2022年山东省高考文科数学试卷及答案.pdf

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷 ) 文科数学本试卷分第卷和第卷两部分, 共 4 页，满分150 分，考试时间120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上. ，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2. 第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。3. 第卷必须用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答; 不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不能使用涂改液、胶带纸, 修正带 ,不按以上要求作答的答案无效。4. 填空题请直接填写答案, 解答题应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中 S是柱体的底面积，h 是锥体的高。锥体的体积公式V=13Sh，其中 S是锥体的底面积，h 是锥体的高。第卷(共 60 分) 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 集合0,2,Aa,21,Ba, 若0,1 ,2,4,16ABU, 则a的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】 : 0,2,Aa,21,Ba,0,1,2,4,16ABU2164aa4a, 故选 D. 答案 :D 【命题立意】: 本题考查了集合的并集运算, 并用观察法得到相对应的元素, 从而求得答案,本题属于容易题. 2. 复数31ii等于（）Ai 21 B.12i C.2i D.2i精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 【解析】 : 223(3)(1)324221(1)(1)12iiiiiiiiiii, 故选 C. 答案 :C 【命题立意】 : 本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算. 3. 将函数sin2yx的图象向左平移4个单位 , 再向上平移1 个单位 , 所得图象的函数解析式是 ( ) A. 22cosyx B. 22sinyx C.)42sin(1xy D. cos2yx【解析】: 将函数sin 2yx的图象向左平移4个单位, 得到函数sin2()4yx即sin(2)cos22yxx的图象 , 再向上平移1 个单位 ,所得图象的函数解析式为21cos22cosyxx,故选 A. 答案 :A 【命题立意】 : 本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 4. 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ). A.22 3 B. 42 3 C. 2 323 D. 2 343【解析】 :该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1, 高为 2, 体积为2, 四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为212 32333所以该几何体的体积为2 323. 答案 :C 【命题立意】 : 本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图, 并能准确地计算出 . 几何体的体积 . 2 2 侧(左)视图2 2 2 正(主)视图俯视图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 5. 在 R 上定义运算 : abaabb2, 则满足x)2(x0) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分。13. 在等差数列na中,6,7253aaa, 则_6a. 【解析】 : 设等差数列na的公差为d, 则由已知得6472111dadada解得132ad, 所以61513aad答案 :13. 【命题立意】 : 本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 14. 若函数 f(x)=ax-x-a(a0且 a1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 【解析】 : 设函数(0,xyaa且1a和函数yxa, 则函数f(x)=ax-x-a(a0且a1) 有两个零点 , 就是函数(0,xyaa且1a与函数yxa有两个交点 , 由图象可知当10a时两函数只有一个交点, 不符合 , 当1a时, 因为函数(1)xyaa的图象过点(0,1),而直线yxa所过的点（ 0，a）一定在点 (0,1) 的上方 , 所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 1|aa答案 : 1|aa【命题立意】 : 本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系, 隐含着对指数函数的性质的考查, 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 15. 执行右边的程序框图，输出的T= . 【解析】 :按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12; S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30S,输出 T=30 答案 :30 【命题立意】 : 本题主要考查了循环结构的程序框图, 一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束, 本题中涉及到三个变量, 注意每个变量的运行结果和执行情况. 16. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品 , 甲种设备每天能生产A 类产品 5 件和 B开始S=0,T=0,n=0 TS S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出 T 结束是否精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 类产品 10 件, 乙种设备每天能生产A类产品 6 件和 B类产品 20 件 . 已知设备甲每天的租赁费为 200 元, 设备乙每天的租赁费为300 元, 现该公司至少要生产A类产品 50 件,B 类产品 140件, 所需租赁费最少为_元. 【解析】 : 设甲种设备需要生产x天, 乙种设备需要生产y天 , 该公司所需租赁费为z元,则200300zxy，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示: 产品设备A类产品( 件)( 50) B类产品( 件)( 140) 租赁费( 元) 甲设备5 10 200 乙设备6 20 300 则满足的关系为565010201400,0 xyxyxy即:61052140,0 xyxyxy, 作出不等式表示的平面区域, 当200300zxy对应的直线过两直线6105214xyxy的交点(4,5)时，目标函数200300zxy取得最低为2300 元 . 答案 :2300 【命题立意】 : 本题是线性规划的实际应用问题, 需要通过审题理解题意, 找出各量之间的关系, 最好是列成表格, 找出线性约束条件, 写出所研究的目标函数, 通过数形结合解答问题三、解答题：本大题共6 小题，共74 分。17.( 本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=2)0(sinsincos2cossin2xxx在x处取最小值 . (1)求的值 ; (2)在ABC中,cba,分别是角A,B,C 的对边 , 已知,2, 1 ba23)(Af, 求角 C. 解: （1）1cos( )2sincos sinsin2f xxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - sinsincoscossinsinxxxxsincoscos sinxxsin()x因为函数 f(x)在x处取最小值，所以sin()1, 由诱导公式知sin1, 因为0, 所以2. （2）由（ 1）知( )sin()cos2f xxx因为3( )cos2f AA, 且 A为ABC的内角 , 所以6A. 又因为,2, 1 ba所以由正弦定理, 得sinsinabAB, 也就是sin12sin222bABa, 因为ba, 所以4B或43B. 当4B时,76412C; 当43B时,36412C. 综上所述，712C或12C【命题立意】 : 本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质 , 并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 18. （本小题满分12 分）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 为等腰梯形， AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1分别是棱 AD 、AA1的中点（）设 F 是棱 AB的中点 , 证明：直线EE1/ 平面 FCC1；EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - （）证明 : 平面 D1AC 平面 BB1C1C. （）证明：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取 A1B1的中点 F1，连接 A1D，C1F1，CF1，因为 AB=4, CD=2, 且 AB/CD，所以 CD=/A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1/A1D，又因为 E、E1分别是棱 AD 、AA1的中点，所以EE1/A1D ，所以 CF1/EE1，又因为1EE平面 FCC1，1CF平面 FCC1，所以直线 EE1/ 平面 FCC1. （）连接AC,在直棱柱中， CC1平面 ABCD,AC 平面 ABCD, 所以 CC1AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形， AB=4, BC=2, F 是棱 AB的中点 , 所以 CF=CB=BF ，BCF为正三角形，60BCF, ACF为等腰三角形，且30ACF所以 AC BC, 又因为 BC与 CC1都在平面 BB1C1C内且交于点C, 所以 AC 平面 BB1C1C,而AC平面 D1AC, 所以平面 D1AC 平面 BB1C1C. 【命题立意】 : 本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定. 熟练掌握平行和垂直的判定定理.完成线线、线面位置关系的转化. 19. （本小题满分12 分）一汽车厂生产A,B,C 三类轿车 , 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号, 某月的产量如下表( 单位 : 辆): 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型100 150 z 标准型300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50 辆, 其中有 A类轿车 10 辆. （1）求 z 的值（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5 的样本 . 将该样本看成一个总体,从中任取 2 辆, 求至少有1辆舒适型轿车的概率; （3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆, 经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8 辆轿车的得分看作一个总体, 从中任取一个数 ,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5 的概率 . 解 : (1).设 该 厂 本 月 生 产 轿 车 为n辆 , 由 题 意 得 ,5010100300n, 所 以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车 , 因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5 的样本 , 所以40010005m, 解得 m=2也就是抽取了2 辆舒适型轿车 ,3 辆标准型轿车, 分别记作 S1,S2;B1,B2,B3, 则从中任取2 辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个 , 其中至少有1 辆舒适型轿车的基本事件有7 个基本事件 : (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2), 所以从中任取2 辆, 至少有 1 辆舒适型轿车的概率为710. (3) 样本的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5 的数为 9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这 6 个数 , 总的个数为8, 所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为75. 086. 【命题立意】 : 本题为概率与统计的知识内容, 涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题. 要读懂题意 , 分清类型 ,列出基本事件 , 查清个数 ., 利用公式解答 . 20. （本小题满分12 分）等比数列na 的前n 项和为nS，已知对任意的nN，点( ,)nn S，均在函数(0 xybr b且1, ,bb r均为常数 ) 的图像上（1）求 r 的值；（11）当 b=2 时，记1()4nnnbnNa求数列nb的前n项和nT解: 因为对任意的nN, 点( ,)nn S，均在函数(0 xybr b且1, ,bb r均为常数 )的图像上 . 