得2222baa e，221211ae- 10 分由3232e得25342a，526a所以椭圆长轴长的取值范围为5,6-12 20. 解： (1)因为平面PCD 底面 ABCD，PDCD，所以 PD平面 ABCD， 所以 PDAD.如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.则 D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0) ， ，P(0,0,1)C0 ,0 t，面PDC的法向量为0,0, 1n21,12,1tBE根据题意 且 BE 与平面 PDC 所成的角的正弦值为552，则4112115522t，2t-4分（2）又由 PD平面 ABCD，可得 PDBC，又 PD BDD，0,0BPBCBDBC所以 BC平面 PBD. -6 (3)由(2)可知，平面PBD 的一个法向量为BC(1,1,0)，PC(0,2， 1)，因为 PQ PC， (0,1)，所以 Q(0,2 ，1 )，设平面 QBD 的一个法向量为n(a，b，c)，因为 DB(1,1,0)，DQ(0,2 ，1 )，由 n DB0，n DQ0，得ab02b1 c0，取 b1，所以 n(1,1，2 1)，-8 分所以 cos45 n BC|n|BC|22 22 1222. 注意到 (0,1)，得 21. -12 21. （1）由抛物线方程，得焦点(1,0)F，1.c2222332(1 1)()(1 1)( )4,22a224,3.ab故椭圆的方程为22143xy-4 （）当直线l 垂直于x轴时，则33(1, ),(1,),(1,2),(1, 2)22ABCD，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 3.4ABCD5分当直线 l 与x轴不垂直，设其斜率为(0)k k，则直线 l 的方程为(1)yk x由22(1),143yk xxy得2222(34)84120kxk xk显然10，该方程有两个不等的实数根设),(11yxA，),(22yxB. 2122834kxxk, 21224(3)34kxxk6分所以，222212121212|()()1()4ABxxyykxxx x22222222816(3)12(1)1().343434kkkkkkk8 分由2(1),4yk xyx得2222(24)0k xkxk显然20，该方程有两个不等的实数根设33(,)C xy，44(,)D xy. 0,k34242xxk, 由抛物线的定义，得2342244(1)|24.kCDxxkk10分222222212(1)333.3344(1)3444ABkkkCDkkkk综上，当直线l 垂直于x轴时，ABCD取得最大值34. 12分22. （）由题意知，椭圆离心率为ca22，得2ac，又22ac4(21)，所以可解得2 2a，2c，所以2224bac，所以椭圆的标准方程为22184xy；所以椭圆的焦点坐标为（2，0） ，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144xy。-4 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -