数列求和方法汇编及典题训练, .pdf

数列求和方法汇编【教学目标】一、知识目标1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2能运用倒序相加、错位相减、裂项相消等重要的数学方法进行求和运算；3熟记一些常用的数列的和的公式二、能力目标培养学生的 “ 合情推理能力 ” 、“ 等价转化 ” 和“ 演绎归纳 ” 的数学思想方法，以及创新意识， 渗透运用定义、分类讨论、转化与化归等数学思想三、情感目标通过数列求和的学习，培养学生的严谨的思维品质，使学生体会知识之间的联系和差异，激发学生的学习兴趣【教学重点】1求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2求和过程中注意分类讨论思想的运用；3转化思想的运用；【教学难点】错位相减法、裂项相消法的应用【知识点梳理】1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：dnnnaaanSnn2) 1(2)(11（2）等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn（切记：公比含字母时一定要讨论）2公式法：222221(1) ( 21 )1236nkn nnkn2333331(1)1232nkn nkn3错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的比如.,2211的和求等比等差nnnnbabababa4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 其和常见拆项公式：111)1(1nnnn；1111()(2)22n nnn)121121(21)12)(12(1nnnn!)!1(!nnnn5分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列相加或相减组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减6并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和 形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如， Sn1002992982972 2212(10099)(9897) (21)5 050. 7倒序相加法：如果一个数列 an的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的8其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法，导数法等【典型例题】题型一、公式法求和例题 1： 已知数列 an是首项 a14，公比 q1的等比数列，Sn是其前n项和，且 4a1，a5， 2a3成等差数列(1) 求公比q的值；(2) 求Tna2a4a6a2n的值【解析】 (1) 由题意得 2a54a12a3. an是等比数列且a14，公比q1，2a1q4 4a12a1q2，q4q22 0，解得q22( 舍去 )或q21，q 1. (2) a2，a4，a6，a2n是首项为a24( 1) 4，公比为q21 的等比数列，Tnna24n. 【点评】应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式变式 1：已知数列na满足214nan，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - - （1）证明na是等差数列；（2）求naaaa321n12121212125614(1),17-4212=0460,64,有.8711154maaa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 13、已知二次函数( )yf x的图像经过坐标原点，其导函数为( )62fxx，数列na的前 n 项和为nS，点( ,)()nn SnN均在函数( )yf x的图像上。（）求数列na的通项公式；（）设11nnnba a，nT是数列nb的前 n 项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m；【参考答案】巩固练习答案1、解：（1）555555555nnS个5(999999999)9n个235(101)(101)(101)(101)9n23550510101010(101)9819nnnn（2）11 11()(2)22n nnn，11111111(1)()()()2324352nSnn1111(1)2212nn（3）1111(1)(1)nnnannnnnnnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 11121321nSnn(21)( 32)(1)nn11n（4）2323nnSaaana，当1a时，123nS(1)2n nn，当1a时，2323nSaaanna，23423naSaaa1nna，两式相减得23(1)na Saaa11(1)1nnnnaaananaa，212(1)(1)nnnnanaaSa（5）2(2)2n nnn， 原式222(1232)2(123n)n(1)(27)6n nn（6）设2222sin 1sin 2sin 3sin 89S，又2222sin 89sin 88sin 87sin 1S，289S，892S（7）和式中第 k 项为ak1121412k1112k1122 112k. Sn2 112 1122 112n2 11 1n个1212212n2 n12112n11212n12n2 2、(1)设 an 的公差为 d，则由已知得a1a2a36，a1a2 a84，即3a13d6，8a128d4，解得 a13，d1，故 an3(n1)4n. (2)由(1)知，bnn qn1，于是 Sn1 q02 q13 q2 n qn1，若 q1，上式两边同乘以q. qSn1 q12 q2 (n1)qn1n qn，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 两式相减得： (1q)Sn1q1q2 qn1n qn1qn1qn qn. Sn1qn1q2n qn1qn qn1 n1 qn11q2. 若 q1，则 Sn123 nn n12，Snn n12q1 ，nqn1 n1 qn11q2q1 .3、11n12121212127211(3)424211=0260,S(-9+211)n6()(10)26(nnnnnnnnndanaadaannanaaaannaaaaaan nnaaaaa11a解：, 得 a =-9,d=2,显然是递增数列，令，得当时，当时，设当时 ,当时 ,567555)()()2(10)50nnnaaaaSSSSSn n4、421101211210121112121,2,21411321,22121352122221132122221111211112122112222222122122nnnnnnnnnnnnnnnnndqdqdqanbanbnSnSnnSnS解：解得：两式相减得：（）114(1)2n5、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 课后作业答案1、413n2、( 1)nn3、31nn4、1111122323nn5、121;22nnn62332nnnS。7、解(1)S2nanSn12，anSnSn1(n2)，S2n(SnSn1) Sn12，即 2Sn1SnSn1Sn，由题意 Sn1 Sn0，式两边同除以Sn1 Sn，得1Sn1Sn12，数列1Sn是首项为1S11a11，公差为 2 的等差数列1Sn12(n1)2n1， Sn12n1. (2)又 bnSn2n112n12n11212n112n1，Tnb1b2 bn12113131512n112n112112n1n2n1. 8、解(1)设等差数列 an的公差为 d，由已知条件可得a1d0，2a112d10，解得a11，d1.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 故数列 an 的通项公式为 an2n. (2)设数列an2n1的前 n 项和为 Sn，an2n12n2n112n2n2n1，Sn 211212212n2122322n2n1. 记 Tn122322n2n1，则12Tn12222323n2n，得：12Tn11212212n1n2n，12Tn112n112n2n. 即 Tn4 112nn2n1. Sn2 112n1124 112nn2n14 112n4 112nn2n1n2n1. 9、解(1)a13a232a3 3n1ann3，当 n2 时，a13a232a3 3n2an1n13，得： 3n1ann3n1313，an13n. 当 n1 时，a113也适合上式，an13n. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 26 页 - - - - - - - - - - (2)bnnann 3n，Sn13232333 n 3n，则 3Sn32233334 n 3n1，得：2Sn332333nn 3n13 13n13n 3n132(13n)n 3n1. Sn34(13n)n 3n12342n1 3n14.10、2121212321321242222-1212,242),14(14)(1)()()221422222423334232-1),-=43mmmnmmmmmmnmnmmm anNSSaaaam maaaaaannmmnNSSS2m2m解： a当为偶数时，令n=2m(m当为奇数时，令n=2m(ma22222-3222,2234232-S3423222-3423nnnnmmnnnnnnnn为偶数，为奇数11、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 3、拓展训练答案1解： amnamanmn， an1ana1nan1n，利用叠加法得到：2)1(nnan，)111(2) 1(21nnnnan，)200911(2)20091200813121211(211112008321aaaa20094016答案： A. 2解： ana1n1，bnb1n1 nbaa1bn1a1(b1n1)1 a1b1n25n2n3 则数列 nba也是等差数列，并且前10 项和等于：85102134答案： B. 3解：因为an=n2-n.，则依据分组集合即得. 答案 ;A. 4解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即：Sn=)(2)(21为偶为奇nnnn答案： A 5解由题意可得a1=1,设公比为 q,公差为 d,则2212dqdqq2-2q=0,q0,q=2,an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n, cn=2n-1+1-n,Sn=978. 答案： A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 6解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+ +(2+1)=5050. 答案： B 7 解： 设此数列 an, 其中间项为a1001, 则 S奇=a1+a3+a5+a2001=1001a1001,S偶=a2+a4+a6+a2000=1000a1001. 答案 : 100010018解：原式 =.6326) 12() 1(23nnnnnn答案：61;21;319、(1)由题意，知 an14n(nN*)，又 bn3log14an2，故 bn3n2(nN*)(2)由(1)，知 an14n，bn3n2(nN*)，cn(3n2)14n(nN*)Sn11441427143 (3n5)14n1(3n2)14n，于是14Sn114241437144 (3n5)14n(3n2)14n1，两式相减，得34Sn14314214314n(3n2)14n112(3n2)14n1，Sn233n2314n(nN*)10、(1)a13a232a3 3n1ann3，当 n2 时，a13a232a3 3n2an1n13，得： 3n1ann3n1313，an13n. 当 n1 时，a113也适合上式，an13n. (2)bnnann 3n，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 26 页 - - - - - - - - - - Sn13232333 n 3n，则 3Sn32233334 n 3n1，得：2Sn332333nn 3n13 13n13n 3n132(13n)n 3n1. Sn34(13n)n 3n12342n1 3n14.11、解： (1)由题意得 (a1d)(a113d)(a14d)2(d0) 解得 d2， an2n1，可得 bn3n1(2)当 n1 时， c13；当 n2 时，由nnnnaabc1，得 cn23n1，故).2(32),1(31nncnn故 c1c2c3 c2003323232 2320023200312、(1)证明由已知得 an=Sn-Sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1(n2), 化简得an=2an-1+2(-1)n-1(n2), 上式可化为an+32(-1)n=2an-1+32(-1)n-1(n2),a1=1, a1+32(-1)1=31. 故数列 an+32(-1)n是以31为首项，公比为2 的等比数列 . (2)解由（ 1）可知 an+32(-1)n=321n. an=312n-1-32(-1)n=322n-2-(-1)n ,故数列 an的通项公式为an=322n-2-(-1)n . (3)证明由已知得maaa11154=mmmm)1(21631331151913123) 1(21121121232232=)20110151311(21)21111151311(21精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 26 页 - - - - - - - - - - =.871201051201041513)21(511513)21525234(21211)211(513421555mmm故)4(8711154maaam13、解：（）设这二次函数f(x) ax2+bx (a 0) ,则 f(x)=2ax+b, 由于 f(x)=6x 2,得a=3 , b=2, 所以f(x) 3x22x. 又因为点( ,)()nn SnN均在函数( )yf x的图像上，所以nS3n22n. 当 n2 时， anSnSn1（3n22n）)1(2)132nn（6n5. 当 n1 时， a1S13 1226 1 5，所以， an6n5 （nN）（）由（）得知13nnnaab5) 1(6)56(3nn)161561(21nn，故 Tnniib121)161561(.)13171()711 (nn21（1161n）. 因此，要使21（1161n）20m（nN）成立的 m,必须且仅须满足2120m，即 m 10，所以满足要求的最小正整数m 为 10. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 26 页 - - - - - - - - - -