2022年常州市中考数学试题分类解析专题函数的图像与性质.pdf

2001-2012 年江苏常州中考数学试题分类解析汇编（12 专题）专题 6：函数的图象与性质锦元数学工作室编辑一、选择题1. （2001 江苏常州 2 分）下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例y=mnx(m,n 是常数，且 mn 0)图象的是【】A B. C. D. 【答案】 A。【考点】 一次函数（正比例函数）和系数与的关系。【分析】 根据“两数相乘，同号得正，异号得负”判断出m 、n 的符号，再根据一次函数的性质进行判断：当 mn 0，m ，n 同号， y=mnx的图象经过1，3 象限；同正时 y=mx+n的图象过1，3，2 象限，同负时过2，4，3 象限。当 mn 0 时， m ，n 异号， y=mnx 的图象经过2，4 象限；则 y=mx+n的图象过 1，3，4 象限或 2，4，1 象限。结合所给图象，只有选项A符合当 mn 0 时， m ，n 异号， y=mnx的图象经过2，4象限， y=mx+n的图象过 2，4，1 象限。故选A。2. （2001 江苏常州2 分）已知反比例函数y=kx(k0，反比例函数 y=2kx中的 k2与 k1值相等，则它们在同一坐标系中的图像只可能是【】A B C D 【答案】 C。【考点】 反比例函数和一次函数的性质。【分析】 根据一次函数的性质，y 随 x 的增大而减小，则k10，且 b0 与 y 轴的交点在y轴的正半轴上，一次函数图象过一、二、四象限，故A和 B错误；又反比例函数y=2kx中的 k2与 k1值相等， k20，反比例函数图象位于二、四象限。故选C。5. （江苏省常州市2003 年 2 分）已知圆柱的侧面积是26 cm，若圆柱底面半径为)(cmx，高为)(cmy，则关于x的函数图象大致是【】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 【答案】【考点】 反比例函数的应用。【分析】 根据题意有：2=100 xy，化简可得50=yx，故x与y之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义x与y应大于 0，其图象在第一象限。故选B。6. （江苏省常州市2004 年 2 分） 关于函数12xy，下列结论正确的是【】（A）图象必经过点（2，1）（B）图象经过第一、二、三象限（C）当21x时，0y（D）y随x的增大而增大【答案】 C。【考点】 一次函数的性质。【分析】 将四个选项分别验证即可得出结论： A 、将（ 2，1）代入21yx中得左边 =1，右边 =2（ 2）+1=5左边，选项错误；B、根据正比例函数的性质，=20k时，图象经过一、二、四象限，选项错误；C、直线21yx与x轴的交点为（12，0），当x12时，y0，选项正确；D、根据一次函数的性质，=20k0 。S1S2。故选 A。11. （ 2011 江苏常州 2 分）已知二次函数512xxy，当自变量x取m时对应的值大于 0，当自变量x分别取1m、1m时对应的函数值为1y、2y， 则1y、2y必须满足 【】A1y0、2y0 B1y0、2y0 C1y0、2y0 D1y0、2y0 【答案】 B【考点】 二次函数，不等式。2155550-051010mmm m【分析】自变量取时对应的值大于，即555515515511001010101012 m my y ，当自变量x 分别取2，3，0 时，对应的值分别为123yyy，则123yyy，的大小关系正确的是【】A. 321yyy B. 123yyy C. 213yyy D. 312yyy知，它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。根据二次函数的对称性，x=3 和 x=1 时， y 值相等。由于二次函数2y=a x2+c a0在对称轴x=2 左侧， y 随 x 的增大而减小，而012，因此，123yyy。故选 B。二、填空题1. （江苏省常州市2002 年 1 分） 写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限： . 【答案】1=yx（答案不唯一）。【考点】 反比例函数的性质。【分析】 根据反比例函数=0kykx的性质：当0k时，图象分别位于第一、三象限；当0k时，图象分别位于第二、四象限：反比例函数的图像不经过第一、第三象限，反比例函数=0kykx的系数0k即可，如1=yx。2. （江苏省常州市2006 年 2 分）已知反比例函数0kxky的图像经过点（1，2），则这个函数的表达式是 。当0 x时，y的值随自变量x值的增大而 （填“增大”或“减小”）【答案】2yx；增大。【考点】 待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质。【分析】 根据题意，利用待定系数法解出系数则可。再根据k值的正负确定函数的增减性：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 反比例函数0kykx的图像经过点（1， 2），=12 =2k。这个函数的表达式是2yx。又=20k，当0 x的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段，如果垂线段与x、 y 轴所围成的矩形面积是6，那么该函数的表达式是 ，若点 A( 3，m)在这个反比例函数的图象上，则m= . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 【答案】6y=x； 2。【考点】 反比例函数系数k 的几何意义。【分析】 利用矩形面积S=|k| 和 k0 可确定出k 的值，从而求得函数的解析式。再将点A的坐标代入求得m的值即可：过图象上的点（ x，y）的垂线段与x、y 轴所所作构成的矩形面积是6 可知： |k|=6 。又k 0，图象在第一、三象限内，反比例函数的系数k=6。函数的表达式是6y=x。又点 A（3，m ）在这个反比例函数的图象上，6m=23。6. （江苏省常州市2008 年 2 分） 已知函数2y=x2xc的部分图象如图所示，则c= ，当x 时， y 随 x 的增大而减小 . 【答案】 3； 1。【考点】 二次函数图象与系数的关系。【分析】 根据函数图象与x 轴的交点，可求出c 的值，根据图象可判断函数的增减性二次函数2y=x2xc的图象过点（ 3，0）， 96c=0，解得 c=3。由图象可知： x1 时， y 随 x 的增大而减小。7. （江苏省2009 年 3 分） 反比例函数1yx的图象在第 象限【答案】 二、四。【考点】 反比例函数的性质。【分析】 根据反比例函数=0kykx的性质：当0k时，图象分别位于第一、三象限；当0k时，图象分别位于第二、四象限：反比例函数1yx的系数=10k和22ky=k0 x。点 A在y 轴的正半轴上，过点A作直线 BC x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和 C，连接 OC 、OB 。若BOC的面积为52，AC ：AB=2 ：3，则1k= ，2k= 。【答案】 2， 3。【考点】 反比例函数综合题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】 设点 A （0，a）（点 A在 y 轴的正半轴上， a 0），则点B（2kaa，），点 C（1kaa，）。OA= a， AB=2ka（2k0）， AB=12kkaa。BOC的面积为52，12kk15a=2aa2，即12kk =5。又AC ： AB=2 ：3，12kk=2 3aa：，即123k +2k =0。联立，解得1k=2，2k=3。三、解答题1. （2001 江苏常州 6 分） 已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示：（1）这个二次函数的解析式是y=_；（2）当 x=_时， y=3；（3）根据图象回答：当x_时，y0。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 【答案】 解：（ 1）2x2x。（2）3 或 1。（3）x0 或 x2。【考点】 二次函数的图象，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】 （1）由图知顶点为（1， 1），那么可设顶点式2ya x11，再把（ 0，0）代入求 a 得0=a1，即 a=1。这个二次函数的解析式为22yx11=x2x。（2）把 y=3 代入抛物线解析式即可。当y=3 时，2x2x=3，解得 x=3 或 x= 1。（3）函数值大于0，指 x 轴上方的函数图象所对应的x 的取值：由图可知，抛物线与x 轴两交点为（ 0，0），（ 2，0），开口向上。所以当x0 或 x2 时， y0。2. （江苏省常州市2002 年 6 分） 已知抛物线22y(m1)xmxm4的图象过原点，且开口向上 , (1) 求 m的值 , 并写出函数解析式; (2) 写出函数图象的顶点坐标及对称轴【答案】 解：（ 1）抛物线22y(m1)xmxm4的图象过原点，且开口向上，m10，且2m40，解得 m= 2。而 m 1，m=2 。函数解析式为2yx2x。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 31 页 - - - - - - - - - - （2）22yx2xx11（），顶点坐标为（1， 1），对称轴为x= 1。【考点】 曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。【分析】 （1）直接根据抛物线的性质可知m10，2m400，解之即可得到m=2 ，即2yx2x。（ 2）由22yx2xx11（）直接可写出顶点坐标及对称轴。3. （江苏省常州市2002 年 6 分） 阅读函数图像，并根据你所获得的信息回答问题：（1）折线 OAB表示某个实际总是的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题；（2）根据你给出的应用题分别指出x 轴， y 轴所表示的意义，并写出A，B两点的坐标；（3）求出图象 AB的函数解析式，并注明自变量x 的取值范围。【答案】 解：（ 1）张老师从家出发，乘车去学校，汽车的速度是每小时25 千米，经过2小时到达，到校后因家中有事，立即骑车返回，5 小时到家。（2）x 轴表示时间，单位为时，y 轴表示离家的路程，单位是千米，则A（2，50）， B（7，0）。（3）设过 A，B的解析式为y=kx+b，则2kb507kb0，解得k10b70。图象 AB的函数解析式为y=10 x70（2x7）。【考点】 一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】 应选取常见的量，比如横轴表示时间，纵轴表示离家的路程，这段函数大致可理解为到一个地方去，到后立即返回到家（答案不唯一）。4. （江苏省常州市2002 年 8 分） 图 1 是棱长为 a 的小正方体，图2，图 3 由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层，。第精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 31 页 - - - - - - - - - - n 层，第 n 层的小正方体的个数记为s，解答下列问题：（1）按照要求填表：n 1 2 3 4 s 1 3 6 (2) 写出当 n=10 时， s=_. （1）据上表中的数据，把s 作为纵坐标， n 作为横坐标， n 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点。（2）请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式。【答案】 解：（ 1）由题意得，n 1 2 3 4 s 1 3 6 10 （2）55（3）描点如下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 31 页 - - - - - - - - - - （4）猜想各点在二次函数的图象上。设函数的解析式为2yaxbxc，由题意得abc14a2bc39a3bc6，解之得1a21b2c0。函数的解析式为211yxx22。【考点】 二次函数的应用，分类归纳（图形变化）。待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】 （1）找规律： s=1+2+3+ +n=12n（n+1），当n=4 时， s=10。（2）当 n=10 时， s=1210（ 10+1）=55。（3）描点。（4）由（ 1）s =12n（n+1）可得猜想，用待定系数法求之。5. （江苏省常州市2003 年 6 分） 已知二次函数2yaxbx的图象经过点（2， 0）、（1，6）。（1）求二次函数的解析式；（2）画出它的图象；（3）不用列表，在下图中画出函数图象，观察图象写出y0 时， x 的取值范围。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 【答案】 解：（ 1）2yaxbx的图象经过点（2，0）、（ 1，6）， 04a2b 6ab，解得a2 b4。二次函数的解析式为2y2x4x。（2）作图如下：（3）由图可知：当y0 时， x2 或 x0。【考点】 待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质。【分析】 （1）将已知的两点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，求出二次函数的解析式。（2）可根据（ 1）的抛物线解析式作图。（3）根据函数的图象得出y0 时， x 的取值范围。6. （江苏省常州市2003 年 10 分） 设一次函数1yx22的图象为直线l，l与 x 轴、 y轴分别交于点A、B。（1）求 tan BAO的值；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 31 页 - - - - - - - - - - （2）直线m过点（ 3，0），若直线l、m与 x 轴围成的三角形和直线l、m与 y 轴围成的三角形相似，求直线m的解析式。【答案】 解：（ 1）在一次函数1yx22中，令 x=0，解得 y=2；令 y=0，解得 x= 4。A，B的坐标是（ 4，0），（ 0， 2）。OA=4 ， OB=2 。OB21tan BAO OA42。（2）设直线m与l相交于点M ，与 x 轴相交于点P（ 3，0），与y 轴相交于点 N，则直线l、m与 x 轴围成的三角形为 APM ，直线l、m与 y 轴围成的三角形为NBM 。分三种情况讨论：当点 N在 y 轴负半轴上，如图1，当只有当 AMP= NMB=900时， APM NBM 。此时， AOB N OP ，得OPONOBOA，OP=3 ， OB=2 ， OA=4 ，ON=6 。N（ 0， 6）。设直线m的解析式为11y=k xb，则1110=3kb6=b，解得11k =2b =6。直线m的解析式为y=2x6。当点 N在 y 轴正半轴上，且在OB的延长线上，如图2，当只有当 MAP= MNB时，APM NBM 。此时， AOB NOP ，得OPONOBOA，OP=3 ， OB=2 ， OA=4 ，ON=6 。N（ 0，6）。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 设直线m的解析式为22y=k xb，则2220=3kb6=b，解得22k =2b =6。直线m的解析式为y=2x6。当点 N在 y 轴正半轴上，且在OB上，如图3，AMP= BMN ，但BNM= PNO NPO （ON OP OA ）PAM ，BNM= PNO APM ，此时， APM NBM不成立。综上所述，直线l、m与 x 轴围成的三角形和直线l、m与 y 轴围成的三角形相似时，直线m的解析式为y=2x6或y=2x6。【考点】 一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，三角形边角关系，三角形外角性质。【分析】 （1）在一次函数中，求出函数与坐标轴的交点坐标，就可以求出OA ，OB的长，就可以求出三角函数值。（2）分点 N在 y 轴负半轴上；点N在 y 轴正半轴上，且在OB上；点 N在 y 轴正半轴上，且在OB上三种情况分别讨论即可。7. （江苏省常州市2004 年 6 分） 已知一个二次函数的图象经过点（0， 0），（ 1， 3），（2， 8）。（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 8. （江苏省常州市2004 年 5 分） 在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I （A ）与电阻 R（）之间的函数图象如下图所示：（1）I 与 R的函数关系式为：；（2）结合图象回答：当电路中的电流不得超过12 A时，电路中电阻R 的取值范围是。【答案】 解：（ 1）36IR。（ 2） R3。【考点】 跨学科问题，反比例函数的应用。【分析】 （1）根据图象可知I 与 R之间的关系，然后列出函数关系式UIR， U保持不变，再把图象所经过的点A （6，6）代入函数式，求出U的值等于36，即得 I 与 R的函数关系式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 为36IR。（2）当 I=12 时， R=3，所以求出R的取值范围是R3。9. （江苏省常州市2005 年 8 分） 有一个 RtABC ，A=900，B=600， AB=1 ，将它放在直角坐标系中， 使斜边 BC在 x 轴上，直角顶点 A在反比例函数3yx的图象上， 求点 C的坐标【答案】 解：本题共有4 种情况：（1）如图，过点A做 AD BC 于 D，在 RtABC中，A=900，B=600，AB=1 ，AB1BC=21cosB2。在 RtABC中，ADB=900，B=600，AB=1 ，AD=ABsin60 =32，BD= ABcos60 =12。点 A的纵坐标为32。将其代入3yx，得 x=2，即 OD=2 。OC=OB BC= （OD BD ）BC= （212） 2=72。点 C1的坐标为（7,02）。（2）如图，过点A作 AE BC于 E，同上，可得AE=32，OE=2 ，CE=32， OC=12。点 C2的坐标为（12，0）。CO图(2,32)A43yxDB1O图(2,32)CA43yxEB1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 根据双曲线的对称性，得点 C3的坐标为 （7,02）， 点 C4的坐标为 （1,02）。综上所述， 点 C的坐标分别为： （7,02）、 （12，0）、 （7,02）、 （1,02）。【考点】 反比例函数综合题，反比例函数的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】 根据反比例函数的性质，分四种情况解直角三角形即可。10. （江苏省常州市2006 年 8 分） 在平面直角坐标系中，已知二次函数kxay2)1(的图像与x轴相交于点A、B，顶点为C ，点 D 在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD 时一个边长为2 且有一个内角为60的菱形，求此二次函数的表达式。【答案】 解：本题共有4 种情况：设二次函数的图像得对称轴与x轴相交于点E ，（1）如图，当抛物线开口向上，CAD=600时，四边形 ABCD 是菱形，一边长为2，DE=1 ， BE=3。点 B的坐标为 （13，0），点 C的坐标为 （1，1），点 B、C在二次函数的图像上，031akk， 解得131ak。此二次函数的表达式21113yx。（2）如图，当抛物线开口向上，ACB=600时，由菱形性质知点A的坐标为 （0， 0）， 点 C的坐标为 （1，3） ，解得3,3ka精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 此二次函数的表达式为2313yx。同理可得：抛物线开口向下时，此二次函数的表达式为22111,3133yxyx。综上所述，符合条件的二次函数的表达式有：21113yx，2313yx，22111,3133yxyx。【考点】 二次函数综合题，二次函数的性质，菱形的性质，解直角三角形。【分析】 根据题意，画出图形，可得以下四种情况：（1）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；（2）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下；（3）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；（4）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下。利用四边形ACBD一个边长为2 且有一个内角为60的条件，根据解直角三角形的相关知识解答。11. （江苏省常州市2007 年 10 分）已知 A( 1m)，与 B(2m3 3)，是反比例函数kyx图象上的两个点（1）求k的值；（2）若点 C( 1 0)，则在反比例函数kyx图象上是否存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 解：（ 1）A( 1m)，与 B(2m3 3)，是反比例函数kyx图象上的两个点，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 31 页 - - - - - - - - - - km=1km3 3=2，解得m=2 3k=23。k=23。（2）如图 1，作 BE x轴， E为垂足，B（2，3），C（1，0），CE=3 ， BE=3，BC=23。BCE=30 ，由于点 C与点 A的横坐标相同， 因此 CAx轴，从而 ACB=120 。当 AC为底时， 由于过点 B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B，故不符题意。如图 1，当 BC为底时，过点A作 BC的平行线，交双曲线于点D 。设 BC的解析式为：y=kxbB（2，3），C（ 1，0），3=2kb0=kb，解得3k=33b=3。BC的解析式为33y=x33。AD BC ，设AD的解析式为3y=xn3。A( 12 3)，32 3=n3，解得5 3n=3。AD的解析式为35 3y=x33。由35 3y=x3323yx，解得x=1y2 3，x=63y3。D（6，33）。此时 AD=14 33，与 BC=2 3不等，故四边形ADBC是梯形。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 如图 2，当 AB为底时，过点C作 AB的平行线，与双曲线的交点为D。设 AB的解析式为：11y=k xb。A( 12 3)，B（2，3），11112 3=kb3=2kb，解得11k = 3b =3。AB的解析式为y= 3x3。CD AB ，设CD的解析式为1y=3xn。C（1，0），10=3n，解得1n = 3。CD的解析式为y= 3x3。由y=3x32 3yx，解得x=2y3，x=1y2 3。D（ 2，3）或（ 1，2 3）。此时 CD=2或 CD=4 ，与 AB=6不等，故四边形ABCD 或 ABDC 是梯形。综上所述，符合条件的点D的坐标为（ 6，33），（ 2，3），（ 1，23）。【考点】 反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的性质，梯形的判定。【分析】 （1）由于 A( 1m)，与 B(2m3 3)，是反比例函数kyx图象上的两个点，根据曲线上点的坐标与方程的关系，可列方程组求k 的值。（2）判断是不是梯形，就要判定一组对边平行且不相等求出坐标，既能求线段长度，又能判别平行。12. （江苏省 2009 年 10 分）如图，已知二次函数221yxx的图象的顶点为A二次函数2yaxbx的图象与x轴交于原点O及另一点C， 它的顶点B在函数221yxx的图象的对称轴上（1）求点A与点C的坐标；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 31 页 - - - - - - - - - - （2）当四边形AOBC为菱形时，求函数2yaxbx的关系式【答案】 解：（ 1）2221(1)2yxxx，顶点A的坐标为(12)，对称轴为=1x。又二次函数2yaxbx的图象经过原点，且它的顶点在二次函数221yxx图象的对称轴=1x上，点C和点O关于直线=1x对称。点C的坐标为(2 0)，。（2）四边形AOBC是菱形，点B和点A关于直线OC对称。点B的坐标为(1 2)，。二次函数2yaxbx的图象经过点B(12)，(2 0)C，2420abab，解得24ab二次函数2yaxbx的关系式为224yxx。【考点】 二次函数的性质，点关于直线对称的性质，菱形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】 （1）把221yxx化为顶点式，即可求得点A的坐标。根据2yaxbx的图象经过原点， 且它的顶点在二次函数221yxx图象的对称轴=1x上，可知点C和点O关于直线=1x对称，从而根据点关于直线对称的性质求得点C的坐标。（2）由于四边形AOBC是菱形，根据菱形的性质，知点B和点A关于直线OC对称，从而求得点B的坐标。由二次函数2yaxbx的图象经过点B(12)，(2 0)C，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，列方程组求解即可。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 13. （江苏省2009 年 12 分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13 日调价时的销售利润为 4 万元，截止至15 日进油时的销售利润为5.5 万元（销售利润（售价成本价）销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x为多少时，销售利润为4 万元；（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OAABBC、三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【答案】 解：（ 1）根据题意，当销售利润为4 万元，销售量为4(54)4（万升）。答：销售量x为 4 万升时销售利润为4 万元。（2）点A的坐标为(4 4)，从 13 日到 15 日利润为5.541.5（万元），销售量为1.5(5.54)1（万升）。点B的坐标为(5 5.5)，。设线段AB所对应的函数关系式为ykxb，则445.55kbkb，解得1.52kb。线段AB所对应的函数关系式为1.52(45)yxx。从 15 日到 31 日销售 5 万升，利润为1 1.54(5.54.5)5.5（万元），本月销售该油品的利润为5.55.511（万元）。点C的坐标为(1011)，。设线段BC所对应的函数关系式为ymxn，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 则5.551110mnmn，解得1.10mn。线段BC所对应的函数关系式为1.1 (510)yxx。（3）线段AB。【考点】 一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】 （1）根据公式：销售利润（售价成本价）销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4 万元时的销售量：销售量销售利润（售价成本价）。（2）分别求出点A、B、C的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出AB和BC所对应的函数关系式。（3）OA段的利润率 =4=20%45/售利万元售量售价万升元升销润销；AB段的利润率 =1.5=27.3%15.5/售利万元售量售价万升元升销润销；BC段的利润率 =5.5=20%5.5/售利万元售量售价5万升元升销润销。AB段的利润率最大。14. （江苏省常州市2010 年 7 分）向阳花卉基地出售两种花卉百合和玫瑰，其单价为：玫瑰 4 元/株，百合 5 元/ 株，如果同一客户所购的玫瑰数量大于1200 株，那么每株玫瑰还可降价 1 元。现某鲜花店向向阳花卉基地采购玫瑰1000 株 1500 株，百合若干株，此鲜花店本次用于采购玫瑰和百合恰好花去了9000 元。然后再以玫瑰5 元、百合6.5 元的价格卖出。问：此鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的毛利润最大？（注： 1000 株1500 株，表示大于或等于1000 株，且小于或等于1500 株。毛利润鲜花店卖出百合和玫瑰所获的总金额购进百合和玫瑰的所需的总金额。）【答案】 解：设采购玫瑰x 株，百合 y 株，毛利润为W元. 当 1000 x1200 时， 得 4x+5y9000，y90004x5， W（54）x（ 6.5 5）yx1.5 90004x52700 x5。它是k0的一次函数，函数单调增加， 当 x=15000 时， W有最大值4350。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 综上所述，采购玫瑰1500 株，采购百合900 株，毛利润最大为4350 元。答：采购百合900 株，采购玫瑰1500 株，毛利润最大为4350 元。【考点】 一次函数的应用，一次函数的性质。【分析】 依题意， 分 1000 x1200 和 1200 x1500 列出函数关系式，根据一次函数的性质求解。15. （江苏省常州市2010 年 9 分）如图，已知二次函数23yaxbx的图像与x轴相交于点 A、C ，与y轴相较于点B，A（9,04），且AOB BOC 。（1）求 C点坐标、 ABC 的度数及二次函数23yaxbx的关系式；（2）在线段 AC上是否存在点M （,0m）。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于 P点（与点 B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。【答案】 . 解：（ 1）当x=0 时，y=3，B（ 0，3）。AOB BOC ，OAB OBC ，OAOB=OBOC。OA=94，OB=3 ，934=3OC，解得 OC=4 。C（ 4，0）。OAB+ OBA 90， OBC+ OBA 90。 ABC 90。23yaxbx图象经过点A（9,04）， C（4，0），8193016416430abab，解得13712ab。二次函数23yaxbx的关系式为2173312yxx。（2）存在。分三种情况：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 如图 1，当 CP CO时，点 P在以 BM为直径的圆上，BM为圆的直径，BPM 90。又ABC 90，PM AB 。CPM CBA 。CPCM=CBCA。OC=4 ， OB=3 ，CB=5 。又 CA=254，CP=CO=4 ，4CM=2554，解得 CM 5。m 1。如图 2，当 PC PO时，点 P在 OC垂直平分线上，则 CP 52。由CPM CBA ，得CPCM=CBCA，即5CM2=2554，解得 CM258。257=4=88m。当 OC OP时， M点不在线段AC上。综上所述，m的值为78或 1。【考点】 二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，平行的判定，线段中垂线的性质。【分析】 （1）由点 B是二次函数23yaxbx的图像与y轴的交点，令x=0，即可得点B的坐标，从而由 AOB BOC 得对应边的比，求得C （ 4，0）。由三角形内角和定理求出ABC 90。由二次函数23yaxbx图象经过点A （9,04），C（4，0），用待定系数法求出函数关系式。（2）分 CP CO ，PC PO和 OC OP三种情况分别讨论即可。16. （2011 江苏常州 10 分） 在平面直角坐标系XOY中，直线1l过点0, 1A且与y轴平行，直线2l过点2 ,0B且与x轴平行， 直线1l与直线2l相交于点 P。点 E为直线2l上一点， 反比精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 28 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 例函数xky（k0）的图像过点E与直线1l相交于点F。若点 E与点 P重合，求k的值；连接 OE 、OF 、EF 。若k2，且OEF的面积为 PEF 的面积的2 倍，求 E点的坐标；是否存在点E及y轴上的点 M ，使得以点M 、E、F 为顶点的三角形与 PEF 全等？若存在，求 E点坐标；若不存在，请说明理由。【答案】 解：（ 1）直线1l过点 A（1，0）且与y轴平行，直线2l过点 B（0。2）且与 x 轴平行，直线1l与直线2l相交于点 P，点 P（1，2）。若点 E与点 P重合，则 k12 2。（2）当 k2时，如图 1，点E、F分别在 P点的右侧和上方，过E 作x轴的垂线 EC ，垂足为 C，过 F作y轴的垂线 FD，垂足为 D，EC 和FD相交于点 G，则四边形 OCGD 为矩形PE PF ，,21,22kkEFkGk，SPEF21111212224kPF PEkkk四边形 PFGE 是矩形，SPEFSGFE，SOEFS矩形OCGDSDOFSGFESOCE21111122242 2kkkkkk21=14k精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 29 页，共 31 页 - - - - - - - - - - SOEF2SPEF， 22111=2144kkk，解得 k6或k2，k2时，E、F重合，舍去。k 6， E点坐标为：（3，2）。（3）存在点 E及y轴上的点 M ，使得 MEF PEF当 k2时，如图 2，只可能是 MEF PEF ，作FH y轴于H FHM MBE ，,BMEMFHFMFH 1，EM PE 12k，FM PF2k，112, 122kBMBMk。在RtMBE 中，由勾股定理得，EM2EB2MB2，（ 12k）2（2k）2（12）2解得 k34，此时 E点坐标为（38，2）。当 k2时，如图 3，只可能是 MFE PEF ，作FQ y轴于Q，FQM MBE 得，BMEMFQFM。FQ 1，EM PF k2，FM PE