2022年深圳市高三第一次调研考试数学.pdf

深圳市 2013 届高三第一次调研考试数学（理）试题本试卷共 21 小题，满分150 分考试用时 120 分钟注意事项：1答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用 05 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上不按要求填涂的，答案无效。3非选择题必须用05 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答漏涂、错涂、多涂的答案无效5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。参考公式：若锥体的底面积为S，高为 h，则锥体的体积为V =13Sh若球的半径为R，则球的表面积为S=4R2，体积为V=43R2，回归方程为ybxau r， 其中：121,.niiiniixxyyaybxxxru ru rrr一、选择题：本大题共8 个小题；每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1化简 sin 2013o的结果是Asin 33oBcos33oA-sin 33oB-cos33o 2已知 i 是虚数单位，则复数i13（1+i）= Al+i Bli C-l+I D-li 3图 l 是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是A32、1283B16、323C12、163D8、1634双曲线221xmy的实轴长是虚轴长的2 倍，则 rn= A14B12C2 D4 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 5等差数列 an中， a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列。第一列第二列第三列第一行2 3 5 第二行8 6 14 第三行11 9 13 则 a4的值为A18 B15 C12 D20 6我们把各位数字之和为6 的四位数称为 “ 六合数 ” （如 2013 是“ 六合数 ” ） ，则“ 六合数 ” 中首位为2 的 “ 六合数 ” 共有A18 个B15 个C12 个D9 个7函数 y = 1n|x1|的图像与函数y=-2 cos x（-2x4）的图像所有交点的横坐标之和等于A8 B6 C4 D2 8函数 y=f（x） ，xD，若存在常数C，对任意的 xlD，仔在唯一的x2 D，使得12() ()f xf xC，则称函数 f（x）在 D 上的几何平均数为C已知 f（x）=x3，x1，2，则函数f（x）=x3在1，2上的几何平均数为A2B2 C4 D22二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分 30 分本大题分为必做题和选做题两部分 （一）必做题：第 9、10、11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须作答9若52345012345(12 ),xaa xa xa x a x a x则 a3= 。10容量为 60 的样本的频率分布直方图共有n（n1）个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余n 1 个小矩形面积和的15，则这个小矩形对应的频数是_ 11已知= （x，y）|x+ y6，x0 ，y0 ，A= （x，y）|x 4 ，y0，xy2 0 ，若向区域上随机投一点P，则点 P 落入区域 A 的概率是12若执行图2 中的框图，输入N=13，则输出的数等于。（注： “S=0 ”，即为 “S0”或为 “S.0” ）13设集合 A= （x，y）|（x 一 4）2+y2=1 ，B= （x，y）|（xt）2+（yat+ 2）2=l ，如果命题“tR，ABI” 是真命题，则实数a的取值范围是。（二）选做题：第 14、1 5 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分14 （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C1的参数方程为1xtyt（t 为参数），曲线 C2的极坐标方程为sincos=3，则 Cl与 C2交点在直角坐标系中的坐标为。15 （几何证明选讲选做题）如图 3，在 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - EFBC，垂足为 F，若 AB=6 ，CF CB=5，则 AE= 。三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分12 分）已知函数 f（x）=2 sin63x（0 x5） ，点 A、B 分别是函数y=f（ x）图像上的最高点和最低点（1）求点 A、B 的坐标以及OAuu u rOBuuu r的值；（2）没点 A、B 分别在角、的终边上，求tan（2）的值17 （本小题满分12 分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：学生A1 A2 A3 A4 A5 数学（ x 分89 91 93 95 97 物理（ y 分）87 89 89 92 93 （1）请在图 4 的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的同归方程；（2）要从 4 名数学成绩在90 分以上的同学中选2 人参加一项活动，以X 表示选中的同学的物理成绩高于 90 分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望E（X）的值18 （木小题满分14 分）如图 5，O 的直径 AB=4 ， 点 C、 D 为O 上两点，且 CA B=45o，DAB=60o，F 为?BC的中点 沿直径 AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图6） （1）求证： OF/平面 ACD ；（2）求二面角C- AD-B 的余弦值；（3）在?BD上是否存在点G，使得 FG平面 ACD?若存在，试指出点G 的位置，并求直线AG 与平面 ACD 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 19 （本小题满分14 分）已知数列 an满足： a1=1，a2=（a0 ） ，an+2=p21nnaa（其中 P 为非零常数，nN *）（1）判断数列 1nnaa 是不是等比数列？（2）求 an；（3）当 a=1 时，令 bn=2nnnaa，Sn为数列 bn的前 n 项和，求Sn。20 （本小题满分14 分）已知两点 F1（-1，0）及 F2（1，0） ，点 P 在以 F1、F2为焦点的椭圆C 上，且 |PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列（1）求椭圆 C 的方程；（2）如图 7，动直线l：y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，点M，N 是直线l 上的两点，且F1Ml，F2Nl求四边形F1MNF2面积 S的最大值21 （本小题满分14 分）已知 f（x）=x-ax（a0） ，g（x）=2lnx+bx 且直线 y=2x 2 与曲线 y=g（x）相切（1）若对 1，+）内的一切实数x，小等式 f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当 a=l 时，求最大的正整数k，使得对 e，3（e=271828 是自然对数的底数）内的任意k个实数 x1，x2，xk都有121()()()16 ()kkf xfxf xg xL成立；（3）求证：*2141 (21)()41niinnnNi精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 参考答案说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数一、选择题：本大题每小题5 分，满分40 分1 2 3 4 5 6 7 8 C C C D A B B D 二、填空题：本大题每小题5 分，满分30 分980；1010；11278；121213；13340a；14)5,2(；151三、解答题16 （本小题满分12 分）解： （1）50 x，73636x，1分1sin()1263x2分当632x，即1x时，sin()163x，)(xf取得最大值2；当7636x，即5x时，1sin()632x，)(xf取得最小值1因此，点A、B的坐标分别是(1,2)A、(5,1)B。4分1 52( 1)3OA OBuu u r uuu r6分（2）Q点)2, 1(A、)1,5(B分别在角、的终边上，tan2，51tan，8分212 ()55tan21121()5，10分52()2912tan(2 )5212 ()12 12分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - ABCDOFGE【说明】本小题主要考查了三角函数)sin()(xAxf的图象与性质，三角恒等变换，以及平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力17 （本小题满分12 分）解： （1）散点图如右图所示1 分x=59795939189=93，y=59392898987=90，,40420)2()4()(22222512iixx303422) 1(0) 1()2()3()4()(51iiiyyxx，300.7540b，69.75bx，20.25aybx5分故这些数据的回归方程是：?0.7520.25yx6分（2）随机变量X的可能取值为0，1，27分22241(0)=6CP XC；1122242(1)=3C CP XC；22241(2)=6CP XC 10分故X的分布列为：11分()E X=610+321+612=1 12分【说明】本题主要考察读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力18 （本小题满分14 分）（法一）：证明：（1）如右图，连接CO，45CAB，ABCO，又F为?BC的中点，45FOB，ACOF /OF平面ACD，AC平面ACD，/OF平面ACD3分解： （2）过O作ADOE于E，连CEABCO，平面ABC平面ABDCO平面ABD又AD平面ABD，X012p613261精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - ABCDOFGxyzADCO，AD平面CEO，CEAD，则CEO是二面角C - AD- B的平面角5分60OAD，2OA，3OE由CO平面ABD，OE平面ABD，得CEO为直角三角形，2CO，7CECEOcos=73=7218分（3）设在?BD上存在点G，使得FG/平面ACD，/OF平面ACD，平面/OFG平面ACD，ADOG/，=60BOGBADo因此，在?BD上存在点G，使得FG/平面ACD，且点G为?BD的中点 10分连AG，设AG与平面ACD所成角为，点G到平面ACD的距离为hACDS=CEAD21=7221=7，OADGADSS=3221=3，由ACD-GV=AGD-CV，得h731=2331，得7212h 12分在AOG中，2OGAO，120AOG，由余弦定理得AG=32， 13 分AGhsin=77 14 分（法二）：证明： （1）如图，以AB所在的直线为y轴，以OC所 在 的 直 线 为z轴 ， 以O为 原 点 ， 作 空 间直 角 坐 标 系xyzO，则0, 2 0A,，200,C)2,2 , 0()0, 2,0()2,0 ,0(AC，Q点F为?BC的中点，点F的坐标为0,22,，)2,2, 0(OF22OFACuuu ruuu r，即/OFACOF平面ACD，AC平面ACD，/OF平面ACD3分解： （2）60DABoQ，点D的坐标013,D，( 3,1,0)ADu uu r设二面角-CAD B的大小为，1, ,nx y zur为平面ACD的一个法向量精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 由110,0,nACnADu r uu u ru r uu u r有, ,0,2,20, ,3,1,00,x y zx y z即220,30.yzxy取1x，解得3y，3z1nu r=331,-5分取平面ADB的一个法向量2nuu r=100,，6分12121 0(3)03 121cos77 1n n| n | |n |u r u u ru ru u r8 分（3）设在?BD上存在点G，使得FG/平面ACD，/OF平面ACD，平面/OFG平面ACD，则有ADOG/设(0)OGADuuu ruu u r，(3,1,0)ADuu u rQ，30OG,uuuuu r又2OGuu u rQ，222( 3 )02，解得1（舍去1） 3 1 0OG, ,uuu r，则G为?BD的中点因此，在?BD上存在点G，使得FG/平面ACD，且点G为?BD的中点 11分设直线AG与平面ACD所成角为，( 3,1,0)(0, 2,0)(3,3,0)AGuuu rQ，根据（ 2）的计算1133n,-,u r为平面ACD的一个法向量，113 13(3)037sincos(90)7| |2 37AG nAGnouuu r u ruuu ru r因此，直线AG与平面ACD所成角的正弦值为7714分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力19 （本小题满分14 分）解： （1）由nnnaapa212，得nnnnaapaa1121分令1nnnaca，则1ca，1nncpcQ0a，10c，pccnn 1（非零常数），数列1nnaa是等比数列3分（2）Q数列nc是首项为a，公比为p的等比数列，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 111nnnccpa p，即11nnnaapa4分当2n时，230121121()()() 1nnnnnnnaaaaaapapapaaaLL23212nnnap，6分Q1a满足上式，2321*2,Nnnnnaapn7 分（3）12212211()()nnnnnnnnnaaaapapa paaaQ，当1a时，212nnnnnabnppa8 分132112nnSppnpL，232121 1(1)nnnp SpnpnpL当21p，即1p时，得：22132121212(1)(1)1nnnnnpppSpppnpnppL，即221222(1),1(1)1nnnppnpSppp 11分而当1p时，(1)122nn nSnL，12 分当1p时，(1)( 1)( 2)()2nn nSnL13 分综上所述，221222(1),1,2(1),1,2(1),1.(1)1nnnn npn nSpppnpppp14 分【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想20 （本小题满分14 分）解： （1）依题意，设椭圆C的方程为22221xyab精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - M y O N l x FFH Q1122PFF FPF、构成等差数列，1122224aPFPFF F，2a又1cQ，23b椭圆C的方程为22143xy 4分(2) 将直 线l的 方 程ykxm代 入 椭圆C的 方程223412xy中 ，得01248)34(222mkmxxk5分由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，2222644(43)(412)0k mkm，化简得：2243mk7 分设1121kmdF Mk，2221kmdF Mk，9分（法一）当0k时，设直线l的倾斜角为，则12tanddMN，12ddMNk，22121212221()221mddddSddkkkmmmm1814322， 11分2243mk，当0k时，3m，3343131mm，32S当0k时，四边形12F MNF是矩形，2 3S13 分所以四边形12F MNF面积S的最大值为2 314 分（法二）22222221222222()2(53)()()1111kmkmmkkddkkkk，2221222223331111mkkmkmkd dkkkk221212()MNF Fdd221212224(2)1ddd dk四边形12F MNF的面积121()2SMNdd)(11212ddk，11分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 22221222122) 1(1216)2(11kkddddkS12)211(41622k13分当且仅当0k时，212,2 3SS，故max2 3S所以四边形12F MNF的面积S的最大值为2 314 分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论、数形结合、化归与转化思想21 （本小题满分14 分）解 ：（1 ） 设 点),(00yx为 直 线22xy与曲 线)(xgy的切 点 ， 则 有22ln2000 xbxx（* ）bxxg2)(，220bx（* ）由（ *） 、 （* ）两式，解得0b，xxgln2)(2分由)()(xgxf整理，得xxxaln2，1x，要使不等式)()(xgxf恒成立，必须xxxaln22恒成立设xxxxhln2)(2，2ln22)1(ln22)(xxxxxxxh，xxh22)(，当1x时，0)(xh，则)(xh是增函数，0) 1()(hxh，)(xh是增函数，1)1()(hxh，1a5分因此，实数a的取值范围是10a6分（2）当1a时，xxxf1)(，011)(2xxf，)(xf在3 ,e上是增函数，)(xf在 3,e上的最大值为38)3(f要对3 ,e内的任意k个实数kxxx,21都有)(16)()()(121kkxgxfxfxf成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当3121kxxx时不等式左边取得最大值，exk时不等式右边取得最小值21638) 1(k，解得13k因此，k的最大值为1310分（3）证明（法一） ：当1a时，根据（ 1）的推导有，), 1(x时，)()(xgxf，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 即)1(21lnxxx11分令1212kkx，得)12121212(211212lnkkkkkk，化简得144) 12ln() 12ln(2kkkk，13 分niniiiiin121144)12ln()12ln()12ln(14 分（法二）数学归纳法：当1n时，左边 =34，右边 =3ln，根据（ 1）的推导有，), 1(x时，)()(xgxf，即xxxln21令3x，得3ln2313，即3ln34因此，1n时不等式成立11分（另解：25e，2716625)25(44e，27ln4，即3ln34 ）假设当kn时不等式成立，即) 12ln(14412kiiki，则当1kn时,1)1(4)1(4)12ln(1)1(4) 1(41441442212112kkkkkiiiikiki，要证1kn时命题成立，即证)32ln(1)1(4)1(4)12ln(2kkkk，即证1232ln1) 1(4)1(42kkkk在不等式xxxln21中，令1232kkx，得1)1(4)1(4)32121232(211232ln2kkkkkkkk1kn时命题也成立13分根据数学归纳法，可得不等式) 12ln(14412niini对一切*Nn成立 14 分【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识精品资料 - 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