2022年平面向量的数量积运算.pdf

平面向量的数量积运算考点 71 平面向量的数量积运算1.(13天津 T12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD, E为 CD 的中点、 若1AC BEuuu r u uu rg, 则 AB 的长为、【测量目标】向量的线性运算,平面向量的数量积运算、【难易程度】简单【参考答案】12【试题解析】用,AB ADu uu r uuu r表示ACuu u r与BEuuu r,然后进行向量的数量积运算、由已知得ACuuu r=ADABu uu ruuu r,12BEBCCEADABu uu ruuu ruu u ru uu ru uu r, AC BEuuuu r u uu rg=221122ADAB ADAB ADABuuu ruu u r uu u ruuu r u uu ru uu rgg211122AB ADABuu u r uu u ru uu rg2111cos60122ABADABuu u ru uu ruuu rg,(步骤 1) 12ABuuu r、(步骤2) jxq592、(13 新课标T13)已知两个单位向量,a b的夹角为60o,cta(1t)b若bgc0,则 t_、【测量目标】平面向量的数量积、【难易程度】容易【参考答案】2t【试题解析】cta(1t)b,bgctagb(1t)|b|2、(步骤 1) 又 |a|b| 1,且 a 与 b 夹角为60o,bc,0t|a|g|b|cos 60o(1t), 012t1t、t2、(步骤 2) 3、(13 江西 T12)设1e,2e为单位向量、 且1e,2e的夹角为3,若123aee,12be,则向量a在b方向上的射影为_、【测量目标】平面向量的数量积运算、【难易程度】容易【参考答案】52精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 平面向量的数量积运算【试题解析】121(3) 2|cos|2ggggeeea ba baaabb211226 1 1 cos2653.222gee e4.(13 福 建T7) 在 四 边 形ABCD中 ,(1,2)ACu uu r,( 4,2)BDuuu r, 则 四 边 形 的 面 积 为( ) A.5B.2 5C.5 D.10 【测量目标】向量的数量积运算、【难易程度】容易【参考答案】 C 【试题解析】ACuuu rgBDuuu r1 ( 4)2 20,ACuuu rBDuuu r、(步骤 1) 又|ACuuu r|2125,|BDuuu r|22421642 5, S四边形ABCD12|ACuuu r|BDuuu r|5、(步骤 2) 5、 (13 陕西 T3)设 a,b 为向量 ,则“|agb|a|b| ”就是“ a b” 的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】平面向量的数量积运算,充分、必要条件、【难易程度】容易【参考答案】 C 【试题解析】若,ga ba b若 a,b 中有零向量 ,显然 a b;(步骤 1) 若 a,b 中均不为零向量,则cos,ga ba ba ba bcos,1a b,a b或 0,ab,即ga ba bab、(步骤 2) 若ab,则,a b或 0,cos,ga ba ba ba b,(步骤 3) 其中若 a,b 中有零向量也成立,即abga ba b;(步骤 4) 综上知 :“|agb|a|b| ” 就是“ ab” 的充分必要条件、(步骤 5) 6.(13 浙江 T17) 设12,e e为单位向量 ,非零向量12xyb=ee, x yR,若12,e e的夹角为6,则|xb的最大值等于 _、【测量目标】向量模的计算,向量的数量积 ,不等式性质、【难易程度】较难精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 平面向量的数量积运算【参考答案】 2 【试题解析】12,e e为单位向量 ,1e与2e的夹角等于30 ,(步骤1)12ge e=1 1 cos30 =32、非零向量12xyb =ee,(步骤2)222221223xxyyxxyygbbe e(步骤 3)22222221133311324xxxxxyyxxxxyyxyyygb故当xy=32时,xb取得最大值为2,故答案为2、 (步骤 4) 7 、 (13山 东T15) 已 知 向 量uuu rAB与uuu rAC的 夹 角 为120o, 且3,2.u uu ruuu rABAC若uuu ru uu ru uu rAPABAC,且u uu ruuu rAPBC,则实数的值为 _、【测量目标】平面向量的数量积运算、【难易程度】中等【参考答案】712【试题解析】APuuu rABuuu rACuuu r,APuuu rBCuuu r, 又BCuuu rACu uu rABuu u r, (ACu uu rABuuu r)g(ACuuu rABu uu r) 0、 ACuuu r2ABu uu rg ACu uu rABuuu rg ACuuu rABuu u r2 0, 即 4 (1)3 21290, 即 7120, 712、8.