2022年导数和微分在生活中的应用.pdf

导数和微分在生活中的应用摘要：导数和微分知识都是大学数学中的重要部分，它们在自然科学，工程技术以及日常生活中有着广泛的应用，它们是从自然科学和生产技术的需要中产生的，又通过在物理，天文，工程领域等各方面的广泛应用促进社会生产和科学的发展，并且其在日常生活以及经济领域的重要作用日益凸显。关键词：导数，微分，生活，应用在我们学习的内容当中，导数是探讨数学以及科学的有效工具，同时为我们生活中的很多问题提供了科学合理的答案，例如与我们生活密切相关的有关环境问题，工程造价最少问题，容积最大问题等都离不开导数这一重要工具，通过对导数的研究，我们可以更加科学合理的对生产生活进行安排，微分也对科学研究与日常生活发挥了重要作用，所以学好导数和微分对我们来说是十分重要的。导数是近代数学的重要基础,是联系初、 高等数学的纽带,是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具,它的引入为解决最值问题提供了新的视角。在边长为60cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子。箱底的边长是多少时,箱子的容积最大， 最大容积是多少就是一个最常见的问题。首先就是不容忽视的环境问题，我们都知道，随着工业进程的日益加快，环境污染越来越严重，在经济高速发展的同时，人们越来越关心我们赖以生存的环境质量，这时可利用导数对其进行研究。如某工厂的烟囱向附近排出烟尘造成环境污染，若得知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离以及烟囱排出的烟尘量的量的关系，则可通过导数的应用解答使某点烟尘浓度最低的问题。我国旅游资源丰富，近年来旅游业发展迅速，而旅游业的兴旺自然离不开基础设施的完善，这时我们便可利用导数来解决修路的问题，若已知目标点所在的山坡面与山脚所在的水平面所成的二面角，各点距离，公路修建造价等问题，则可通过导数求得工程的最小造价，降低工程难度，减少修建成本，以实现经济效益的最大化。汽车制造业发展迅速，汽车的最小耗油量以及最省钱车速问题也可通过导数等工具进行分析解决。生活中我们难免会遇到求利润最大，用料最省，效率最高等有关优化的问题，而导数正是求函数最大值或最小值的有力工具。例如学校或班级举办活动，通常需要张贴海报进行宣传，而设计海报就可用到导数的相关知识，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 通过导数对海报尺寸进行设计，可使海报四周空白面积最小以实现最佳利用。而在企业的市场发展中也常需要用到导数的相关知识，如饮料瓶的大小就会对饮料公司的利润产生不小影响，通过对相关数据的分析整理便可求得使公司利润最高的饮料瓶半径的设计，从而为公司长远发展节省一笔资金。这是一个信息化的时代，电脑在我们的日常生活中的作用已到了不容忽视的地步，可以说没有电脑，有些工作是我们根本无法完成的。而磁盘的存储量问题是有关电脑的一个重要问题，我们可以通过导数求得使磁盘存储量最大的磁盘半径值，从而为我们应用电脑提供诸多便利。边际与边际分析中也会遇到导数及微分的应用，如边际成本的经济意义是，产量为 X单位时， 多生产一个单位所要追加的成本，边际利润同理，还有弹性与弹性分析，可见，导数和微分的应用是无处不在的。在日常生产生活中常会遇到求在什么条件下效率最高，材料最省，成本最小或选址最佳等一系列十分实际的问题，这类问题往往会被归结为求函数的最值问题，而导数正是解决这些问题的有力工具，应用导数可以获得解决上述问题的思路和方法。如我们所关心的材料的利用问题，再设计报刊是要节约用纸，对于给出一定的长宽要求和纸张面积，我们可利用导数求得什么情况下纸张的利用率最高。再如若需设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m 正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥试问当帐篷的顶点O 到底面中心O1 的距离为多少时，帐篷的体积最大根据导数知识可求得当OO1为 2 米时， 帐篷的体积最大，并且可以求得最大体积。 （如图一所示）图一再如，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测:存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(ko)，贷款的利率为%，且银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率定为多少时， 银行可获取最大收益.剖析 :银行收益一贷款收益一存款利息，故可设出存款利率，将银行收益表示为利率的函数，利用导数求出函数的最值即可，导数的实用性由此种种可以充分体现，学好导数，学会应用，我们会获益匪浅。导数是高等数学的基础知识，而高等数学在理论研究中非常广泛。一系列物理计算，传感器计算，控制量，特别是信号方面的计算都需要扎实的高等数学知识。同时工程上很多实际的问题都需要与导数相关工具的应用，比如求水坝斜面的压强等等，同时考虑到微分的思想。微积分是函数的微分和积分的数学分支,是建立在函数、实数以及极限的基础上的。微积分可以解决变量的瞬时变化,在大学数学当中主要研究的是变量在函数当中的作用,就物理方面而言，是解决人们关于速度以及加速度的问题的重要工具,综上 ,微积分对于我们解决精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 实际问题有很大的应用。微积分在力学、生物学、天文学以及经济学等等领域都有很重要的作用 ,而计算机的出现扩展了微积分的应用范围。函数概念产生后,随着科学技术飞速发展,微积分自然应运而生。微分等在物理学中的广泛应用在于对于恒力的做功问题,我们可以利用公式直接得到要求的结果;但是对于变力来说,我们却不能直接利用公式求解,这个时候我们就需要借助微积分 ,把位移无限细分,这样被细分后的最小单位就可以看做是恒力,根据公式来求解,然后把每个小单位上的功无限求和,就可以得到变力所做的总功。 匀速直线的运动,位移和速度之间的关系是x=vt,但是如果物体的速度是时刻变化的 ,那么如何求位移是个问题。这个问题的解决可以用微积分,把物体运动的时间无限细分,在每个小单位的时间内,速度变化很小,就可以认为物体是在做匀速直线运动,根据已有的公式来求解,再把所有的位移加起来,就可以知道总的位移。微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的功勋。微积分可以用来研究运动中的即时速度问题，求曲线的切线的问题，求函数的最大值和最小值问题， 求曲线长、 曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力等各项重要问题。微分在近似值的计算中有着十分广泛的应用，对于工业生产，日常生活问题的解决有着十分重要的作用，对我们的生活产生深刻的影响。微分与积分在大学数学的发展当中有着很重要的作用,也当之无愧的成为数学当中伟大的创造。微分在经济领域中同样有重要应用,主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系问题 ,包括价格函数、需求函数、成本函数、收益函数等等各项。 还有弹性的经济分析,需求弹性、收益弹性等。最优化问题是经济管理活动的核心 ,各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一。这些重要的经济理论都可以用微积分的一些内容解释,所以说微积分在经济学中的应用也是十分有效可行的。同时微积分是异形部位工程量计算的有利工具，其精确计算结果对编制计划、财务管理以及成本计划执行情况的分析是十分重要的。微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的，从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题，因此了解微分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。不仅如此，微分在投资决策中也有重要运用，由此可见初等数学在经济生活中的应用是十分广泛的。导数在微积分的学习内容中处在核心的位置， 随着科学技术的发展,导数在医药卫生、经济管理等许多领域的应用越来越广泛，导数的概念来源于生活,又服务于生活。 导数的概念是许多自然现象在数量关系上抽象出来的研究变化率结构的数学模型。例如 ,物理运动的瞬时速度 ,化学中的反应速度,生物学中的出精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 生率、死亡率,人口增长率 ,细胞繁殖速度,医学中病人血液浓度的变化率,经济学中利润的变化率等等 ,都可以归结为导数问题。导数描述了一个函数的因变量相对于自变量变化的快慢程度 ,即因变量关于自变量的变化率。又例如在投资决策中如果以均匀流的存款方式，也就是将资金以流水一样的方式定期不断地存入银行，那么计算一年后的价值就可以通过微积分知识。在生物学领域中，可以利用微积分的相关知识，根据生物种群周围各种因素的变化情况， 来推测种群数量的变化。例如，在鱼类养殖中，找到合适的k/2 值，适时适量的科学捕鱼。工程最优化问题也离不开微积分的相关知识。例如，酒桶的设计问题，如何设计酒桶能够使其装酒最多而且最节省材料。这就需要构造酒桶体积关于酒桶表面积的函数，并考虑各种形状，求得最值。像可口可乐瓶子的设计，就遵循了这个计算原理. 高等数学是一门专业基础课,也是一门方法学科,学好高等数学对其它科目的学习具有十分重要的意义。而导数在高等数学基本概念中占有重要位置,是高等数学的重要根基,所以 ,导数学习的重要性是显而易见的。但很多同学对导数并不重视,也不懂得如何应用导数来解决相关的问题。大学数学的学习价值不仅在于掌握知识，而且使我们获得了解决生活中实际问题的一种必不可少的重要工具，并是推动我们的智慧进步，数学的不断发展的强大助推器，它在一定程度上提高了人们的观察能力，思维能力，分析能力以及个人素质等，使我们能够适应当前发展迅速的新社会的严峻形势。在现实生活中，我们身边的一切事物都能为数学研究提供服务，同时，数学研究的不断深入也推动了社会的发展。实际上，微积分本身就存在于生活中的各项事物中，只有不断深入挖掘，才能透过现象看本质，将抽象的数学付诸于具体事物中，为社会发展和个人生活提供无限便利，推动人类社会永续发展。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -