高考数学复习专题-立体几何精品讲义含解析.pdf
目录chapter第 1 章立体几何之外接球21.1 立体几何之外接球 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 共面问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 平行问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1 平行之点共面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2 平行问题基础理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.3 正向平移证平行问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.4 平行的传递性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.5 反向沿线找点找线平移法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 垂直问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.1 垂直问题基础理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.2 垂直问题基础理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.3 系统法 1：面 面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.4 系统法 2：二线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.5 系统法 3：三勾股 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.6 系统法 4：四图一柱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.7 系统法 5：五射影 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.8 系统法 6：转化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.9 平行垂直综合. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5 立体几何与空间向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.1 空间向量与线线角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.2 空间向量与点到面的距离 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.3 定义法与角度问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5.4 空间向量与线面角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.5.5 空间向量与二面角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.5.6 空间向量与动点设点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.6 文科专项 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.6.1 直接法求体积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.6.2 平行换点求体积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.6.3 等分点求体积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.6.4 割补法求体积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.6.5 表面积和面积问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.6.6 直接法求点到面的距离 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.6.7 平行换点求点到面的距离 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.6.8 等体积法求点到面的距离 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53第 1 页共 97 页第 1 章立体几何之外接球1.1立体几何之外接球总结：核心模型球心10021球心在过两个不平行平面的外接圆圆心且分别垂直于两个平面的两条直线的交点四个模型柱体模型10021长方体模型10032正方体模型10043三条棱 a、b、c 两两相互垂直柱切锥（柱体的切割体）模型10021对棱相等模型 110032对棱相等模型 2锥体模型10021正棱锥模型10032侧棱垂直底面模型10043球心的投影在面的外接圆圆心上模型面 面 夹角 模型10021=9010032全等三角形折叠模型10043等腰三角形底边与直角三角形斜边构成二面角的四面体10054 为任意角外接球之柱体模型柱体模型：柱体模型长方体模型(a、b、c 长方体的长宽高10021R=a2+b2+c22正方体模型(a 正方体的棱10021R=a2+a2+a22a、b、c 相互垂直的三条边(a、b、c 相互垂直的三条边10021R=a2+b2+c22例1(柱体模型)证明 R=a2+b2+c22；第 3 页共 97 页对棱相等总结：对棱相等对棱相等模型 1, 为对棱长，且在长方体对角线上10021R=12s2+2+22对棱相等模型 2、 为对棱长，且在正方体对角线上10021R=12s2+2+22,10032本质为正四面体:它的高 h=63R外接球R内切球=31例2(对棱相等)证明R=12s2+2+22第 4 页共 97 页外接球之锥体模型总结：锥体模型正棱锥模型b 为侧棱、h 为高10021R=b22h侧棱垂直底面模型h 侧棱长，r 为底面多边形的外接圆半径直棱柱与直圆柱也满足此公式10021R=sh24+r2球心的投影在面的外接圆圆心上模型h 为球心到平面的距离r 为面的外接圆半径10021R=h2+r2锥体之正棱锥模型：锥体之正棱锥模型b 为侧棱、h 为高10021R=b22h例3(正棱锥模型)证明 R=b22h第 5 页共 97 页侧棱垂直底面或直棱柱与直圆柱模型总结：侧棱垂直底面模型h 侧棱长，r 为底面多边形的外接圆半径直棱柱与直圆柱也满足此公式10021R=sh24+r2例4(侧棱垂直底面模型)第 6 页共 97 页球心的投影在面的外接圆圆心上模型球心的投影在面的外接圆圆心上模型：球心的投影在面的外接圆圆心上模型h 为球心到平面的距离r 为面的外接圆半径10021R=h2+r2例5(球心的投影在面的外接圆圆心上模型)【球心的投影在面的外接圆圆心上模型图】第 7 页共 97 页外接球之平面 平面 夹角 模型总结：平面平面夹角模型=90r1为 的外接圆半径r2为 的外接圆半径l 为 与 交线10021R=sr21+r22l24全等三角形折叠全等三角形或者等腰拼在一起或者菱形折叠折叠的二面角为 h 为一个面的顶点到两面交线中点的距离r 同一个面的外接圆半径10021R=sr2+(hr)2tan22等腰与直角三角形等腰三角形底边与直角三角形斜边构成二面角为 h 等腰三角形底边的高r 等腰三角形外接圆半径10021R=sr2+(hr)2sin2剖面图一致两个等腰三角形（不全部等）公底边的二面角 等腰三角形底边与直角三角形直角边共边二面角 10021R=sr2+(hr)2tan22= 任意角l 为 与 交线 为面 与面 的夹角m 为 的外接圆圆心到 l 中点的距离n 为 的外接圆圆心到 l 中点的距离10021R2=m2+n22mncossin2+l24总结：=90r1为 的外接圆半径r2为 的外接圆半径l 为 与 交线：10021R=sr21+r22l24第 8 页共 97 页例6()【面 面 夹角 =90模型图】第 9 页共 97 页总结：全等三角形折叠全等三角形或者等腰拼在一起或者菱形折叠折叠的二面角为 h 为一个面的顶点到两面交线中点的距离r 同一个面的外接圆半径10021R=sr2+(hr)2tan22题型 2全等三角形折叠例7()【全等三角形折叠模型图】第 10 页共 97 页总结：等腰底边与直角斜边等腰三角形底边与直角三角形斜边构成二面角为 h 等腰三角形底边的高r 等腰三角形外接圆半径10021R=sr21+(h2r2)2sin2题型 3等腰三角形底边与直角三角形斜边构成二面角的四面体例8()【等腰三角形与直角三角形斜边构成二面角的四面体】第 11 页共 97 页含二面角 的外接球终结公式：含二面角 的外接球终结公式l 为 与 交线 为面 与面 的夹角m 为 的外接圆圆心到 l 中点的距离n 为 的外接圆圆心到 l 中点的距离10021R2=m2+n22mncossin2+l24例9()【含二面角 的外接球终结公式模型图】第 12 页共 97 页1.2共面问题例1(2020 全国 III 理 19#$)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别在棱 DD1，BB1上，且 2DE =ED1，BF =2FB1( I ) 证明：点 C1在平面 AEF 内；第 13 页共 97 页1.3平行问题第 14 页共 97 页1.3.1平行之点共面例1(2020 全国 III 文 19#$)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别在棱 DD1，BB1上，且 2DE =ED1，BF =2FB1证明：( I ) 当 AB =BC 时，EFAC；(II) 点 C1在平面 AEF 内第 15 页共 97 页1.3.2平行问题基础理论平行问题基础理论：1.3.3正向平移证平行问题总结：第 一 招:正向沿线找点找线平移法说明:以线 (已知直线) 平行与面 (已知平面) 为核心如何平移把已知直线沿某条直线平移到已知平面内10021让线过顶点或特殊点10032线不超过面的轮廓与面的交点为点，与相应点的连线为线如何证明10021(一长一短: 中位线定理 (相似)一样长：平行四边形证明平行四边形常用的方法:10021一组对边平行且相等10032两组对边分别平行10043两组对边分别相等第 16 页共 97 页1.3.4平行的传递性例1(2020 北京 16#$)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BB1中点( I ) 求证：BC1/ 平面 AD1E例2(2010 浙江)如图， 在平行四边形 ABCD 中， AB =2BC， ABC =120 E为线段 AB 的中点， 将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A1DE，使平面 A1DE 平面 BCD，F 为线段 A1C 的中点( I ) 求证：BF/ 平面 A1DE；变式练2.1(2017 全国 II 理 19 #$)如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面三角形 BCD，AB =BC =12AD，BAD=ABC =90，E 是 PD 的中点( I ) 证明：直线 CE/ 平面 PAB；例3(2017 全国 I#$)如图，在四棱锥 P ABCD 中，AB/CD，且 BAP =CDP =90( I ) 证明：平面 PAB 平面 PAD；第 17 页共 97 页第 18 页共 97 页1.3.5反向沿线找点找线平移法总结：第 二 招:反向沿线找点找线平移法说明:以线 (已知直线) 平行与面 (已知平面) 为核心如何平移把己知平面上的线沿某条直线平移到已知直线构建此时相交直线所形成的面证明两个平面平行即可如何证明10021(一长一短: 中位线定理 (相似)一样长：平行四边形证明平行四边形常用的方法10021一组对边平行且相等10032两组对边分别平行10043两组对边分别相等例1(2013 辽宁)如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面，C 是圆 O 上的点( I ) 设 Q 为 PA 的中点， G 为 AOC 的重心， 求证： QG/平面 PBC变式练1.1(2018 天津理 17#$)如图， AD/BC 且 AD=2BC， ADCD， EG/AD 且 EG=AD， CD/FG 且 CD=2FG，DG 平面 ABCD，DA=DC =DG=2( I ) 若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MN/ 平面 CDE；第 19 页共 97 页1.4垂直问题1.4.1垂直问题基础理论垂直问题基础理论： 立体几何证明问题中的转化思想 直线与平面垂直的定义：如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面 相互垂直，记作 l. 直线与平面垂直的判定与性质:判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. （简记为“线线垂直 线面垂直” ）符号语言：ablalbab=Ol性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行；一条直线垂直于一个平面，则这条线垂直于平面内的所有直线符号语言：abab；a( 任意）m，n，b a( 任意 m，n，b ). 直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平重上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.注：1. 一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角为直角；2. 一条直线与平面平行或在平面内，则此直线与平面所成的角是 0的角；3. 直线与平面所成角的范围是 0,2.第 20 页共 97 页1.4.2垂直问题基础理论总结： 平面与平面垂直的判定与性质:1. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.2. 二面角的平面角：在二重角的棱上任取一点，以该点为垂足，在二面角的两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射 AOB 即为二面角 l 的平面角.3. 二重角的平面角的范围是 0,. 平面与平面垂直的定义: 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 面面垂直的判定定理与性质定理：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线那么这两个平面互相垂直（简记为“线面垂直 面面垂直”)符号语言：ll性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面 (简记为“面面垂直 线面垂直”)符号语言： =laala总结： 垂直问题基础理论垂直问题辅助线常规作法直角三角形斜边上的中线等腰梯形10021过上顶点作线垂直于底10032过底作两腰的反向延长线交于一点第 21 页共 97 页1.4.3系统法 1：面 面系统法 1：面 面：系统法 1：一面已知面垂直面找交线谁垂直交线（不垂直，作垂直）谁垂直另一个面例1(2018 天津#$)如图，在四面体 ABCD 中，ABC 是等边三角形，平面ABC 平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB =2，AD=23，BAD=90( I ) 证明：ADBC.变式练1.1(2020 浙江 19)如图，三棱台 DEF ABC 中，面 ADFC 面 ABC，ACB =ACD=45，DC =2BC( I ) 证明：EFDB；变式练1.2(2018 全国 III 理 19 #$)如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于 C，D 的点( I ) 证明：平面 AMD 平面 BMC；第 22 页共 97 页1.4.4系统法 2：二线总结：系统法 2：二线两个三角形的三线合一等腰三角形等边三角形三线合一中线，角平分线，高例1(2017 全国 III)如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，AD=CD( I ) 证明：ACBD；变式练1.1(2007 福建文 17#$)如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为 2，D 为CC1的中点( I ) 求证：AB1 平面 A1BD；BCC1B1AA1D第 23 页共 97 页1.4.5系统法 3：三勾股系统法 3：三勾股：系统法 3：三勾股勾股定理之逆定理证明垂直常包含基本定理10021余弦定理10032正弦定理例1(2010 江苏#$)如图， 在三棱锥 P ABC 中， D， E， F 分别为棱 PC， AC，AB 的中点，已知 PAAC，PA=6，BC=8，DF=5( I ) 求证：平面 BDE 平面 ABC.AEC1BFPD变式练1.1(2020 全国 I 理 18(2/5)#$)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE =AD . ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，PO=66DO( I ) 证明: PA 平面 PBCEOACBDP变式练1.2(2018 全国 II 文 19 #$)如图，在三棱锥 P ABC 中，AB =BC =22，PA=PB =PC =AC =4，O 为 AC 的中点( I ) 证明：PO 平面 ABC；第 24 页共 97 页第 25 页共 97 页1.4.6系统法 4：四图一柱总结：系统法 4：四图一柱四图10021正方形棱垂直棱、对角线垂直10032菱形对角线垂直10043矩形棱垂直棱10054圆直径所对圆周角 =90一柱10021直棱柱侧棱垂直底面例1(四图一柱之正方形#$)已知四棱锥 S ABCD 的底面 ABCD 是正方形，SA 底面 ABCD，E 是 SC 上的任意一点.( I ) 求证：平面 EBD/ 平面 SAC.变式练1.1(2020 海南 20#$)如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，PD 底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC的交线为 l( I ) 证明：l 平面 PDC；第 26 页共 97 页变式练1.2(2018 全国 I 理 18 #$)如图，四边形 ABCD 为正方形，E,F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PFBF( I ) 证明：平面 PEF 平面 ABFD；例2(四图一柱之菱形)如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点，BE平面 ABCD( I ) 证明：平面 AEC 平面 BED.ADCBEG第 27 页共 97 页四图一柱之圆例3(2013 辽宁)如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面，C 是圆 O 上的点( I ) 求证：BCPAC.变式练3.1(2020 全国 II 理 20(4/5)如图, 已知三棱柱 ABC A1B1C1的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为BC, B1C1的中点, P 为 AM 上一点. 过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F.( I ) 证明: AA1/MN, 且平面 A1AMN 平面EB1C1F;ABCA1B1C1NMOFEP第 28 页共 97 页1.4.7系统法 5：五射影总结：系统法 5：五射影射影定理点到射影面的射影线垂直射影面例1(五射影)如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，AB =BC =2，ABC=120，又顶点 A1在底面 ABC 上的射影落在 AC上，M 为 AC 的中点( I ) 求证：AA1BD第 29 页共 97 页1.4.8系统法 6：转化总结：系统法 6：六转化平行的传递性10021垂直于同一平面的两条直线互相平行10032两条直线互相平行，若其中一条垂直一个平面则另一条直线也垂直于该平面例1(六转化 2015 新课标)如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，E平面 ABCD( I ) 求证：平面 AEC 平面 BED.xOyOzCBADFEOGH第 30 页共 97 页1.4.9平行垂直综合例1(2020 江苏 15#$)在三棱柱 ABC A1B1C1中，ABAC，B1C 平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点( I ) 求证：EF/ 平面 AB1C1；(II) 求证：平面 AB1C 平面 ABB1变式练1.1(2019 北京文 18#$)如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形E 为 CD 的中点( I ) 求证：BD 平面 PAC；(II) 若 ABC =60，求证：平面 PAB 平面 PAE；(III) 棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF/ 平面 PAE？说明理由变式练1.2(2019 江苏 16#$)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB =BC求证：( I ) A1B1/ 平面 DEC1；(II) BEC1E第 31 页共 97 页变式练1.3(2018 全国 III#$)如图，矩形 ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于 C，D 的点( I ) 证明：平面 AMD 平面 BMC；(II) 在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC/ 平面 PBD？说明理由变式练1.4(2018 江苏 15 #$)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，AB1B1C1( I ) 求证：AB/ 平面 A1B1C；(II) 平面 ABB1A1 平面 A1BC变式练1.5(2018 北京文 18 #$)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD 平面 ABCD，PAPD，PA=PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点( I ) 求证：PEBC；(II) 求证：平面 PAB 平面 PCD；(III) 求证：EF/ 平面 PCD变式练1.6(2017 山东文 18 #$)由四棱柱 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E 平面 ABCD( I ) 证明：A1O/ 平面 B1CD1；第 32 页共 97 页(II) 设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM 平面 B1CD1变式练1.7(2017 北京文 18#$)如图，在三棱锥 P ABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB =BC =2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点( I ) 求证：PABD；(II) 求证：平面 BDE 平面 PAC；(III) 当 PA/ 平面 BDE 时，求三棱锥 E BCD 的体积第 33 页共 97 页1.5立体几何与空间向量例1(2018 上海 17#$)已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2( I ) 设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积(II) 设 PO=4，OA，OB 是底面半径，且 AOB =90，M 为线段 AB 的中点，如图，求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小（正切值） 第 34 页共 97 页1.5.1空间向量与线线角例1(2018 江苏 25#$)如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，AB =AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点( I ) 求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；第 35 页共 97 页1.5.2空间向量与点到面的距离例1(2019 上海 17#$)如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 BB1上一点， 已知 BM =2， CD=3， AD=4，AA1=5( I ) 求直线 A1C 与平面 ABCD 的夹角；(II) 求点 A 到平面 A1MC 的距离第 36 页共 97 页1.5.3定义法与角度问题例1(2018 天津文 17#$)如图，在四面体 ABCD 中，ABC 是等边三角形，平面 ABC 平面 ABD，点 M 为棱AB 的中点，AB =2，AD=23，BAD=90( I ) 求证：ADBC；(II) 求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；(III) 求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值第 37 页共 97 页1.5.4空间向量与线面角例1(2020 北京 16#$)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BB1中点( I ) 求证：BC1/ 平面 AD1E(II) 求直线 AA1与平面 AD1E 所成角的正弦值变式练1.1(2020 全国 II 理 20(4/5)如图, 已知三棱柱 ABC A1B1C1的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为BC, B1C1的中点, P 为 AM 上一点. 过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F.( I ) 证明: AA1/MN, 且平面 A1AMN 平面EB1C1F;(II) 设 O 为 A1B1C1的中心, 若 AO/ 平面 EB1C1F, 且 AO=AB, 求直线 B1E 与平面A1AMN 所成角的正弦值.ABCA1B1C1NMOFEP变式练1.2(2020 浙江 19)如图，三棱台 DEF ABC 中，面 ADFC 面 ABC，ACB =ACD=45，DC =2BC( I ) 证明：EFDB；(II) 求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值第 38 页共 97 页变式练1.3(2020 海南 20#$)如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，PD 底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC的交线为 l( I ) 证明：l 平面 PDC；(II) 已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，QB =2，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值变式练1.4(2020 山东 20#$)如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，PD 底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC的交线为 l( I ) 证明：l 平面 PDC；(II) 已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值变式练1.5(2018 江苏 25#$)如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，AB =AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点( I ) 求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；(II) 求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值变式练1.6(2018 全国 I 理 18 #$)如图，四边形 ABCD 为正方形，E,F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PFBF( I ) 证明：平面 PEF 平面 ABFD；第 39 页共 97 页(II) 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值变式练1.7(2018 全国 III 理 19 #$)如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于 C，D 的点( I ) 证明：平面 AMD 平面 BMC；(II) 当三棱锥 M ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值变式练1.8(2018 浙江 19 #$)如图， 已知多面体 ABCA1B1C1， A1A， B1B， C1C 均垂直于平面 ABC， ABC =120， A1A=4，C1C =1，AB =BC =B1B =2( I ) 证明：AB1 平面 A1B1C1；(II) 求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值第 40 页共 97 页1.5.5空间向量与二面角例1(2020 全国 I 理 18(2/5)#$)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE =AD . ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，PO=66DO( I ) 证明: PA 平面 PBC(II) 求二面角 B PC E 的余弦值.EOACBDP例2(2007 福建文 17)如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为 2，D 为CC1的中点( I ) 求证：AB1 平面 A1BD；(II) 求二面角 AA1DB 的大小（余弦值） BCC1B1AA1D例3(2020 天津 17)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，CC1 平面 ABC，ACBC，AC =BC =2，CC1=3，点 D，E 分别在棱 AA1和棱 CC1上，且 AD=1，CE =2，M 为棱 A1B1的中点( I ) 求证：C1MB1D；(II) 求二面角 B B1E D 的正弦值；(III) 求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值第 41 页共 97 页变式练3.1(2020 全国 III 理 19#$)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别在棱 DD1，BB1上，且 2DE =ED1，BF =2FB1( I ) 证明：点 C1在平面 AEF 内；(II) 若 AB =2，AD=1，AA1=3，求二面角 AEF A1的正弦值变式练3.2(2020 江苏理 24#$)在三棱锥 ABCD 中， 已知 CB =CD=5， BD=2， O 为 BD 的中点， AO 平面 BCD，AO=2，E 为 AC 的中点( I ) 求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；(II) 若点 F 在 BC 上，满足 BF =14BC，设二面角 F DE C 的大小为 ，求 sin 的值变式练3.3(2019 全国 III 理 19 #$)图 1 是由矩形 ADEB， RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形， 其中 AB =1， BE =BF =2，FBC =60将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2( I ) 证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC 平面 BCGE；(II) 求图 2 中的二面角 B CGA 的大小第 42 页共 97 页变式练3.4(2019 全国 II 理 17#$)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1( I ) 证明：BE 平面 EB1C1；(II) 若 AE =A1E，求二面角 B EC C1的正弦值变式练3.5(2019 天津理 17 #$)如图，AE 平面 ABCD，CF/AE，AD/BC，ADAB，AB =AD=1，AE =BC =2( I ) 求证：BF/ 平面 ADE；(II) 求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；(III) 若二面角 E BDF 的余弦值为13，求线段 CF 的长变式练3.6(2019 全国 I 理 18 #$)如图， 直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形， AA1=4， AB =2， BAD=60， E， M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点( I ) 证明：MN/ 平面 C1DE；(II) 求二面角 AMA1N 的正弦值第 43 页共 97 页变式练3.7(2019 北京理 16 #$)如图， 在四棱锥 PABCD 中， PA 平面 ABCD， ADCD， AD/BC， PA=AD=CD=2，BC =3，E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且PFPC=13( I ) 求证：CD 平面 PAD；(II) 求二面角 F AE P 的余弦值；(III) 设点 G 在 PB 上，且PGPB=23，判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由变式练3.8(2018 天津理 17#$)如图， AD/BC 且 AD=2BC， ADCD， EG/AD 且 EG=AD， CD/FG 且 CD=2FG，DG 平面 ABCD，DA=DC =DG=2( I ) 若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MN/ 平面 CDE；(II) 求二面角 E BC F 的正弦值；(III) 若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP 的长变式练3.9(2018 北京理 16#$)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，CC1 平面 ABC，D，E，F，G 分别为 AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB =BC =5，AC =AA1=2( I ) 求证：AC 平面 BEF；(II) 求二面角 B CDC1的余弦值；第 44 页共 97 页(III) 证明：直线 FG 与平面 BCD 相交1.5.6空间向量与动点设点例1(2018 全国 II 文 19 #$)如图，在三棱锥 P ABC 中，AB =BC =22，PA=PB =PC =AC =4，O 为 AC 的中点( I ) 证明：PO 平面 ABC；(II) 若点 M 在棱 BC 上，且 MC =2MB，求点 C 到平面 POM 的距离变式练1.1(2017 全国 II 理 19 #$)如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面三角形 BCD，AB =BC =12AD，BAD=ABC =90，E 是 PD 的中点( I ) 证明：直线 CE/ 平面 PAB；(II) 点 M 在棱 PC 上， 且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 45， 求二面角 M AB D的余弦值第 45 页共 97 页1.6文科专项1.6.1直接法求体积例1(2020 全
