高中数学解析几何经典结论汇编 (1).pdf

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高中数学解析几何经典结论汇编 (1).pdf

领世培优解析几何经典结论总结领世培优解析几何经典结论总结第一节：极速秒杀法第一节：极速秒杀法-椭圆经典结论椭圆经典结论结论结论 1：椭圆焦点三角形周长：椭圆焦点三角形周长：12222 ,4PFFac MNFa周长周长；例题例题：（1）椭圆22131xy，点 A,B 经过椭圆左焦点，2ABF的周长。解：244 3ABFa周长。（2）过椭圆221259xy左焦点作直线与椭圆交于 AB，若2212AFBFAB，求的值。解：2AB=4a=12+ ABAB =8F周长。结论结论 2：焦点三角形离心率：焦点三角形离心率：121222FFceaPFPF；1 22 1cos2= PFF= PF Fcos2e（，）；例题例题：（1）过椭圆22221xyab左焦点作 x 轴的垂线与椭圆交于 P，若1260FPF，求离心率。解：1212233233FFcteaPFPFt。（2）过椭圆22112mxy右焦点2F作 x 轴的垂线与椭圆交于 A,B，若1ABF为正三角形，求椭圆方程。解：3090coscos112-m22=8309032 3coscos22em。（3）已知正方形 ABCD，求以 A，B 为焦点且过 C，D 的椭圆的离心率。解：121222122FFcteaPFPFtt。（4）在三角形 ABC 中，AB=BC，7cos18B ，求以 A,B 为焦点，且过 C 的椭圆的离心率。解：21221225523593283FFttctACACetaPFPFt 。（5）设222221Fxyab以的右焦点为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为 M，若1FM与圆相切，求 e. 解：121222c3 123FFceaPFPFcc。结论结论 3：焦点三角形之夹角：焦点三角形之夹角：1 22PFF12S=b tan,sin1= FPF22e，；例题例题：已知椭圆22221xyab的两焦点，P 为椭圆上点且12120FPF，求离心率取值范围。解：3sin1 ,122ee ，。结论结论 4：中点弦斜率：则：中点弦斜率：则2222220022222200 xx11axxybyakkabaybby ；例题例题：(1) )已知椭圆2222x1ayb的焦点F050（，）被直线 y=3x-2 截得弦中点横坐标为12，求椭圆方程。解：22222111a2-c503-112275252yxkb中点（，），。 (2)已知椭圆22143xy，确定 m 取值范围，使得对于直线 y=4x+m，椭圆上总有不同两点关于该直线对称。解：00000013ABx-344xkyxy 设中点（，y ）,， 22m92 132 13-m -3m1431313mm 中点（，）在椭圆内。结论结论 5：椭圆上任意不与：椭圆上任意不与 x 轴垂直弦轴垂直弦 AB 中点中点 M，O 为原点，则为原点，则2221ABOMbkkea ；例题例题：(1)过点 M（1,1）作斜率为1-2的直线与椭圆22221xyab交于 A,B 两点，且 M 为 AB 中点，求离心率。解：221121,-222OMABABOMbkKkkea 。（2）过椭圆22221xyab的右焦点直线30 xy交椭圆于 A,B 两点，且 p 为 AB 中点，OP 斜率为12，求椭圆方程。解：222PABOM211k=-1,K=kkF30a6,312263OABbxyba （，）。（3）椭圆22221xyab的右焦点 F(3,0),过 F 作直线交椭圆于 A，B 两点，若中点 M(1,-1),求椭圆方程。解：2222221191-113 2,3122189ABOMxykkeeeaba （）。结论结论 6：椭圆上两关于原点对称点为：椭圆上两关于原点对称点为 A，B，任意点为，任意点为 P，则，则2221PAPBbkkea ；例题例题：(1)已知椭圆2222x1yab的离心率 e=63,过椭圆上一点 M 作直线 MA，MB 分别交椭圆于 A,B 两点，且斜率分别为12k ,k，若 A，B 关于原点对称，求12k k的值。解：222212221-13back keaa 。 (2)已知椭圆22x143y的左右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上，且 PA 斜率取值范围：-2 -1，,直线 PB 的斜率取值范围。解：212233 3k kk2, 1 =-,48 4bka 。结论结论 7：焦点弦：设通径长为：焦点弦：设通径长为 H，则则222222222222H2abH2abAB =(xAB =(cossin1-e cos1-e sinacac焦点在轴）；焦点在y轴）；例题例题：(1)已知斜率为 1 的直线过椭圆22x14y焦点交椭圆于 A，B 两点，求AB。解：222282351-sin1-sin 454HABe； (2)已知过椭圆 221132xyF 的左焦点的直线叫椭圆于 B，D 两点，过2F右焦点的直线交椭圆于 A，C 两点，且ACBD,垂足为 P，求四边形 ABCD 的面积最小值。解：ABCD2224411969633S=min112224sin 2251-cos1- sin33ABDBCDSSBDAC. 结论结论 8：焦半径：焦半径：则则2222bbbbAF =AF =(xBFBF(cos+ cossin+ sinaca caca c；焦点在轴）；焦点在y轴）；例题例题：已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆2222x1yab左焦点1F交椭圆于 A，B 两点，其中22AFAB BF，成等差数列，求椭圆离心率。解：22222222AF + BF =2 AB422ABAF + BF + AB =4a32cos4aabeac 。结论结论 9：焦半径之比：焦半径之比：2111ek（焦点在（焦点在 x 轴）；轴）；2111)k1e（焦点在（焦点在 y 轴）轴）; 例题例题：(1)连接椭圆22221xyab右焦点 F 和短轴端点 A 交椭圆于另点 B,且2AFFB，求离心率。解：22111 2 1311112 13bekece 。 (2)已知22221xyba的离心率22e ，直线 l:y=kx+1 过上焦点 F 与椭圆交于 A，B 两点,若 A 到 y 轴距离是点 B到 y 轴距离的 2 倍，求 k。解：221112 12141)1)kk1k2 127e（。结论结论 10：焦半径之比求离心率取值范围：焦半径之比求离心率取值范围：111e椭圆：，；例题例题：已知椭圆22221xyab的两焦点，P 为椭圆上点且123PPFF，求离心率取值范围。解：111112ee ，。结论结论 11：仿射变换求斜率：仿射变换求斜率：222222x1PAPBybk kaba 椭圆：；例题例题：（1）已知 P 是椭圆22221axyb上一点，且 A，B 为椭圆左右顶点，求 PA，PB 两直线斜率之积。解：222222xa+y1,1PAPBPAPBPAPBxabxk kk kk kybayb 。（2）已知 P 是椭圆22143xy上一点，且 A，B 为椭圆左右顶点，且 PB 斜率取值范围为【-2，-1】，求 PA 斜率取值范围。解：333-2k1k484PAPBPBPAk k ，。结论结论 12：仿射变换求面积：仿射变换求面积：2222x1ySabSab 椭圆：；例题例题：（1）已知椭圆22y14x，且 A（2,0），B（0,1），直线 y=kx(k0)与 AB 相交于 D，于椭圆相交于 EF，求四边形 AEBF 面积最大值。解：22maxmaxx1+y1,222(EFS2 12=2 222xxSAByy ）。（2）已知椭圆22y143x，且四边形 EFGH 四个顶点都在椭圆上，且 EG，FH 过原点，若3k4EGFHk ，求证：四边形 EFGH 面积为定值。解：22121212121212x33332+y1,1,y44223xyyyyyyxxxxxxxy 则对角线垂直， 1S2 2=2S=232=4 32 。结论结论 13：直线与椭圆位置关系：直线与椭圆位置关系： 222222222222222c(c(c(A aB bA aB bA aB b相切）；相离）；相交）；例题例题：（1）求直线 y=2x+1 与椭圆221416xy的位置关系_。解：14 4 1 16 ，则相交。（2）求直线 x+y-3=0 与椭圆2214xy的位置关系_。解：94 1 1 1 ，则相离。第二节：极速秒杀法第二节：极速秒杀法-双曲线经典结论双曲线经典结论结论结论 1：双曲线焦点三角形周长：双曲线焦点三角形周长：222-4 ,42MFNFMNaMNFaMN周长; 例题例题：(1)双曲线22143xy，M，N 都在双曲线上，且 MN 过左焦点1F，求22MF + NF - MN。解：由题：22-48MFNFMNa。 (1)双曲线221169xy，M，N 都在双曲线上，且 MN 过左焦点1F，且2MN =5MNF，求周长。解：由题：24216 1026MNFaMN周长。结论结论 2：焦点三角形离心率：焦点三角形离心率：121222FFceaPFPF；sin2sin2e；例题例题：(1)过双曲线22221xyab左焦点作倾斜角为30的直线交双曲线右支为 M，且2FxM 轴，求离心率。解：12122332-2tFFcteaPFPFt。 (2)P 在双曲线22221xyab上，且1 212PFF =15FPF =90，求双曲线的离心率。解：1575sinsin22= 21575sinsin22e。 (3) 抛物线22ycx的准线与双曲线22221xyab左支交于 A,B 两点，且AOB=120，求离心率。解：121222312-3FFcceaPFPFcc。结论结论 3：焦点三角形面积：焦点三角形面积：1 22121 2PFFPF+PF +FFS=r(=b cot22Pc y内切圆）; 例题例题：（1）已知双曲线22x1y，点 P 在双曲线上，若1260FPF，求点 P 到 x 轴的距离。解：1 22PFF606c= 2,S=b cot22PPc yy。（2）已知双曲线22x1y，点 P 在双曲线上，若1260FPF，求12PF PF的值。解：1 22PFF12121S=b cotPF PF sinPF PF422。（3）已知双曲线22yx112，点 P 在双曲线上，若12PF3=PF2，求1 2PFFS的值。解：1 212121 2PFF121PF - PF =2PF =6 PF =4 FF =2 13,cos =90SPF PF sin122，。（4）已知双曲线2222xy1ab右焦点为 F，过原点直线 l 交双曲线于 M，N 两点，且MF NF=0，MNFS=ab,求离心率。解：12MNFMFFSS=abcot45,2bab e 。结论结论 4：双曲线渐近线：双曲线渐近线：21 k ( :ek渐近线的斜率）；例题例题：已知双曲线22221xyab右顶点 A，以 A 为圆心，b 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 M,N 两点，若 60MAN，求离心率。解：60MANMAx=30MAN为正三角形轴，222 31tan1tan303e 。结论结论 5：过焦点直线与两支分别相交：过焦点直线与两支分别相交：21+ke，+，k:直线斜率；直线斜率；例题例题：过双曲线22221xyab右焦点 F 作倾斜角60的直线与左右两支有且仅有一个交点，求离心率取值范围。解：221+k1+ 3eee ，+，+2，+。结论结论 6：双曲线上两关于原点对称点为：双曲线上两关于原点对称点为 A，B，任意点为，任意点为 P，则，则222kk=e1PAPBba ；例题例题：(1)已知双曲线2222x-1yab的两顶点为 A，B,P 为双曲线上任一点，且PAPBk=2k，求离心率。解：222kk=2=e13PAPBbea 。 (2)已知双曲线2222x-1yab两顶点为 A，B,P 为双曲线上任一点，且 ABP 为等腰三角形，顶角为120，求离心率。解：2223AB = PBPAB=30PBA=120kk3=e123PAPBbea ，。结论结论 7：中点弦：中点弦：21ABOMkke；例题例题：已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线22221xyab相交于 A，B 两点，中点 M（1，3），离心率。解：22k1 1 312ABOMkeee 。结论结论 8：中点弦斜率：则：中点弦斜率：则2222220022222200 xx-1-1axxybyakkabaybby ；例题例题：直线 l 与双曲线2222x1yab交于 A，B 两点，若 P（b,m)满足AP=PB，过右焦点 F 的直线与 l 垂直，求双曲线离心率 e。解： 22202220bb015=12xbbbmkeaya ma mbc . 结论结论 9：焦点弦：设通径长为：焦点弦：设通径长为 H，则则22222222222222(cossin1-cos1-sinHabHabABxAByacacee焦点在轴）；焦点在轴）；例题例题：过双曲线22x13y左焦点 F 作倾斜角为6的直线交双曲线于 A,B 两点，求AB。解：222H6AB =31-e cos1-4cos6 ；结论结论 10：焦半径：焦半径：则则2222bbbbAF =AF =(xBFBF(cos+ cossin+ sinaca caca c；焦点在轴）；焦点在y轴）；结论结论 11：焦半径之比：焦半径之比：2111ek（焦点在（焦点在 x 轴）；轴）；2111)k1e（焦点在（焦点在 y 轴）轴）; 例题例题：过双曲线22211xyc的右焦点 F，斜率为3直线与双曲线交于 A,B 两点，且A4 BFF，求 c 的值。解：224 166 1113=4 1511c1cec 。结论结论 12：焦半径之比求离心率取值范围：焦半径之比求离心率取值范围：+11-1e双曲线，；例题例题：已知双曲线22221xyab的两焦点，P 为椭圆上点且122PFPF，求离心率取值范围。解：+111-1ee ，3 。第三节：极速秒杀法第三节：极速秒杀法-抛物线经典结论抛物线经典结论结论结论 1：焦半径：焦半径： ppAF =(x; BF =(Bx;1 cos1 cosA：轴上方）：轴下方）例题例题：(1)直线过抛物线24yx的焦点 F 且交抛物线于 A,B 两点，A 在 x 轴上方，若AF =5，求BF。解：2325AF =5cos =BF=31-cos5415. （2）直线过抛物线24yx的焦点 F 且交抛物线于 A,B 两点，A 在 x 轴上方，直线倾斜角为60求FOAS。解：AOF213AF =4S=OF AF= 31221-2. 结论结论 2：焦点弦：焦点弦：2pp2=F +F =1 cos1 cossinpABAB；例题例题：(1)若抛物线23yx，过焦点 F 作倾斜角为30的直线与抛物线交于 A,B，求AB。解：222p3121sin( )2AB. （2）直线过抛物线22yx的焦点 F 且交抛物线于 A,B 两点，若25AB =AF12BF，求AF。解：22252 6115AB =sin,cos1sin1255615AF. （3）若抛物线24yx，过焦点 F 作两条互相垂直的直线分别于抛物线交于 A,B 和 C，D，求ABCDmin。解：222222min16sin 2sincos4pppABCD. 结论结论 3：焦半径之比：焦半径之比：2111ek（焦点在（焦点在 x 轴）；轴）；2111)k1e（焦点在（焦点在 y 轴）轴）; 例题例题：若抛物线24yx，过焦点 F 作直线与抛物线交于 A,B，若F =3 BFA，求直线 l 方程。解：AF1 cos13costan3, :3(1)BF1-cos2kl yx . 结论结论 4：焦点弦：焦点弦：1.2=2sinOABpS；2.OAFOBFSAFSBF；例题例题：若抛物线23yx，过焦点 F 且倾斜角为30的直线交抛物线于 A,B 两点，求OABS。解：22392=2sin2sin304OABpS（）. 结论结论 5：中点弦斜率：中点弦斜率：则则222200002222xxppypxkypxkxpykxpykyypp ；例题例题：斜率为 k 的直线与抛物线24yx交于 A，B 两点，O 为原点,M 为 AB 中点，且OFMS=2，求 k。解：FM1211 y24,242OSyk . 结论结论 6：焦点弦：焦点弦：1.112+=AFBFP；2. 22sin2ppABAFBF；3.2124px x ；4.212y yp ;

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