2022年常见不等式通用解法.pdf

常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式基础一元二次不等式如2260 xx，2210 xx，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状” 。当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。2260 xx的解为3(,2)2当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。2210 xx的解为 (,12)(12,)当二次项系数小于0 时，化成二次项系数大于0 的情况考虑。可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）如1392xx，令3xt，原不等式就变为2320tt，再算出 t 的范围，进而算出x 的范围又如2432xax，令2tx ，再对 a 进行分类讨论来确定不等式的解集含参数的一元二次不等式解法步骤总结：序号步骤1 首先判定二次项系数是否为0，为 0 则化为一元一次不等式，再分类讨论2 二次项系数非0，将其化为正的，讨论判别式的正负性，从而确定不等式的解集3 若可以直接看出两根，或二次式可以因式分解，则无需讨论判别式，直接根据不同的参数值比较两根大小4 综上，写出解集如不等式210 xax， 首先发现二次项系数大于0， 而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a的正负性即可。此不等式的解集为220,0,|2440,(,)(,)22RaxR xaaaa又如不等式223()0 xaa xa，发现其可以通过因式分解化为2()()0 xaxa，所以只需要判定2a 和 a 的大小即可。此不等式的解集为2201,|01,(,)( ,)01,(, )(,)aor axR xaaaaaor aaa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 又如不等式22(1)40axax，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成(2)(2)0axx，然后开始判断两根2a和2的大小关系，这样做是有问题的。事实上， 这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数 a 是有可能为0 的。讨论完0a的情况再讨论0a和0a的情况。所以此不等式的解集应该是：0,(,2)20,(,2)21,(,)(2,)1,|2201,(,2)(,)aaaaaaxR xaa注意，0a和0a时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。二、数轴标根法（又名穿针引线法）解不等式这种问题的一般形式是123()()().()0nxaxaxaxa（或, ,）步骤：将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积（注意！系数为正）或二次不可约因式 （二次项系数为正） 。画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。例如，求不等式(1)(2)(3)(4)0 xxxx的解集，画出图如下，发现解集为(,1)(2,3)(4,)21123456432O1为什么数轴标根法是正确的呢？对于不等式(1)(2)(3)(4)0 xxxx来说，要满足四项相乘为正，说明四项均正，解集为(4,) 两正两负，只能是(1),(2)xx正，(3),(4)xx负，此时解集为(2,3) 四项均负，解集为(,1) 。综上，解集为这三种情况的并集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。注意，这种方法要灵活使用，若不等式为2(1) (2)(3)(4)0 xxxx，使用数轴标根法得到的解集显然和上述不一样，因为2(1)x是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线”时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。2(1) (2)(3)(4)0 xxxx的示意图见下。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 0.50.511.522.533.544.5O三、解分式不等式分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0，另一边为含 x 的多项式。 把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为( )0( )fxg x（或, ,的形式），此时解( ) ( )0f x g x就可以解出原不等式的解集。特别地，若要解( )0( )f xg x，则解( ) ( )0( )0f x g xg x即可。例如22816xxx，移项化简得223206xxxx，使用穿针引线法得到解集为|223x xxx或1或，一定要注意 分母不为零，而分子可以为零。例：一道比较复杂的题，求(1)1(1)2a xax的解集，现写出此题的完整解题过程。解：原不等式通过移项通分可化为(1)(2)02axax，由于1a，所以可以进一步化为2(1)()102aaxax，两根为21aa和2。当1a时，解集为两根的两边， 显然有221aa，所以此时解集为2(,)(2,)1aa当1a时，解集为两根中间，此时必须根据a的取值判断两根范围。当 01a时，221aa，此时解集为2(2,)1aa当0a时，221aa，此时解集为当0a时，221aa，此时解集为2(,2)1aa至此， a 的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了当然，如果这道题不给1a的限制条件，只需要再讨论一下1a时的解集情况即可。补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题求11x的解集精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 求11x的解集求11x的解集求11x的解集求132x的解集解答： (0,1) (,0)(1,) ( 1,0) (, 1)(0,) 11(,)(,)32，注意的区别四、绝对值不等式对于含有绝对值的不等式，解题思想为直接脱去绝对值符号( )( )( )( )( )f xg xg xf xg x ，( )( )( )( )( )( )f xg xf xg xf xg x或构造函数，数形结合在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论（ 分类讨论思想随处可见）平方法（不等式两边都是非负时才能用，慎用）例：图形法某经典问题，解不等式11ax，先画出1( )1f xx的图像如下，然后分类讨论 a的取值，通过观察( )yf x 和ya的图像，来确定不等式的解集情况。4.543.532.521.510.50.511.52654321123456g x( ) = 1f x( ) = 1 1x当0a时，( )yf x 的图像在ya的图像上方，除了点(1,1)，此时显然不等式无解当1a时，( )yf x 的图像与ya的图像交点为1(,1)2，此时的解集为1(,)2当01a时，( )yf x 的图像与ya的图像交点横坐标为11,11aa，此时解集为11(,)11aa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 当1a时，( )yf x 的图像与ya的图像交点横坐标为11,11aa，此时解集为11(,),(,)11aa当然此题使用( )( )( )( )( )f xg xg xf xg x 也可以做， 化成11aax， 只是在讨论的时候需要细心，考虑到a 的所有取值。绝对值不等式的零点分段法，以及特别的做题技巧例如125xx，发现不等号左边有两个绝对值，所以应该根据两个不同的零点分段讨论当1x时，原不等式化为215x，解得2x当21x时，原不等式化为35，显然无解当2x时，原不等式化为125x，解得3x综上，原不等式的解集为三种情况下的并集（注意，为什么是并集而不是交集？），(, 32,)技巧： 可以将绝对值看成距离，也就是将1x看成数轴上点x 到点 1 的距离， 将2x看成 x 到-2 的距离，若画出数轴，发现位于区间 2,1的点（绿色点）到区间端点的距离之和为 3，位于区间 2,1之外的点到区间端点的距离之和大于3，特别地，在2 处和 -3 处距离之和为 5，所以令 x继续远离区间 2,1，发现距离之和大于5。12-2也就是说12xx的取值范围是3,同理，遇到减号的情况，例如31xx，发现其取值范围是 4,4此技巧常用于填空题，既可以求不等式解集，又可以求参数的范围。例 1：若存在实数x使得不等式11xxa成立，则 a 的取值范围是？（答案 2,0 ）例 2：不等式212xx的解集是？（答案1(,2）五、无理不等式无理不等式能出的考题较少，主要是要注意偶次根号下式子要非负。 （终于可以用平方法了，但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用）。对于奇次根号，由于不需考虑根号下式子的正负性，直接打开根号即可。( )0( )( )( )0g xf xg xf x或2( )0( )( )g xf xg x（注意这里为什么没有写( )0f x？）2( )0( )( )( )0( ) ( )g xf xg xf xf xg x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -