多项式的因式分解教学课件.ppt
2022-5-8高等代数 在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再分下去？这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。对于 F x中任一个多项式 ,f x cFcf x及总是 f x的因式。 这样的因式称为平凡因式。我们感兴趣的是，除了平凡因式外， f x还有没有其他的因式？2022-5-8高等代数定义设 f x是 F x中次数大于零的多项式，若 除F上不可约。 f x平凡因式外，在 F x中还有等价定义： f x可分解成中两个次数都小于 n 的多项式 F x ,g xh x的积，即则称 ,f xg x h x f x在数域F上可约。0n n F x中一个次多项式如果如果在 F x中， f x只有平凡因式，则称 f x在数域则称 f x在数域F上可约。其他因式，一、不可约多项式1、定义2022-5-8高等代数由定义可得： 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上多项式是否可约是重点讨论对象）； 多项式的可约性与数域有关（例22x 在C上可约，在R中不可约）。 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。 性质性质1 p x不可约，则 cp x也不可约，0,.ccF若性质2若 p x是不可约多项式， ,f xF x2022-5-8高等代数则 p xfx ,1.p xf x证：设 ,p xf xd x由 1d xfxd x或 .d xcp x若 1,d x 则 ,1.p xf x若 ,d xcp x则 p xf x性质3：若 p x不可约且 p xfx g x则 p xfx或 .p x g x证： 若 ,p xf x则结论成立；若 p xfx，又 p x不可约。2022-5-8高等代数由性质2， ,1.p xf x1,pufvpgufgvg .p x g x推论： 若 p x不可约且 1.sp xfxfx则 p x必整除某个 ,1.ifxis 二、因式分解问题： ,0,f xF xf f x是否可分解为不可约多项式的乘积？定理： F x中任一个0n n 次多项式 f x都可以分解成 F x中不可约多项式的乘积。2022-5-8高等代数证（归纳法）：n=1时，命题显然成立。假设命题对一切小于n的多项式成立，则当 f xn时，1、若 f x不可约成立；2、若 f x可约， fx g x h x ,.gnhn由假设知 ,g xh x均可分解为不可约多项式的乘积。问题： 多项式 f x分解成不可约多项式的乘积是否唯一？2022-5-8高等代数若 12,rf xpx pxpx取 1 21.rc cc 则 1122,rrf xc px c pxc px可见 f x分解式不唯一。定理： F x中任一个次数大于零的多项式 f x分解成不可约多项式的乘积： 12,rf xpx pxpx成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两个分解式： f x若不计零次多项式的差异和因式的顺序，分解2022-5-8高等代数 1212.rsf xpx pxpxqx qxqx则有 r=s； 适当调整 jqx的位置后，有 1, 2,iriiiqxc px） 证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）：当r=1时，结论显然成立。假设当 f x分解成r-1个不可约因式时结论成立，则当 f x分解成r个因式时，有 1212.rsf xpx pxpxqx qxqx2022-5-8高等代数 112( )( )( )spx q x q xq x由于 ，故存在某个iq使 1( )( )ip x q x( )iq x为方便起见不防设就是 。1( )q x111qc p由归纳假设知，这时有r-1=s-1。 故r=s，且三、标准（典型）分解式在 f x的分解中，可以把每个不可约因式的1211222,qc c pc p,3,4,iiiqc pir 212( )( )rsp xp xc qxqx,1,2,iiiqcpir故2022-5-8高等代数首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，并把相同的因式合并，于是， f x的分解式就变成： 1212.lkkknlf xa px pxpx首项系数 1,lpxpx为 F x的首一不可约多项式， 每个多项式的标准分解式是唯一的。 利用多项式的标准分解式可以判断一个多项式是否整除另一个多项式。式。1,lkk为自然数，这种分解式称为 f x的标准分解2022-5-8高等代数 利用多项式的标准分解式可以直接写出 ,.f xg x例如： 535321 ,fxxxx 347311 ,g xxxx则 3,31f xg xxx虽然根据多项式的标准分解式写出 ,f xg x是简单的，但由于任意多项式的典型分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法还是采用辗转相除法。2022-5-8高等代数问：如何求 f x的标准分解式？例1.5.1：求 4232,f xxx ,Q xR x在 中的标准分解式。解： 利用带余除法，知1,1xx都是 f x的因式，即有 。 21xfx 2212fxxx2112xxx如何知道xa是不是 f x的一个因式？xa是 f x的一个因式的充要条件是 0.f a Q x在上 R x在上 2212(1)(1)(2)(2)f xxxxxxx2022-5-8高等代数例：求 44f xx在 ,Q xR x C x上的标准分解式。解： 在Q上： 2222 ;f xxx在R上： 2222 ;fxxxx在C上： 2222 .f xxxxixi例：在R上分解 4261f xxx22( )2 212 21f xxxxx21212121xxxx解：