(12 浙江 T15) 在ABC中,M 就是 BC 的中点 ,AM3,BC10,则 AB ACu uu r uu u rg_. Yxj 63 【测量目标】平面向量的数量积运算、【难易程度】中等【参考答案】16【试题解析】 设AMB,则,AMC又,ABMBMAu uu ru uu ruuu r,ACMCMAuu u ruuu u ruuu r(步骤1) 2() ()AB ACMBMAMCMAMB MCMB MAMA MCMAuuu r u uu ruuu ruu u ruuu u ruuu ruu ur uuu u ruu u r u uu ru uu r uuu u ruuu rggggg，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 平面向量的数量积运算255 3cos3 5cos(故答案为16、(步骤 2) 9、(12 重庆 T6)设, x yR,向量( ,1),(1, ),(2,4)xyabc且,ac bcP,则ab( ) A、5B、10C、2 5D、10 【测量目标】平面向量的数量积运算、【难易程度】中等【参考答案】 B 【试题解析】,240,2,xxQgaca c(步骤 1) ,1 ( 4)2 ,2,y yQ cbP(步骤 2) (3, 1),10.abab(步骤 3) 10、(12 新课标 T13)已知向量a,b夹角为45o,且|a|=1,|2a - b|=10,则|b|= 、【测量目标】平面向量的数量积运算、【难易程度】容易【参考答案】3 2【试题解析】由题意得,222224444cos45oggabaa bba bb, 则244cos45103 2oga bbb、11、(11 辽宁 T10)若a,b,c均为单位向量 ,且0ga b,() ()0g,acbc,则|abc的最大值为( ) A、12B、1 C、2D、2 【测量目标】平面向量的数量积运算、【难易程度】中等【参考答案】 B 【试题解析】2() ()0()0ggg剟acbca bc abc又, ,a b c为单位向量 ,且ga b=0,()1gcab,(步骤 1) 而222222()ggabcabca bc ab=32()321g,cab、abc的最大值为1.(步骤 2) 12、 (11 江苏 T10)已知12，ee就是夹角为23的两个单位向量,12122k，aeebee若0ga b,则 k 的值为【测量目标】平面向量的数量积运算、【难易程度】容易精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 平面向量的数量积运算【参考答案】54【试题解析】解:12，ee就是夹角为23的两个单位向量1212ge e(步骤 1) 1212(2) ()kgga beeee=2211212222kkggee ee ee=522k(步骤 2) 0ga b5202k(步骤 3)解得54k故答案为 :54(步骤 4) 13.(11 广东 T3)若向量,a b,c满足ab且ac,则(2 )c a +bg= ( ) A. 4B. 3C. 2D. 0【测量目标】平面向量的数量积运算、【难易程度】容易【参考答案】 D 【试题解析】ab且ac,(2 )20ca +bc a +c b =ggg. 14、(11 重庆 T12)已知单位向量ije ,e的夹角为60o,则2_ijee. 【测量目标】平面向量数量积、【难易程度】容易、【参考答案】3【试题解析】22ijee=2(2)ijee=2244iijjeeee=54cos60o=323ijee、故答案为3、15、(11 新课标 T10)已知a与 b均为单位向量 , 其夹角为, 有下列四个命题其中精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 平面向量的数量积运算的真命题就是 ( ) 12:10,3pab22:1,3pab3:10,3pab4:1,3pabA、14,pp B、13,pp C、23,pp D、24,pp【测量目标】不等式比较大小及平面向量的数量积运算、【难易程度】中等【参考答案】 A 【试题解析】222cos22cos1ababa b得, 1cos2, 20,3,(步骤 1) 由222cos22cos1ababa b得1cos2,3, 选 A(步骤 2)16.(10 重庆 T2)已知向量a,b满足ga b0,|a|=1,|b|=2,则 |2ab|( ) A. 0 B、 22C、 4 D、 8 【测量目标】平面向量的数量积运算、【难易程度】容易【参考答案】 B 【试题解析】2ab222(2)4482 2gabaa bb17 、 (10安 徽T3) 设 向 量1 1(1,0),(,)2 2ab, 则 下 列 结 论 中 正 确 的 就 是( ) A、| |abB、22ga bC、与abb垂直D、abP【测量目标】平面向量的坐标运算与数量积运算、【难易程度】容易【参考答案】 C 【试题解析】由于a=(1,0),b=(21,21),那么 |a|=1,|b|=22,选项 A 错;(步骤 1) a?b=121+021=21,选项 B 错;(步骤 2) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 平面向量的数量积运算(ab)?b=(21,21)?(21,21)=21212121=0,即 ab 与 b 垂直 ,选项 C 正确 ;(步骤 3) 112210,选项 D 错、 (步骤 4) 18、(10 广东 T10)若向量1,1,xa,1,2,1b,1,1,1c,满足条件22cabg,则x= 、【测量目标】平面向量的坐标运算与数量积运算、【难易程度】容易【参考答案】 2 【试题解析】0,0,1xca,22 0,0,11,2,12 12xxcabgg解得2x. 19.(09 福建 T9)设abc， ，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线 ,ac,ac,则gb c的值一定等于( )A. 以a,b 为两边的三角形面积B.以 b,c 为两边的三角形面积C.以 a,b为邻边的平行四边形的面积D.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积【测量目标】平面向量的数量积运算,三角形面积 . 【难易程度】容易【参考答案】 C 【试题解析】依题意可得cos( , )sin( , )Sgg gg gb cb cb cb aa c,故选 C. 20、(09广东 T16) 已知向量(sin, 2)a与(1,cos )b互相垂直 ,其中(0,)2.(1)求sin与cos的值 ;(2)若10sin(),0102,求cos的值 . 【测量目标】平面向量的数量积运算与两角与与差的余弦、【难易程度】中等【试题解析】 (1) 向量sin , 2a与1 cos，b =互相垂直 , sin2cos0ga b, 即cos2sin, (步骤 1)又1cossin22精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 平面向量的数量积运算 代入 , 整理 , 得51cos2, (步骤 2)由0,2,可知0cos, 55cos, (步骤 3)代入得552sin、故55cos, 552sin、(步骤 4) (2)0,0,2222Q(步骤 5) 则23 10cos1sin,10(步骤6)2coscoscoscossinsin.2(步骤 7) 21、(09 江苏 T2)已知向量a与向量b的夹角为30,|2,|3ab,则向量a与向量b的数量积ga b、【测量目标】向量的数量积运算、【难易程度】容易【参考答案】 3 【试题解析】32332ggga b、22.(09 江苏 T15)设向量(4cos,sin),(sin,4cos),(cos, 4sin)abc(1)若a与2bc垂直 ,求tan()的值 ; (2)求|bc的最大值 ; (3)若tantan16g,求证 :ab、【测量目标】向量的数量积运算,同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角与的正弦与余弦公式、【难易程度】中等【试题解析】 (1)由a与2bc垂直 ,(2 )20ggga bca ba c,(步骤 1) 即4sin()8cos()0,tan()2;(步骤 2) (2)(sincos,4cos4sin)bc(步骤 3) 222|sin2sincoscosbc2216cos32cossin16sin1730sincos1715sin 2,最大值为 32,(步骤 4) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 平面向量的数量积运算所以|bc的最大值为4 2、(步骤 5) (3)由tantan16得sinsin16coscos,(步骤 6) 即4cos4cossinsin0g(步骤 7) 所以ab、(步骤 8) 23、(09 全国T6) 设a、b、c就是单位向量,且0ga b,则gacbc的最小值为( ) A、2B、22C、1D、12【测量目标】平面向量的数量积运算、【难易程度】容易【参考答案】 D 【试题解析】, ,Q a b c就是单位向量2gggacbca bab cc112cos,12gab cab c故选 D、24、(09 辽宁 T3)平面向量a与b的夹角为60,(2,0)a,1b则2ab( ) A、3B、2 3C、 4 D、 12 【测量目标】平面向量的数量积运算、【难易程度】容易【参考答案】 B 【试题解析】由已知2222,244442 1 cos60412gaabaa bb, 22 3ab、25、(09 全国T6) 已知向量2,1 ,10,| 5 2?aa bab,则|b( ) A、5B、10C、5D、25【测量目标】平面向量的数量积运算、【难易程度】容易【参考答案】 C 【试题解析】222250|2|520|Qgabaa bbb,| 5b、故选 C、26.(09重庆T7)设ABC的三个内角,A B C,向量精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 平面向量的数量积运算( 3sin,sin)ABm,(cos,3cos)BAn,若1cos()ABgm n,则C=( ) A.6B.3C.23D.56【测量目标】平面向量的数量积运算、两角与与差的正弦. 【难易程度】中等、【参考答案】 C 【试题解析】3sincos3cossin3 sin()1cos()ABABABABm nggg, ABC,所以3sin1cosCC即3 sincos1CC,2sin16C（）1sin(62C）,由题 566C,即23C. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -