2022年常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题.pdf

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】例 1 bkaann 1型。（1）1k时，1nnnabaa是等差数列，)(1banban（2）1k时，设)(1makmannmkmkaann 1比较系数：bmkm1kbm1kban是等比数列，公比为k，首项为11kba11)1(1nnkkbakba1)1(11kbkkbaann例 2 )(1nfkaann型。（1）1k时，)(1nfaann，若)(nf可求和，则可用累加消项的方法。例：已知na满足11a，)1(11nnaann求na的通项公式。解：111)1(11nnnnaannnnaann1111112121nnaann213132nnaann312123aa21112aa对这（1n）个式子求和得：naan111nan12精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （2）1k时，当bannf)(则可设)()1(1BAnakBnAannABkAnkkaann)1()1(1bABkaAk) 1() 1(解得：1kaA，2) 1(1kakbBBAnan是以BAa1为首项，k为公比的等比数列11)(nnkBAaBAnaBAnkBAaann11)(将 A、B 代入即可（3）nqnf)(（q0，1）等式两边同时除以1nq得qqaqkqannnn111令nnnqaC则qCqkCnn11nC可归为bkaann 1型例 3 nnanfa)(1型。（1）若)(nf是常数时，可归为等比数列。（2）若)(nf可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知：311a，11212nnanna（2n）求数列na的通项。解：1235375325212321212122332211nnnnnnnaaaaaaaaaannnnnn1211231nnaan例 4 11nnnamamka型。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 考虑函数倒数关系有)11(11makannmkakann111令nnaC1则nC可归为bkaann 1型。练习：1. 已知na满足31a，121nnaa求通项公式。解：设)(21mamannmaann211m 11na是以 4 为首项， 2 为公比为等比数列1241nna121nna2. 已知na的首项11a，naann21（*Nn）求通项公式。解：)1(21naann)2(221naann)3(232naann2223aa1212aannnaan21)1(21 212nnan3. 已知na中，nnanna21且21a求数列通项公式。解：)1(231422413211122332211nnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - ) 1(21nnaan)1(4nnan4. 数列na中，nnnnnaaa11122，21a，求na的通项。解：nnnnnaaa111221112111nnnaa设nnab11121nnnbbnnnbb211nnnbb21112121nnnbb23221nnnbb32321bb21221bbnnbb212121321nn2121211)21(12112nnnnb212212121122nnna5. 已知：11a，2n时，12211naann，求na的通项公式。解：设)1(211BnAaBAnann精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - BAAnaann21212121112121221BAA解得：64BA3641a64nan是以 3 为首项，21为公比的等比数列1)21(364nnna64231nann【模拟试题】1. 已知na中，31a，nnnaa21，求na。2. 已知na中，11a，231nnaa（2n）求na。3. 已知na中，11a，nnnaa221（2n）求na。4. 已知na中，41a，144nnaa（2n）求na。5. 已知na中，11a，其前n项和nS与na满足1222nnnSSa（2n）（1）求证：1nS为等差数列（2）求na的通项公式6. 已知在正整数数列na中，前n项和nS满足2)2(81nnaS（1）求证：na是等差数列（2）若nb3021na，求nb的前 n 项和的最小值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 【试题答案】1. 解：由nnnaa21，得112nnnaa112nnnaa2212nnnaa212aa2221)21(211nnnaa12221nnnaa2. 解：由231nnaa得：)1(311nnaa3111nnaa即1na是等比数列113)1(1nnaa13213)1(111nnnaa3. 解：由nnnaa221得12211nnnnaa2nna成等差数列，)1(212nann122nnnna4. 解：nnnnaaaa)2(242212121)2(2211nnnnaaaa（1n）2121211nnaa（1n）设21nnab即)1(211nbbnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - nb是等差数列221)1(21211nnaan22nan5. 解：（1）12221nnnnSSSS112nnnnSSSS2111nnSS1nS是首项为 1，公差为 2 的等差数列121nSn（2）121nSn)2(384211212)121(222nnnnnan又 11a)2(3842112nnnnan6. 解：（1）2111)2(81aSa21a2n时，2121)2(81)2(81nnnnnaaSSa整理得：0)4)(11nnnnaaaana是正整数数列01nnaa41nnaana是首项为2，公差为 4 的等差数列24nan（2）31230)24(21nnbnnb为等差数列nnSn302精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 当15n时，nS的最小值为2251530152精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -