2022年广州市普通高中毕业班综合测试文科数学试题及参考答案.pdf

开始0kkk1 31nn150?n输出 k ,n 结束是否输入n高三（第三份）第卷一、选择题：本小题共12 题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）复数21 i的虚部是（A）2（B）1（C）1（D）2（2）已知集合200 1x xax,，则实数a的值为（A）1（B）0（C）1（D）2（3）已知tan2，且0,2，则cos2() 45() 35() 35() 45（4）阅读如图的程序框图. 若输入5n, 则输出k的值为（A）2（B）3（C）4（D）5（5）已知函数122,0,1 log,0,xxfxxx则3ff() 43() 23( ) 43() 3（6）已知双曲线C222:14xya的一条渐近线方程为230 xy,1F,2F分别是双曲线C的左 , 右焦点 , 点P在双曲线C上, 且12PF, 则2PF等于（A）4（B）6（C）8（D）10（7）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币 .若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么 , 没有相邻的两个人站起来的概率为（A）14（B）716（C）12（D）916（8）如图 , 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图, 且该几何体的体积为83, 则该几何体的俯视图可以是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - （A）（B）（C）（ D）（9）设函数32fxxax，若曲线yfx在点00,P xfx处的切线方程为0 xy，则点P的坐标为() 0,0() 1, 1() 1,1( ) 1, 1或1,1（10） 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑 , PA平面ABC, 2PAAB，4AC,三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上 , 则球O的表面积为（A）8（B）12（C）20（D）24（11）已知函数sincos0,0fxxx是奇函数，直线2y与函数fx的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2，则（A）fx在0,4上单调递减（B）fx在3,88上单调递减（C）fx在0,4上单调递增（D）fx在3,88上单调递增（12）已知函数1cos212xfxxx, 则201612017kkf的值为（A）2016（B）1008（ C）504（D）0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第1321 题为必考题，每个考生都必须作答。第2223 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本小题共4 题，每小题5 分。（13）已知向量a1,2，b, 1x，若a()ab，则a b. （14）若一个圆的圆心是抛物线24xy的焦点，且该圆与直线3yx相切，则该圆的标准方程是. （15）满足不等式组130,0 xyxyxa的点, x y组成的图形的面积是5,则实数a的值为. （16）在 ABC中, 160 ,1,2ACBBCACAB, 当ABC的周长最短时, BC的长是. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分12 分）已知数列na的前 n 项和为nS，且22nnSa（nN*） （）求数列na的通项公式；() 求数列nS的前 n 项和nT精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - （18） （本小题满分12 分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题该企业为了检查生产该产品的甲， 乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50 件产品作为样本， 测出它们的这一项质量指标值若该项质量指标值落在195,210内，则为合格品，否则为不合格品表 1 是甲流水线样本的频数分布表，图1 是乙流水线样本的频率分布直方图（）根据图，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000 件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（） 根据已知条件完成下面22列联表， 并回答是否有85%的把握认为 “ 该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关” ？附：22n adbcKabcdacbd（其中nabcd为样本容量）2P Kk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计质量指标值频数(190,195 9 (195,200 10 (200,205 17 (205,210 8 (210,215 6 表 1：甲流水线样本的频数分布表图 1：乙流水线样本频率分布直方图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - EDCBAEDCBA（19） （本小题满分12 分）如图 1，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，BDDC, 点E是BC边的中点 , 将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE,AC,DE, 得到如图 2 所示的几何体 . （）求证：AB平面ADC；() 若1,ADAC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为6， 求点B到平面ADE的距离 . 图 1 图 2 （20） （本小题满分12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32, 且过点2,1A. ( ) 求椭圆C的方程 ; ( ) 若,P Q是椭圆C上的两个动点 ,且使PAQ的角平分线总垂直于x轴, 试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - （21） （本小题满分12 分）已知函数ln0afxxax. ( ) 若函数fx有零点 , 求实数a的取值范围 ; ( ) 证明 : 当2ae时, xfxe. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 请考生在第2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（22） （本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为3,(1xttyt为参数). 在以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线:2 2 cos.4C() 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; () 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值. （23） （本小题满分10 分）选修45：不等式选讲已知函数12fxxaxa. () 若13f，求实数a的取值范围 ; () 若1,axR , 求证：2fx. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - Answer 一、选择题（1）B （2）A （3）C （4）B （5）A （6） C （7）B （8）C （9）D （10）C （11） D （12）B 二、填空题（13）52（14）2212xy（15）3（16）212三、解答题(17) 解: （）当1n时，1122Sa，即1122aa， 1 分解得12a2 分当2n时，111(22)(22)22nnnnnnnaSSaaaa， 3 分即12nnaa，4 分所以数列na是首项为2，公比为2的等比数列 5 分所以1222nnna（nN*） 6 分() 因为12222nnnSa，8 分所以12nnTSSS9 分2312222nn10 分412212nn11 分2242nn12 分(18) 解：（）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，因为0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86，1 分则0.0120.0320.05250.0762050.5,x3 分解得390019x4 分（）由甲，乙两条流水线各抽取的50 件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15 件，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - EDCBA则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153,5010P甲5 分乙流水线生产的产品为不合格品的概率为10.0120.02855P乙， 6 分于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000 件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：315000=1500,5000=10001058 分（）22列联表 : 甲生产线乙生产线合计合格品35 40 75 不合格品15 10 25 合计50 50 100 10 分则2210035060041.350 50 75 253K，11 分因为1.32.072,所以没有 85%的把握认为 “ 该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关 ” 12 分(19) 解：() 因为平面ABD平面BCD，平面ABDI平面BCDBD，又BDDC，所以DC平面ABD. 1 分因为AB平面ABD， 所以DCAB2 分又因为折叠前后均有ADAB，DCADD, 3 分所以AB平面ADC. 4分() 由（）知DC平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角. 5 分依题意6tanADCDCAD，因为1AD,所以6CD. 6 分设0ABx x，则12xBD, 因为ABDBDC，所以BDDCADAB，7分即1612xx，解得2x，故3,3,2BCBDAB. 8 分由于AB平面ADC，ABAC, E为BC的中点 , 由平面几何知识得AE322BC, 同理DE322BC,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以22131212222ADESD骣骣鼢珑=创-=鼢珑鼢珑桫桫. 9 分因为DC平面ABD，所以3331ABDBCDASCDV. 10 分设点B到平面ADE的距离为d, 则632131BCDABDEAADEBADEVVVSd, 11分所以26d，即点B到平面ADE的距离为26. 12 分(20) 解: () 因为椭圆C的离心率为32, 且过点2,1A, 所以22411ab, 32ca. 2 分因为222abc, 解得28a, 22b, 3 分所以椭圆C的方程为22182xy. 4 分()法 1：因为PAQ的角平分线总垂直于x轴, 所以PA与AQ所在直线关于直线2x对称. 设直线PA的斜率为k, 则直线AQ的斜率为k. 5 分所以直线PA的方程为12yk x,直线AQ的方程为12yk x. 设点,PPP xy, ,QQQ xy, 由2212 ,1,82yk xxy消去y,得222214168161640kxkk xkk. 因为点2,1A在椭圆C上, 所以2x是方程的一个根, 则2216164214Pkkxk, 6 分所以228821 4Pkkxk. 7 分同理2288214Qkkxk. 8 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以21614PQkxxk. 9 分又28414PQPQkyyk xxk. 10 分所以直线PQ的斜率为12PQPQPQyykxx. 11 分所以直线PQ的斜率为定值， 该值为12. 12 分法 2：设点1122,P x yQ xy，则直线PA的斜率1112PAykx, 直线QA的斜率2212QAykx. 因为PAQ的角平分线总垂直于x轴, 所以PA与AQ所在直线关于直线2x对称 . 所以PAQAkk, 即1112yx22102yx, 5 分因为点1122,P x yQ xy在椭圆C上, 所以2211182xy，2222182xy. 由得22114410 xy, 得111112241yxxy, 6 分同理由得222212241yxxy, 7 分由得12122204141xxyy, 化简得12211212240 x yx yxxyy, 8 分由得12211212240 x yx yxxyy, 9 分得12122xxyy. 10 分得22221212082xxyy,得12121212142yyxxxxyy. 11 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以直线PQ的斜率为121212PQyykxx为定值 . 12 分法 3：设直线PQ的方程为ykxb，点1122,P xyQ xy，则1122,ykxb ykxb, 直线PA的斜率1112PAykx, 直线QA的斜率2212QAykx. 5 分因为PAQ的角平分线总垂直于x轴, 所以PA与AQ所在直线关于直线2x对称 . 所以PAQAkk, 即1112yx2212yx, 6 分化简得12211212240 x yx yxxyy. 把1122,ykxb ykxb代入上式 , 并化简得1212212440kx xbkxxb. (*) 7 分由22,1,82ykxbxy消去y得222418480kxkbxb, (*) 则2121222848,4141kbbxxx xkk, 8 分代入 (*) 得2222488124404141kbkb bkbkk, 9 分整理得21210kbk, 所以12k或1 2bk. 10 分若12bk, 可得方程 (*) 的一个根为2，不合题意 . 11 分若12k时 , 合题意 . 所以直线PQ的斜率为定值， 该值为12. 12 分(21) 解: ()法 1: 函数lnafxxx的定义域为0,. 由lnafxxx, 得221axafxxxx. 1 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 因为0a,则0,xa时,0fx;,xa时,0fx. 所以函数fx在0,a上单调递减 , 在,a上单调递增 .2 分当xa时,minln1fxa. 3 分当ln10a, 即0a1e时 , 又1ln10faa, 则函数fx有零点 . 4 分所以实数a的取值范围为10,e. 5 分法 2：函数lnafxxx的定义域为0,. 由ln0afxxx, 得lnaxx. 1 分令lng xxx，则ln1gxx. 当10,xe时, 0gx; 当1,xe时, 0gx. 所以函数g x在10,e上单调递增 , 在1,e上单调递减 . 2 分故1xe时, 函数g x取得最大值1111lngeeee. 3分因而函数lnafxxx有零点 , 则10ae. 4 分所以实数a的取值范围为10,e. 5 分() 要证明当2ae时, xfxe, 即证明当0,x2ae时, lnxaxex, 即lnxxxaxe.6 分令lnh xxxa, 则ln1hxx. 当10 xe时,0fx;当1xe时,0fx. 所以函数h x在10,e上单调递减 , 在1,e上单调递增 . 当1xe时, min1h xae. 7 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 于是,当2ae时, 11.h xaee8 分令xxxe, 则1xxxxexeex. 当01x时,0fx;当1x时,0fx. 所以函数x在0,1上单调递增 , 在1,上单调递减 . 当1x时, max1xe. 9分于是, 当0 x时, 1.xe 10 分显然, 不等式、 中的等号不能同时成立.11 分故当2ae时, xfxe. 12 分（22）解：() 由3,1,xtyt消去t得40 xy, 1 分所以直线l的普通方程为40 xy. 2 分由2 2 cos42 2 cos cossinsin2cos2sin44, 3 分得22cos2sin. 4 分将222,cos,sinxyxy代入上式 , 得曲线C的直角坐标方程为2222xyxy, 即22112xy. 5分() 法 1:设曲线C上的点为12 cos ,12sinP, 6 分则点P到直线l的距离为12 cos12 sin42d7 分2 sincos222sin24.28 分当sin14时, max2 2d, 9 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2 2.10 分法 2: 设与直线l平行的直线为:0lxyb, 6 分当直线l与圆C相切时 , 得1 122b, 7 分解得0b或4b(舍去), 所以直线l的方程为0 xy. 8 分所以直线l与直线l的距离为042 22d. 9 分所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2 2. 10 分（23）解：() 因为13f，所以1 23aa. 1 分 当0a时，得1 23aa，解得23a，所以203a; 2 分 当102a时，得123aa，解得2a，所以102a; 3 分 当12a时，得123aa，解得43a，所以1423a; 4 分综上所述，实数a的取值范围是2 4,3 3. 5 分() 因为1,axR , 所以1212fxxaxaxaxa7 分31a8 分31a9 分2. 10 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -