2022年平面向量数量积运算专题.pdf

平面向量数量积运算专题(附答案 ) 平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例 1(1)(2014 天津 )已知菱形ABCD 的边长为 2,BAD 120 ,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC3BE,DCDF 、若 AE AF1,则 的值为 _、(2)已知圆 O 的半径为 1,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为切点 ,那么 P A PB的最小值为 () A、 42 B、32 C、 42 2 D、322 变式训练 1(2015 湖北 )已知向量 OAAB,|OA|3,则OA OB_、题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例 2(1)(2015 重庆)若非零向量a,b 满足 |a|2 23|b|,且(a b) (3a2b),则 a 与 b 的夹角为() A、4B、2C、34D、(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于3,|a|2,|b|3,则 2ab 与 a2b 的夹角的余弦值等于() A、126B、126C、112D、112变式训练 2(2014 课标全国 )已知 A,B,C 为圆 O 上的三点 ,若AO12(ABAC),则AB与AC的夹角为 _、题型三利用数量积求向量的模例 3(1)已知平面向量a 与 b,|a|1,|b|2,且 a 与 b 的夹角为 120 ,则|2a b|等于 () 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量数量积运算专题(附答案 ) A、2 B、4 C、25 D、6 (2)已知直角梯形ABCD 中,ADBC,ADC90 ,AD 2,BC1,P就是腰 DC 上的动点 ,则|PA3PB|的最小值为 _、变式训练 3(2015 浙江 )已知 e1,e2就是平面单位向量,且 e1 e212、 若平面向量 b满足 b e1b e21,则|b|_、高考题型精练1、(2015 山东)已知菱形ABCD 的边长为 a,ABC60 ,则BD CD等于 () A、32a2B、34a2C、34a2D、32a22、(2014 浙江)记 max x,yxxyyxymin x,y yxyxxy设 a,b 为平面向量 ,则() A、min| ab|,|ab|min| a|,|b| B、min| ab|,|ab|min| a|,|b| C、max| ab|2,|ab|2|a|2|b|2D、max| ab|2,|ab|2|a|2|b|23、 (2015 湖南)已知点 A,B,C 在圆 x2y21上运动 ,且 ABBC、 若点 P 的坐标为 (2,0),则|PAPBPC|的最大值为 () A、6 B、7 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量数量积运算专题(附答案 ) C、8 D、9 4、 如图 ,在等腰直角 ABO 中,OAOB1,C 为 AB 上靠近点A 的四等分点 ,过 C 作 AB 的垂线l,P 为垂线上任一点,设OAa,OBb,OPp,则 p (ba)等于 () A、12B、12C、32D、325、 在平面上 ,AB1AB2,|OB1|OB2|1,APAB1AB2、 若|OP|12,则|OA|的取值范围就是() A、(0,52 B、(52,72 C、(52, 2 D、(72, 2 6、如图所示 ,ABC 中,ACB90 且 ACBC4,点 M 满足 BM3MA,则 CM CB等于 () A、2 B、3 C、4 D、6 7、(2014 安徽 )设 a,b 为非零向量 ,|b|2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4与 y1,y2,y3,y4均由 2 个 a 与 2 个b 排列而成、 若 x1 y1x2 y2x3 y3x4 y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则 a 与 b 的夹角为() A、23B、3C、6D、0 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量数量积运算专题(附答案 ) 8、(2014 江苏)如图 ,在平行四边形ABCD 中,已知 AB8,AD5,CP3PD,AP BP 2,则 AB AD的值就是 _、9、设非零向量a,b 的夹角为 ,记 f(a,b)acos bsin 、若 e1,e2均为单位向量,且 e1 e232,则向量 f(e1,e2)与 f(e2,e1)的夹角为 _、10、如图 ,在ABC 中,O 为 BC 中点 ,若 AB1,AC3,AB,AC 60 ,则|OA|_、11、已知向量a(sin x,34),b(cos x,1)、当 ab 时,求 cos2xsin 2x 的值 ; 12、在 ABC 中,AC10,过顶点 C 作 AB 的垂线 ,垂足为 D,AD5,且满足 AD511DB、(1)求|ABAC|; (2)存在实数 t1,使得向量 xABtAC,ytABAC,令 kx y,求 k 的最小值、平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例 1(1)(2014 天津 )已知菱形ABCD 的边长为 2,BAD 120 ,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC3BE,DCDF 、若 AE AF1,则 的值为 _、(2)已知圆 O 的半径为 1,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为切点 ,那么 P A PB的最小值为 () A、 42 B、32 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量数量积运算专题(附答案 ) C、 42 2 D、322 答案(1)2(2)D 解析(1)如图 , AE AF(AB BE) (ADDF)(AB13BC) (AD1DC)AB AD1AB DC13BC AD13BC DC22cos 120 12213221322cos 120 24432310323, 又AE AF1, 103231, 2、(2)方法一设|PA|PB|x,APB , 则 tan 21x, 从而 cos 1tan221tan22x21x21、PA PB|PA| |PB| cos x2x21x21x4x2x21x2 123 x21 2x21x212x213223, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量数量积运算专题(附答案 ) 当且仅当 x212, 即 x221 时取等号 ,故PA PB的最小值为2 23、方法二设APB ,0 ,则|PA|PB|1tan 2、PA PB|PA|PB|cos (1tan 2)2cos cos22sin22 (12sin22) 1sin2212sin22sin22、令 xsin22,0 x1, 则PA PB1x12xx2x1x32 23, 当且仅当 2x1x,即 x22时取等号、故PA PB的最小值为223、方法三以 O 为坐标原点 ,建立平面直角坐标系xOy, 则圆 O 的方程为 x2y21, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量数量积运算专题(附答案 ) 设 A(x1,y1),B(x1,y1),P(x0,0), 则PA PB(x1x0,y1) (x1x0,y1)x212x1x0 x20y21、由 OAPA? OA PA(x1,y1) (x1x0,y1)0 ? x21x1x0y210, 又 x21 y211, 所以 x1x01、从而PA PBx212x1x0 x20y21x212x20(1x21) 2x21x2032 23、故PA PB的最小值为223、点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式:一就是依据长度与夹角,二就是利用坐标运算,具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择、注意两向量a,b 的数量积 a b 与代数中a,b 的乘积写法不同 ,不应该漏掉其中的“ ”、(2)向量的数量积运算需要注意的问题:a b0时得不到 a0或 b0,根据平面向量数量积的性质有 |a|2a2,但|a b|a| |b|、变式训练 1(2015 湖北 )已知向量 OAAB,|OA|3,则OA OB_、答案9 解析因为 OAAB,所以OA AB0、所以 OA OBOA (OAAB)OA2OA AB|OA|20329、题型二利用平面向量数量积求两向量夹角精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量数量积运算专题(附答案 ) 例 2(1)(2015 重庆)若非零向量a,b 满足 |a|2 23|b|,且(a b) (3a2b),则 a 与 b 的夹角为() A、4B、2C、34D、(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于3,|a|2,|b|3,则 2ab 与 a2b 的夹角的余弦值等于() A、126B、126C、112D、112答案(1)A(2)B 解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab) (3a2b) 0,即 3a2a b 2b20、又 |a|223|b|,设a,b , 即 3|a|2|a| |b| cos 2|b|20, 83|b|2223|b|2 cos 2|b|20、cos 22、又 0 , 4、(2)记向量 2ab 与 a2b 的夹角为 , 又(2ab)242232423cos 313, (a2b)222432423cos 352, (2ab) (a2b)2a22b23a b精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量数量积运算专题(附答案 ) 81891, 故 cos 2ab a2b|2ab| |a2b|126, 即 2ab 与 a2b 的夹角的余弦值就是126、点评求向量的夹角时要注意:(1)向量的数量积不满足结合律,(2)数量积大于0 说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于 0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角、变式训练 2(2014 课标全国 )已知 A,B,C 为圆 O 上的三点 ,若AO12(ABAC),则AB与AC的夹角为 _、答案90解析 AO12(ABAC), 点 O 就是 ABC 中边 BC 的中点 , BC 为直径 ,根据圆的几何性质得AB与AC的夹角为 90 、题型三利用数量积求向量的模例 3(1)已知平面向量a 与 b,|a|1,|b|2,且 a 与 b 的夹角为 120 ,则|2a b|等于 () A、2 B、4 C、25 D、6 (2)已知直角梯形ABCD 中,ADBC,ADC90 ,AD 2,BC1,P就是腰 DC 上的动点 ,则|PA3PB|的最小值为 _、答案(1)A(2)5 解析(1)因为平面向量a 与 b,|a|1,|b|2,且 a 与 b 的夹角为120 , 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量数量积运算专题(附答案 ) 所以 |2ab|2a2b22|2a|b|cos 120 2212222212 122、(2)方法一以 D 为原点 ,分别以 DA、 DC 所在直线为x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设 DCa,DPx、D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x), PA(2,x),PB(1,ax), PA 3PB(5,3a4x), |PA3PB|225(3a4x)225, |PA3PB|的最小值为5、方法二设DPxDC(0 x1), PC(1x)DC, PADADPDAxDC, PBPCCB(1x)DC12DA, PA 3PB52DA(34x)DC, |PA3PB|2254DA2252(34x)DA DC(34x)2 DC225(34x)2DC225, |PA3PB|的最小值为5、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量数量积运算专题(附答案 ) 点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中,给有关向量赋以具体的坐标求向量的模,如向量a(x,y),求向量 a 的模只需利用公式|a|x2y2即可求解、 (2)向量不放在坐标系中研究,求解此类问题的方法就是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式,关键就是会把向量 a 的模进行如下转化:|a|a2、变式训练 3(2015 浙江 )已知 e1,e2就是平面单位向量,且 e1 e212、 若平面向量 b满足 b e1b e21,则|b|_、答案233解析因为 |e1|e2|1 且 e1 e212、 所以 e1与 e2的夹角为60 、 又因为 b e1b e2 1,所以 b e1b e20,即 b (e1e2)0,所以 b(e1e2)、 所以 b 与 e1的夹角为 30 ,所以 b e1|b| |e1|cos 301、所以 |b|233、高考题型精练1、(2015 山东)已知菱形ABCD 的边长为 a,ABC60 ,则BD CD等于 () A、32a2B、34a2C、34a2D、32a2答案D 解析如图所示 ,由题意 ,得 BCa,CDa,BCD120 、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量数量积运算专题(附答案 ) BD2BC2CD22BC CD cos 120 a2a22a a 123a2, BD3a、BD CD|BD|CD|cos 303a23232a2、2、(2014 浙江 )记 max x,yxxyyxymin x,y yxyxx|ab|,此时 ,|ab|2|a|2|b|2;当 a,b 夹角为钝角时,|ab|a|2|b|2;当ab 时,|ab|2|ab|2|a|2|b|2,故选 D、3、 (2015 湖南)已知点 A,B,C 在圆 x2y21上运动 ,且 ABBC、 若点 P 的坐标为 (2,0),则|PAPBPC|的最大值为 () A、6 B、7 C、8 D、9 答案B 解析 A,B,C 在圆 x2y21 上,且 ABBC, AC 为圆直径 ,故PAPC2PO(4,0),设 B(x,y),则 x2y21 且 x1,1,PB(x2,y), 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量数量积运算专题(附答案 ) PA PBPC(x6,y)、故|PAPBPC|12x37,x 1 时有最大值497,故选B、4、 如图 ,在等腰直角 ABO 中,OAOB1,C 为 AB 上靠近点A 的四等分点 ,过 C 作 AB 的垂线l,P 为垂线上任一点,设OAa,OBb,OPp,则 p (ba)等于 () A、12B、12C、32D、32答案A 解析以 OA,OB 所在直线分别作为x 轴,y 轴, O 为坐标原点建立平面直角坐标系, 则 A(1,0),B(0,1),C(34,14), 直线 l 的方程为 y14x34, 即 xy120、设 P(x,x12),则 p(x,x12), 而 ba(1,1), 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量数量积运算专题(附答案 ) 所以 p (ba) x(x12)12、5、 在平面上 ,AB1AB2,|OB1|OB2|1,APAB1AB2、 若|OP|a,所以 A4、所以 f(x)4cos(2A6)2sin(2x4)12、因为 x0,3,所以 2x44,1112、所以321f(x)4cos(2A6)212、所以 f(x)4cos(2A6)的取值范围为 321,212、12、在 ABC 中,AC10,过顶点 C 作 AB 的垂线 ,垂足为 D,AD5,且满足 AD511DB、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量数量积运算专题(附答案 ) (1)求|ABAC|; (2)存在实数 t1,使得向量 xABtAC,ytABAC,令 kx y,求 k 的最小值、解(1)由AD511DB,且 A,B,D 三点共线 , 可知 |AD|511|DB|、又 AD 5,所以 DB 11、在 RtADC 中,CD2AC2AD275, 在 RtBDC 中,BC2DB2CD2196, 所以 BC14、所以 |ABAC|CB|14、(2)由(1),知|AB|16,|AC|10,|BC|14、由余弦定理 ,得 cos A1021621422101612、由 xABtAC,ytABAC, 知 kx y(ABtAC) (tABAC) t|AB|2(t21)AC ABt|AC|2256t(t21)161012100t80t2356t80、由二次函数的图象,可知该函数在 1,)上单调递增 , 所以当 t1 时,k 取得最小值516、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - - -