第四章 三角函数解三角形.pdf

专题四专题四 三角函数、解三角形三角函数、解三角形 考点考点 1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式 1.(2016 全国，5)若 tan 34，则 cos22sin 2( ) A.6425 B.4825 C.1 D.1625 1.A tan 34，则 cos22sin 2cos22sin 2cos2sin214tan 1tan26425. 2.(2015 重庆，9)若 tan 2tan 5，则cos310sin5( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.C cos310sin5sin2310sin5sin5sin5 sin cos5cos sin5sin cos5cos sin5tan tan51tan tan5121213. 3.（2017北京,12）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，若 sin= ，则 cos（）=_ 3. 方法一：角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称， sin=sin= ，cos=cos， cos（）=coscos+sinsin=cos2+sin2=2sin21= 1= 方法二：sin= ， 当 在第一象限时，cos= ， ， 角的终边关于 y 轴对称， 在第二象限时，sin=sin= ，cos=cos= ， cos（）=coscos+sinsin= + = 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021：sin= ， 当 在第二象限时，cos= ， ， 角的终边关于 y 轴对称， 在第一象限时，sin=sin= ，cos=cos= ， cos（）=coscos+sinsin= + = 综上所述 cos（）= ， 故答案为： 4. （2017新课标,14） 函数 f （x） =sin2x+ cosx （x0， ） 的最大值是_ 4. 1 f（x）=sin2x+ cosx =1cos2x+ cosx ， 令 cosx=t 且 t0，1， 则 f（t）=t2+ + =（t ）2+1， 当 t= 时，f（t）max=1， 即 f（x）的最大值为 1. 考点考点 2 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 1 （2018 全国，10）若() = cos sin在,是减函数，则的最大值是( ) A4 B2 C34 D 1.A 因为() = cos sin = 2cos( +4)，所以由0 + 2 +4 + 2,(k Z)得4+ 2 34+ 2,(k Z)，因此, 4,34 , 4, 34 0 0，|2，x4为 f(x)的零点，x4为 yf(x)图象的对称轴，且 f(x)在18，536上单调，则 的最大值为( ) A.11 B.9 C.7 D.5 9.B 因为 x4为 f(x)的零点，x4为 f(x)的图象的对称轴，所以44T4kT，即24k14T4k142，所以 4k1(kN*)，又因为 f(x)在18，536上单调，所以5361812T222，即 12，由此得 的最大值为 9，故选 B. 10.(2016 全国，7)若将函数 y2sin 2x 的图象向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A.xk26(kZ) B.xk26(kZ)C.xk212(kZ) D.xk212(kZ) 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 202110.B 由题意将函数 y2sin 2x 的图象向左平移12个单位长度后得到函数的解析式为 y2sin2x6，由 2x6k2得函数的对称轴为 xk26(kZ)，故选 B. 11.(2015 山东，3)要得到函数 ysin4x3的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象( ) A.向左平移12个单位 B.向右平移12个单位 C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位 11.Bysin4x3sin4x12， 要得到 ysin4x3的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象向右平移12个单位. 12.(2015 湖南，9)将函数 f(x)sin 2x 的图象向右平移 02个单位后得到函数 g(x)的图象，若对满足|f(x1)g(x2)|2 的 x1，x2，有|x1x2|min3，则 ( ) A.512 B.3 C.4 D.6 12.D易知 g(x)sin(2x2)，0，2， 由|f(x1)f(x2)|2 及正弦函数的有界性知， sin 2x11，sin（2x22）1或sin 2x11，sin（2x22）1， 由知x14k1，k24k2(k1，k2Z)， |x1x2|min2（k2k1）min3，由 0，2， 223，6， 同理由得 6.故选 D. 13.(2015 四川，4)下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是( ) A.ycos2x2 B.ysin2x2 C.ysin 2xcos 2x D.ysin xcos x 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 202113.A A 选项：ycos2x2sin 2x，T，且关于原点对称，故选 A. 14.(2015 陕西， 3)如图， 某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sin6xk，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) A.5B.6C.8D.10 14.C 由题干图易得 ymink32，则 k5.ymaxk38. 15.(2015 新课标全国，8)函数 f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为( ) A.k14，k34，kZ B.2k14，2k34，kZ C.k14，k34，kZ D.2k14，2k34，kZ 15.D 由图象知T254141，T2.由选项知 D 正确. 16.(2015 安徽，10)已知函数 f(x)Asin(x)(A， 均为正的常数)的最小正周期为 ，当 x23时，函数 f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( ) A.f(2)f(2)f(0) B.f(0)f(2)f(2) C.f(2)f(0)f(2) D.f(2)f(0)0，min6，故 f(x)Asin2x6. 于是 f(0)12A，f(2)Asin46，f(2)Asin46Asin1364 ， 又256464762，其中 f(2)Asin46 Asin46Asin564 ，f(2)Asin1364 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021Asin1364Asin476. 又 f(x)在2，2单调递增，f(2)f(2)f(0)，故选 A. 图象向右平移12个单位后，可得到 y 2cos3x4的图象，故选 C. 17 （2018 全国，15）函数() = cos(3 +6)在0，的零点个数为_ 17.3 0 x ,6 3 +6196.由题可知3 +6=2，3 +6=32，或3 +6=52,解得x =9,49,或79,故有 3 个零点. 18 （2018 江苏，7）已知函数 = sin(2 + )(2 2)的图象关于直线 =3对称，则的值是_ 18.6. 由题意可得sin(23 + ) = 1，所以23 + =2+ ， = 6+ ( )，因为2 0)，若() (4)对任意的实数 x都成立，则 的最小值为_ 19.23 因为() (4)对任意的实数x都成立，所以(4)取最大值，所以4 6= 2( )， = 8 +23( )，因为 0，所以当 = 0时，取最小值为23. 20.(2016 江苏，9)定义在区间0，3上的函数 ysin 2x 的图象与 ycos x 的图象的交点个数是 . 20.7 在区间0，3上分别作出 ysin 2x 和 ycos x 的简图如下： 由图象可得两图象有 7 个交点. 21.(2016 全国，14)函数 ysin x 3cos x 的图象可由函数 ysin x 3cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得到. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 202121.23ysin x 3cos x2sinx3，ysin x 3cos x2sinx3，因此至少向右平移23个单位长度得到. 22.(2015 浙江，11)函数 f(x)sin2xsin xcos x1 的最小正周期是_，单调递减区间是_. 22. 38k，78k (kZ) f(x)1cos 2x212sin 2x122sin2x432， T22，由22k2x4322k，kZ，解得：38kx78k，kZ，单调递减区间是38k，78k ，kZ. 23 （2018 江苏，17）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成已知圆的半径为 40米，点到的距离为 50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为 ，要求,均在线段上，,均在圆弧上设与所成的角为 （1）用分别表示矩形和 的面积，并确定sin的取值范围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 23.（1）连结 PO并延长交 MN 于 H，则 PHMN，所以 OH=10 过 O 作 OEBC于 E，则 OEMN，所以COE=， 故 OE=40cos，EC=40sin， 则矩形 ABCD的面积为 2 40cos（40sin+10）=800（4sincos+cos）， CDP 的面积为12 2 40cos（4040sin）=1600（cossincos） 过 N 作 GNMN，分别交圆弧和 OE的延长线于 G和 K，则 GK=KN=10 令GOK=0，则 sin0=14，0（0，6） 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021当 0，2）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD， 所以 sin的取值范围是14，1） 答：矩形 ABCD的面积为 800（4sincos+cos）平方米，CDP的面积为 1600（cossincos），sin 的取值范围是14，1） （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43， 设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k0）， 则年总产值为 4k 800（4sincos+cos）+3k 1600（cossincos） =8000k（sincos+cos），0，2） 设 f（）= sincos+cos，0，2）， 则() = 2 sin2 sin = (22 + sin 1) = (2 1)( + 1) 令()=0，得 =6， 当 （0，6）时，()0，所以 f（）为增函数； 当 （6，2）时，()0，|0)个单位长度，得到 yg(x)的图象.若 yg(x)图象的一个对称中心为512，0 ，求 的最小值. 28.(1)根据表中已知数据，解得 A5， 2，6.数据补全如下表： x 0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 Asin(x) 0 5 0 5 0 且函数表达式为 f(x)5sin2x6. (2)由(1)知 f(x)5sin2x6，得 g(x)5sin2x26. 因为 ysin x 的对称中心为(k，0)，kZ. 令 2x26k，解得 xk212，kZ. 由于函数 yg(x)的图象关于点512，0 成中心对称，令k212512， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021解得 k23，kZ.由 0 可知，当 k1 时， 取得最小值6. 考点考点 3 三角恒等变换三角恒等变换 1 （2018 全国，4）若sin =13，则cos2 =( ) A89 B79 C79 D89 1.B cos2 = 1 22 = 1 29=79，故选 B. 2.(2016 山东，7)函数 f(x)( 3sin xcosx)( 3cosxsin x)的最小正周期是( ) A.2 B. C.32 D.2 2.B f(x)2sin xcosx 3(cos2xsin2x)sin 2x 3cos 2x2sin2x3，T，故选B. 3.(2016 全国，9)若 cos4 35，则 sin 2( ) A.725 B.15 C.15 D.725 3.D 因为 sin 2cos22 2cos24 1，又因为 cos4 35， 所以 sin 229251725，故选 D. 4.(2016 全国，8)在ABC 中，B4，BC 边上的高等于13BC，则 cosA( ) A.3 1010 B.1010 C.1010 D.3 1010 4.C 设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D，由题意 B4，BD13BC，DC23BC， tanBAD1，tanCAD2，tan A1211 23，所以 cosA1010. 5.(2015 新课标全国，2)sin 20 cos 10 cos 160 sin 10 ( ) A.32 B.32 C.12 D.12 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 20215.Dsin 20 cos 10 cos 160 sin 10 sin 20 cos 10 cos 20 sin 10 sin 30 12. 6 （2018 全国，16）已知函数() = 2sin + sin2，则()的最小值是_ 6. 332() = 2cos + 2cos2 = 4cos2 + 2cos 2 = 4(cos + 1)(cos 12) ， 所 以 当cos 12时函数单调增，从而得到函数的减区间为2 53,2 3( )，函数的增区间为2 3,2 +3( )，所以当 = 2 3, 时，函数()取得最小值，此时sin = 32,sin2 = 32，所以()min= 2 (32) 32=332，故答案是332. 7.(2018 全国，15)已知，则_ 7. 因为， 所以，因此 8.（2017江苏,5）若 tan（ ）= 则 tan=_ 8. tan（ ）= = = ,6tan6=tan+1，解得 tan= ，故选 9.(2016 四川，11)cos28sin28 . 9.22由题可知，cos28sin28cos422(二倍角公式). 10.(2015 四川，12)sin 15 sin 75 的值是 . 10.62 sin 15 sin 75 sin 15 cos 15 2sin(15 45 ) 2sin 60 62. 11.(2015 江苏，8)已知 tan 2，tan()17，则 tan 的值为_. 11.3 tan 2，tan()tan tan 1tan tan 2tan 12tan 17，解得 tan 3. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 202112（2018 浙江，18）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（35，45） （）求 sin（+）的值； （）若角 满足 sin（+）=513，求 cos的值 12.（）由角的终边过点(35,45)得sin = 45， 所以sin( + ) = sin =45. （）由角的终边过点(35,45)得cos = 35， 由sin( + ) =513得cos( + ) = 1213. 由 = ( + ) 得cos = cos( + )cos + sin( + )sin， 所以cos = 5665或cos =1665. 13 （2018 江苏，16）已知,为锐角，tan =43，cos( + ) = 55 （1）求cos2的值；（2）求tan( )的值 13.（1）因为tan =43，tan =sincos，所以sin =43cos 因为sin2 + cos2 = 1，所以cos2 =925， 因此，cos2 = 2cos2 1 = 725 （2）因为,为锐角，所以 + (0,) 又因为cos( + ) = 55，所以sin( + ) = 1 cos2( + ) =255， 因此tan( + ) = 2 因为tan =43，所以tan2 =2tan1tan2= 247， 因此，tan( ) = tan2 ( + ) =tan2tan(+)1+tan2tan(+)= 211 14.(2015 山东，16)设 f(x)sin xcosxcos2x4. (1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 fA20，a1，求ABC 面积的最大值. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 202114.解 (1)由题意知 f(x)sin 2x21cos2x22sin 2x21sin 2x2sin 2x12. 由22k2x22k，kZ, 可得4kx4k，kZ； 由22k2x322k，kZ, 可得4kx34k，kZ. 所以 f(x)的单调递增区间是4k，4k (kZ)； 单调递减区间是4k，34k (kZ). (2)由 fA2sin A120，得 sin A12， 由题意知 A 为锐角，所以 cosA32. 由余弦定理 a2b2c22bccos A，可得 1 3bcb2c22bc， 即 bc2 3，且当 bc 时等号成立.因此12bcsinA2 34. 所以ABC 面积的最大值为2 34. 15 （2017新课标，17）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 (1)求 sinBsinC； (2)若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC 的周长 15.（1）解：由三角形的面积公式可得 SABC= acsinB= ， 3csinBsinA=2a， 由正弦定理可得 3sinCsinBsinA=2sinA， sinA0， sinBsinC= ； （2）解：6cosBcosC=1， cosBcosC= ， cosBcosCsinBsinC= = ， cos（B+C）= ， cosA= ， 0A， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021A= ， = = =2R= =2 ， sinBsinC= = = = ， bc=8， a2=b2+c22bccosA， b2+c2bc=9， （b+c）2=9+3cb=9+24=33， b+c= 周长 a+b+c=3+ 16.（2017新课标，17）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）=8sin2 （）求 cosB； （）若 a+c=6，ABC 面积为 2，求 b 16.（）sin（A+C）=8sin2 ， sinB=4（1cosB） ， sin2B+cos2B=1， 16（1cosB）2+cos2B=1， （17cosB15） （cosB1）=0， cosB= ； （）由（1）可知 sinB= ， SABC= acsinB=2， ac= ， b2=a2+c22accosB=a2+c22 =a2+c215=（a+c）22ac15=361715=4， b=2 17. （2017新课标， 17） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021（）求 c； （）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积 17.（）sinA+ cosA=0， tanA= ， 0A， A= ， 由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA， 即 28=4+c222c（ ） ， 即 c2+2c24=0， 解得 c=6（舍去）或 c=4， （）c2=b2+a22abcosC， 16=28+422 2cosC， cosC= ， sinC= ， tanC= 在 RtACD 中，tanC= ， AD= ， SACD= ACAD= 2 = ， SABC= ABACsinBAD= 42 =2 ， SABD=SABCSADC=2 = . 18.（2017山东,17）设函数 f（x）=sin（x ）+sin（x ） ，其中 03，已更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021知 f（ ）=0 （）求 ； （）将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（x）在 ， 上的最小值 18. （）函数 f（x）=sin（x ）+sin（x ） =sinxcos cosxsin sin（ x） = sinx cosx = sin（x ） ， 又 f（ ）= sin（ ）=0， =k，kZ， 解得 =6k+2， 又 03， =2； （）由（）知，f（x）= sin（2x ） ， 将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到函数 y= sin（x ）的图象； 再将得到的图象向左平移 个单位，得到 y= sin（x+ ）的图象， 函数 y=g（x）= sin（x ） ； 当 x ， 时，x ， ， sin（x ） ，1， 当 x= 时，g（x）取得最小值是 = 19.（2017 天津,17）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 ab，a=5，c=6，sinB= 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021（）求 b 和 sinA 的值； （）求 sin（2A+ ）的值 19.（）在ABC 中，ab， 故由 sinB= ，可得 cosB= 由已知及余弦定理，有 =13， b= 由正弦定理 ，得 sinA= b= ，sinA= ； （）由（）及 ac，得 cosA= ，sin2A=2sinAcosA= ， cos2A=12sin2A= 故 sin（2A+ ）= = 20.（2017浙江,17）已知函数 f（x）=sin2xcos2x2 sinx cosx（xR） （）求 f（ ）的值 （）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间 20. 函数 f（x）=sin2xcos2x2 sinx cosx= sin2xcos2x=2sin（2x+ ） （）f（ ）=2sin（2 + ）=2sin =2， （）=2，故 T=， 即 f（x）的最小正周期为 ， 由 2x+ +2k， +2k，kZ 得： x +k， +k，kZ， 故 f（x）的单调递增区间为 +k， +k，kZ 考点考点 4 解三角形解三角形 1 （2018 全国，6）在中，cos2=55,BC=1,AC=5，则 AB=( ) 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021A42 B30 C29 D25 1.A 因 为 cos = 2cos22 1 = 2 (55)2 1 = 35, 所 以 2= 2+ 2 2cos = 1 +25 2 1 5 (35) = 32 = 42，选 A. 2 （2018 全国，9） 的内角，的对边分别为，若 的面积为2+224，则 =( ) A2 B3 C4 D6 2.C 由题可知=12 =2+224,所以2+ 2 2= 2absinC.由余弦定理2+2 2= 2,得sinC = cosC. C (0,), C =4.故选 C. 3.（2017山东,9）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 为锐角三角形，且满足 sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ） A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 3. A 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB， 可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为ABC 为锐角三角形，所以 2sinB=sinA， 由正弦定理可得：2b=a故选 A 4（2018 浙江， 13） 在ABC中， 角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c 若 = 7，b=2，A=60 ，则 sin B=_，c=_ 4.217 3 由正弦定理得=,所以 =27 3=217,由余弦定理得2= 2+ 22, 7 = 4 + 2 2, = 3（负值舍去）. 5 （2018 江苏，13）在 中，角,所对的边分别为,， = 120，的平分线交于点 D，且 = 1，则4 + 的最小值为_ 5.9 由题意可知，= + ,由角平分线性质和三角形面积公式得12sin120 =12 1 sin60 +12 1 sin60，化简得 = + ,1+1= 1，因此4 + = (4 + )(1+1) = 5 +4 5 + 24= 9,当且仅当 = 2 = 3时取等号， 则4 + 的最小值为9. 6.（2017浙江,14）已知ABC，AB=AC=4，BC=2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连结更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021CD，则BDC 的面积是_，comBDC=_ 6. ； 如图，取 BC 得中点 E，AB=AC=4，BC=2，BE= BC=1，AEBC，AE= = ，SABC= BCAE= 2 = ，BD=2， SBDC= SABC= ，BC=BD=2，BDC=BCD，ABE=2BDC,在 RtABE 中，cosABE= = ，cosABE=2cos2BDC1= ，cosBDC= ， 故答案为， . 7.(2016 全国， 13)ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， 若 cos A45， cos C513，a1，则 b . 7.2113在ABC 中由 cos A45， cos C513， 可得 sin A35， sin C1213， sin Bsin(AC)sin Acos Ccos A sin C6365，由正弦定理得 basin Bsin A2113. 8.(2015 福建，12)若锐角ABC 的面积为 10 3，且 AB5，AC8，则 BC 等于_. 8.7 S12AB AC sin A，sin A32，在锐角三角形中 A3，由余弦定理得 BCAB2AC22AB AC cos A7. 9.(2015 广东，11)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a 3，sin B12，C6，则 b_. 9.1 因为 sin B12且 B(0，)，所以 B6或 B56.又 C6，所以 B6，ABC更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 202123.又 a 3，由正弦定理得asin Absin B，即3sin 23bsin6，解得 b1. 10.(2015 北京，12)在ABC 中，a4，b5，c6，则sin 2Asin C_. 10.1 由余弦定理：cos Ab2c2a22bc2536162 5 634， sin A74，cos Ca2b2c22ab1625362 4 518， sin C3 78，sin 2Asin C234743 781. 11.(2015 重庆， 13)在ABC 中， B120 ， AB 2， A 的角平分线 AD 3， 则 AC_. 11. 6 由正弦定理得ABsinADBADsin B， 即2sinADB3sin 120， 解得 sinADB22， ADB45 ,从而BAD15 DAC,所以 C180 -120 -30 30 ,AC2ABcos 30 6. 12.(2015 天津，13)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 3 15，bc2，cos A14，则 a 的值为_. 12.8 cos A14，0A，sin A154， SABC12bcsin A12bc1543 15，bc24，又 bc2， b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccos A522 241464，a8. 13 （2018 全国，17）在平面四边形中， = 90， = 45， = 2， = 5. （1）求cos； （2）若 = 22，求. 13.（1）在 中，由正弦定理得sin=sin. 由题设知，5sin45=2sin，所以sin =25. 由题设知， 90，所以cos = 1 225=235. （2）由题设及（1）知，cos = sin =25. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021在 中，由余弦定理得2= 2+ 2 2 cos = 25 + 8 2 5 22 25 = 25. 所以 = 5. 14 （2018 天津，15）在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知sin =cos( 6). （1）求角 B的大小； （2）设 a=2，c=3，求 b和sin(2 )的值. 14.（）在ABC 中，由正弦定理=，可得 = ， 又由 = ( 6)，得 = ( 6)， 即 = ( 6)，可得 = 3 又因为 (0，)，可得 B=3 （）在ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B=3， 有2= 2+ 2 2 = 7，故 b=7 由 = ( 6)，可得 =37因为 a0)， 则 aksin A，bksin B，cksin C. 代入cos Aacos Bbsin Cc中，有cos Aksin Acos Bksin Bsin Cksin C，变形可得 sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB). 在ABC 中，由 ABC，有 sin(AB)sin(C)sin C.所以 sin Asin Bsin C. (2)由已知，b2c2a265bc，根据余弦定理，有 cos Ab2c2a22bc35. 所以 sin A 1cos2A45. 由(1)，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以45sin B45cos B35sin B. 故 tan Bsin Bcos B4. 20.(2016 浙江，16)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bc2acos B. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021(1)证明：A2B； (2)若ABC 的面积 Sa24，求角 A 的大小. 20.(1)证明由正弦定理得 sin Bsin C2sin Acos B， 故 2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B， 于是 sin Bsin(AB).又 A，B(0，)，故 0AB，所以 B(AB)或 BAB， 因此 A(舍去)或 A2B，所以 A2B. (2)由 Sa24得12absin Ca24，故有 sin Bsin C12sin 2Bsin Bcos B， 因 sin B0，得 sin Ccos B.又 B，C(0，)，所以 C2 B. 当 BC2时，A2；当 CB2时，A4. 综上，A2或 A4. 21.(2016 全国，17)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c. (1)求 C； (2)若 c 7，ABC 的面积为3 32，求ABC 的周长. 21. (1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C， 2cos Csin(AB)sin C，故 2sin Ccos Csin C.可得 cos C12，所以 C3. (2)由已知,12absin C3 32,又 C3,所以 ab6,由已知及余弦定理得,a2b22abcos C7， 故a2b213，从而(ab)225.所以ABC 的周长为 5 7. 22.(2015 安徽，16)在ABC 中，A34，AB6，AC3 2，点 D 在 BC 边上，ADBD，求 AD 的长. 22.设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，由余弦定理，得 a2b2c22bccosBAC(3 2)2622 3 2 6 cos341836(36)90， 所以 a3 10. 又由正弦定理，得 sin BbsinBACa33 101010， 由题设知 0B4，所以 cos B 1sin2B11103 1010. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021在ABD 中，由正弦定理，得 ADAB sin Bsin（2B）6sin B2sin Bcos B3cos B 10. 23.(2015 江苏，15)在ABC 中，已知 AB2，AC3，A60 . (1)求 BC 的长； (2)求 sin 2C 的值. 23.(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22AB AC cos A492 2 3127，所以 BC 7. (2)由正弦定理知，ABsin CBCsin A， 所以 sin CABBC sin A2sin 607217.因为 ABBC，所以 C 为锐角， 则 cos C 1sin2C1372 77. 因此 sin 2C2sin C cos C22172 774 37. 24.(2015 湖南 17)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，abtan A，且 B 为钝角. (1)证明：BA2； (2)求 sin Asin C 的取值范围. 24.(1)证明 由 abtan A 及正弦定理，得sin Acos Aabsin Asin B， 所以 sin Bcos A，即 sin Bsin2A . 又 B 为钝角，因此2A2， ，故 B2A，即 BA2. (2)由(1)知，C(AB)2A222A0，所以 A0，4. 于是 sin Asin Csin Asin22A sin Acos 2A2sin 2Asin A1 2sin A14298. 因为 0A4，所以 0sin A22， 因此222sin A1429898. 由此可知 sin Asin C 的取值范围是22，98. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 25.(2015 新课标全国， 17)ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分BAC， ABD 面积是ADC面积的 2 倍. (1)求sinBsinC； (2)若 AD1，DC22，求 BD 和 AC 的长. 25. (1)SABD12AB ADsinBAD，SADC12AC ADsinCAD. 因为 SABD2SADC，BADCAD，所以 AB2AC. 由正弦定理可得sinBsinCACAB12. (2)因为 SABDSADCBDDC，所以 BD 2.在ABD 和ADC 中，由余弦定理知 AB2AD2BD22AD BDcosADB， AC2AD2DC22AD DCcosADC. 故 AB22AC23AD2BD22DC26， 由(1)知 AB2AC，所以 AC1. 26.(2015 浙江，16)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c，已知 A4，b2a212c2. (1)求 tan C 的值； (2)若ABC 的面积为 3，求b的值. 26.(1)由 b2a212c2及正弦定理得 sin2B1212sin2C.所以cos 2Bsin2C. 又由 A4，即 BC34，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得 tan C2. (2)由 tan C2，C(0，)得 sin C2 55，cos C55， 又因为 sin Bsin(AC)sin4C ，所以 sin B3 1010，由正弦定理得 c2 23b， 又因为 A4，12bcs