一元多项式教学课件.ppt
一、一元多项式的定义一、一元多项式的定义二、多项式环二、多项式环1定义定义个非负整数，形式表达式个非负整数，形式表达式设设 是一个符号（或称文字），是一个符号（或称文字）， 是一是一 xn1110nnnna xaxa xa 称为数域称为数域P上的上的一元多项式一元多项式其中其中01,na aaP等表示等表示常用常用( ), ( ), ( )f x g x h x一、一元多项式的定义一、一元多项式的定义系数，系数，n 称为多项式称为多项式 的的次数次数，记作，记作( )f x( ( ).f xn = 若若，即，即，则称之，则称之010naaa ( )0f x 为为零多项式零多项式零多项式不定义次数零多项式不定义次数区别区别：零次多项式零次多项式( ),0 ,f xa a 多项式多项式中中1110( )nnnnf xa xaxa xa 称为称为i次项次项，称为称为i次项次项系数系数iia x ia注：注： 若若 则称则称 为为 的的首项首项， 为为首项首项( )f xnna x0,na na零多项式零多项式( )0f x ( ( ) 0.f x =2多项式的相等多项式的相等若多项式若多项式 与与 对应的同次项系数全相等，则对应的同次项系数全相等，则( )f x( )g x称称 与与 相等相等，记作，记作( )f x( )g x( )( ).f xg x 即，即， 1110( ),mmmng xb xbxb xb ( )( ),0,1,2, .iif xg xmn abin 1110( ),nnnnf xa xaxa xa 3多项式的运算：加法（减法）、乘法多项式的运算：加法（减法）、乘法11100( ),iinnnnnif xa xaxa xaa x 11100( ),jjmmmmmjg xb xbxb xbb x 加法：加法： 若若 在在 中令中令,nm ( )g x110nnmbbb 则则 0( )( )().iiniif xg xab x 0( )( )()iiniif xg xab x 减法：减法：1 010 0()oa ba b xa b0()n msijsij sa bx ( ) ( )f x g x中中s 次项的系数为次项的系数为 1 1110.sosssijij sa baba ba ba b 注注: : 乘法：乘法：( ) ( )f x g x 111()n mn mn mn mnma b xa babx 4多项式运算性质多项式运算性质1) 为数域为数域 P上任意两个多项式，则上任意两个多项式，则 ( ) ( )f x g x( )( ),( ) ( )f xg xf x g x 仍为数域仍为数域 P上的多项式上的多项式 2) ( ), ( ) f xg xP x则则 ( ( )( )max( ( ( ),( )f xg xf xg x ，若，若 ( )( )0f xg x3) ( ), ( ) f xg xP x, 若若( )0, ( )0,f xg x 则则 ( ) ( )0,f x g x ( ) ( )( )( ( );f x g xf xg x ( ) ( )f x g x的首项系数的首项系数( )f x 的首项系数的首项系数 ( )g x的首项系数的首项系数. 且且 4) 运算律运算律( )( )( )( )f xg xg xf x ( )( )( )( )( ( )( )f xg xh xf xg xh x ( ) ( )( ) ( )f x g xg x f x ( ( ) ( ) ( )( )( ( ) ( )f x g x h xf xg x h x ( )( ( )( )( ) ( )( ) ( )f xg xh xf x g xf x h x ( ) ( )( ) ( ),( )0( )( )f x g xf x h xf xg xh x 所有数域所有数域 P上的一元多项式的全体称为数域上的一元多项式的全体称为数域 P上的上的一元多项式环一元多项式环，记作，记作 .P xP称为称为 的系数域的系数域 P x二、多项式环二、多项式环定义定义 注：注：数域数域 P上上的次数小于的次数小于n 的一元多项式再添上的一元多项式再添上零多项式的全体也作成一个环，记作零多项式的全体也作成一个环，记作Pxn .说明：说明： 数域数域 P上的一元多项式环上的一元多项式环Px是一个对加法、是一个对加法、减法、乘法封闭，满足加法、乘法交换律、结合律、减法、乘法封闭，满足加法、乘法交换律、结合律、分配律和乘法消去律的封闭系统。分配律和乘法消去律的封闭系统。 要注意要注意（1 1）Px及及Pxn 对系数和次数的要求对系数和次数的要求（2）运算的封闭性和运算后的次数）运算的封闭性和运算后的次数（3）零多项式与零次多项式的区别）零多项式与零次多项式的区别（4）除法未必封闭）除法未必封闭设设 ( ), ( ), ( ) f x g x h xR x (1) 证明证明: 若若 222( )( )( ),fxxgxxhx 则则 ( )( )( )0f xg xh x =(2) 在复数域上在复数域上(1)是否成立？是否成立？练习：练习：(1) 证：若证：若 ( )0,f x 则则 222( )( )( )0,x gxhxfx 于是于是 2222( )( )( ( )( )xgxxhxx gxhx 为奇数为奇数. 故故 ( )0,f x 从而从而 22( )( )0.gxhx从而从而 22( )( )0.gxhx2( )fx 但但 为偶数为偶数. 这与已知矛盾这与已知矛盾.222( )( )( ),x gxhxfx (2) 在在 C上不成立如取上不成立如取 ( )0,( ),( )f xg xixh xx 从而必有从而必有( )( )0.g xh x ( )( )( )0.f xg xh x 又又 均为实系数多项式均为实系数多项式 ，( ), ( )f xg x