所以得nnSbr, 当1n时,11aSbr, 当2n时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 当 n=2 时，2(1)abb又因为 na为等比数列 , 所以21aba，即(1)b bbbr解得1r（2）由（ 1）知，nN，11(1)2nnnabb, 所以111114422nnnnnnnba234123412222nnnTL，3451212341222222nnnnnTL两式相减 ,得23451212111112222222nnnnTL31211(1)112212212nnn12311422nnn所以113113322222nnnnnnT【命题立意】 : 本题主要考查了等比数列的定义, 通项公式 , 以及已知nS求na的基本题型 , 并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和nT. 21. （本小题满分12 分）已知函数321( )33f xaxbxx, 其中0a（1）当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值 ? （2）已知0a, 且)(xf在区间(0,1上单调递增 , 试用a表示出b的取值范围 . 解: (1)由已知得2( )21fxaxbx, 令0)( xf, 得2210axbx, )(xf要取得极值 , 方程2210axbx必须有解 , 所以2440ba, 即2ba, 此时方程2210axbx的根为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 2212442bbabbaxaa,2222442bbabbaxaa, 所以12( )()()fxa xxxx当0a时, x (- ,x1) x 1 (x1,x2) x2(x2,+ ) ( )fx0 0 ( )f x增函数极大值减函数极小值增函数所以)(xf在 x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 当0a时, x (- ,x2) x 2 (x2,x1) x1(x1,+ ) ( )fx0 0 ( )f x减函数极小值增函数极大值减函数所以)(xf在 x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上 , 当ba,满足2ba时, )(xf取得极值(2) 要使)(xf在区间(0,1上单调递增 , 需使2( )210fxaxbx在(0,1上恒成立 . 即1,(0,122axbxx恒成立 , 所以max1()22axbx设1( )22axg xx,2221()1( )222a xaag xxx, 令( )0g x得1xa或1xa( 舍去 ), 当1a时,101a, 当1(0,)xa时( )0gx,1( )22axg xx单调增函数 ; 当1(,1xa时( )0gx,1( )22axg xx单调减函数 , 所以当1xa时,( )g x取得最大 , 最大值为1()gaa. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以ba当01a时 ,11a, 此时( )0gx在区间(0,1恒成立 , 所以1( )22axg xx在区间(0,1上单调递增 , 当1x时( )g x最大 , 最大值为1(1)2ag, 所以12ab综上 , 当1a时, ba; 当01a时, 12ab【命题立意】 : 本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值, 函数在区间上为单调函数, 则导函数在该区间上的符号确定, 从而转为不等式恒成立, 再转为函数研究最值 . 运用函数与方程的思想, 化归思想和分类讨论的思想解答问题. 22. （本小题满分14 分）设mR, 在平面直角坐标系中, 已知向量(,1)amx yr, 向量( ,1)bx yr,abrr,动点( , )M x y的轨迹为 E. （1）求轨迹 E的方程 , 并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知41m, 证明: 存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点 A,B, 且OAOB(O 为坐标原点 ), 并求出该圆的方程; (3) 已知41m, 设直线l与圆 C:222xyR(1R2) 相切于 A1, 且l与轨迹 E只有一个公共点 B1, 当 R为何值时 ,|A1B1| 取得最大值 ?并求最大值 . 解: （1）因为abrr,(,1)amx yr,( ,1)bx yr, 所以2210a bmxyr r, 即221mxy. 当 m=0时,方程表示两直线, 方程为1y; 当1m时, 方程表示的是圆当0m且1m时, 方程表示的是椭圆; 当0m时, 方程表示的是双曲线. (2).当41m时, 轨迹 E 的方程为2214xy, 设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt,解方程组2214ykxtxy得224()4xkxt, 即222(14)8440kxktxt, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使 =2 222226416(14)(1)16(41)0k tktkt, 即22410kt, 即2241tk, 且12221228144414ktxxktx xk222 22222212121212222(44)84()()()141414ktk ttky ykxtkxtk x xkt xxttkkk, 要使OAOBu uu ru uu r, 需使12120 x xy y, 即222222224445440141414ttktkkkk, 所以225440tk, 即22544tk且2241tk, 即2244205kk恒成立 . 所以又因为直线ykxt为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为21trk,222224(1)45115ktrkk, 所求的圆为2245xy. 当 切 线 的 斜 率 不 存 在 时 , 切 线 为552x, 与2214xy交 于 点)552,552(或)552,552(也满足OAOB. 综上 , 存在圆心在原点的圆2245xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OAOBu uu ruuu r. (3) 当41m时, 轨迹 E 的方程为2214xy, 设直线l的方程为ykxt, 因为直线l与圆C:222xyR(1R2) 相切于 A1, 由（ 2）知21tRk, 即222(1)tRk因为l与轨迹 E只有一个公共点B1, 由（ 2）知2214ykxtxy得224()4xkxt, 即222(14)8440kxktxt有唯一解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 则 =2 222226416(14)(1)16(41)0k tktkt, 即22410kt, 由得2222223414RtRRkR, 此时 A,B 重合为 B1(x1,y1) 点, 由12221228144414ktxxktx xk中21xx, 所以,222122441616143tRxkR, B1(x1,y1) 点在椭圆上 , 所以22211214143RyxR, 所以22211124|5OBxyR, 在 直 角 三 角 形OA1B1中 ,2222211112244|55()A BOBOARRRR因 为2244RR当且仅当2(1,2)R时取等号 , 所以211|541A B, 即当2(1,2)R时|A1B1| 取得最大值 , 最大值为 1. 【命题立意】 : 本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系, 以及直线与椭圆的位置关系, 可以通过解方程组法研究有没有交点问题, 有几个交点的问题. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -