第3章控制系统的时域分析法[3.1-3.3]课件.ppt

(Principles of Automatic Control）第第3 3 章控制系统的时域分析法章控制系统的时域分析法(time-domain analysis) 本课程的两大任务本课程的两大任务: : 分析分析: :系统系统性能性能 综合综合( (设计设计, ,校正校正): ):性能性能系统系统 常用的常用的分析方法：分析方法：时域分析法、频域分析法、根轨迹法时域分析法、频域分析法、根轨迹法时域分析法：时域分析法：时域分析的目的：时域分析的目的：根据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的稳定根据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的稳定性、快速性、稳态精度性、快速性、稳态精度 。是一种在时间域内对系统进行分析的方法是一种在时间域内对系统进行分析的方法,具有直具有直观、准确、能够提供系统响应的全部信息的特点。观、准确、能够提供系统响应的全部信息的特点。本章重点内容本章重点内容 控制系统时域性能指标控制系统时域性能指标 一阶系统和典型二阶系统的阶跃响应一阶系统和典型二阶系统的阶跃响应 稳定性的概念、系统稳定的充要条件及稳稳定性的概念、系统稳定的充要条件及稳定判据定判据 稳态误差的定义和计算方法稳态误差的定义和计算方法3.1 3.1 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标 为了方便分析和设计，需要假定一些典型的输入函为了方便分析和设计，需要假定一些典型的输入函数作为系统的试验信号，据此对系统的性能做出评述。数作为系统的试验信号，据此对系统的性能做出评述。 选取这些试验信号时应注意以下三个方面。选取这些试验信号时应注意以下三个方面。(1) (1) 选取的输入信号的典型性应反映系统工作的大部分选取的输入信号的典型性应反映系统工作的大部分实际情况。实际情况。(2) (2) 选取外加输入信号的形式应尽可能简单，以便于分选取外加输入信号的形式应尽可能简单，以便于分析处理。析处理。(3) (3) 应选取那些能使系统工作在最不利情况下的输入信应选取那些能使系统工作在最不利情况下的输入信号作为典型的试验信号。号作为典型的试验信号。000)(0tRttr，0R10RstrL1)(000)(tAtttxr，21( )rXss 200( )0rtx tAtt，31)(ssXr 0(0)( )0 0(0)rAtx ttt ，01( )lim1rXsL1)( dtt , tAtrsin 用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频率的正弦用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判断系统的性能。输入函数的稳态响应，由此可以间接判断系统的性能。各种函数间关系：各种函数间关系： tttttt121112求导积分求导积分求导积分 本章主要以本章主要以作为系统的输入量来分作为系统的输入量来分析系统的暂态响应。析系统的暂态响应。在工程上，许多高阶系统常常具有近似一、二阶在工程上，许多高阶系统常常具有近似一、二阶系统的时间响应。因此，深入研究一、二阶系统系统的时间响应。因此，深入研究一、二阶系统的性能指标，有着广泛的实际意义。的性能指标，有着广泛的实际意义。 任何控制系统的时间响应都由任何控制系统的时间响应都由动态响应动态响应和和稳态响稳态响应应两部分组成。两部分组成。 一个可以实际运一个可以实际运行的系统，必须行的系统，必须是稳定的。是稳定的。 控制系统在典型输入信号作用下的性能指控制系统在典型输入信号作用下的性能指标，由标，由动态性能指标动态性能指标和和稳态性能指标稳态性能指标两部两部分组成。分组成。 由于稳定是控制系统能够正常运行的首要由于稳定是控制系统能够正常运行的首要条件，因此只有当动态过程收敛时，研究条件，因此只有当动态过程收敛时，研究系统的动态和稳态性能才有意义。系统的动态和稳态性能才有意义。 1. 1. 动态性能指标动态性能指标h(t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量% =AB100%动态性能指标定义动态性能指标定义h(t)t调节时间调节时间tsh(t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量% =AB100%调节时间调节时间ts1 ptc t峰值时间 ：达到第一个峰值的时间动态性能指标动态性能指标 0.10.9rtc tccc上升时间 ：第一次到达的时间,或从到的时间.2%5%st 调节时间 ：响应达到允许误差并维持在此范围内所需的时间或max()%100%ccc最大超调量：动态性能指标动态性能指标振荡次数N:在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。/pph(t)t上升时间上升时间tr调节时间调节时间 ts22.2.稳态性能指标稳态性能指标当响应时间大于调整时间时，系统就进入稳态过程。当响应时间大于调整时间时，系统就进入稳态过程。稳态误差稳态误差 (steady state error)是稳态过程的性能指标，是稳态过程的性能指标，其定义为：其定义为：当时间当时间 时，系统输出响应的期望值与实际值之差，时，系统输出响应的期望值与实际值之差，即即稳态误差是控制系统稳态误差是控制系统精度和抗干扰能力精度和抗干扰能力的一种度量，反映控的一种度量，反映控制系统复现或跟踪输入信号的能力。制系统复现或跟踪输入信号的能力。tsse)()(limtctretss(3-13) 性能指标：性能指标：performance index上升时间上升时间 rise time峰值时间峰值时间 peak time超调量超调量 percentage overshoot调整时间调整时间 setting time3.2 3.2 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应first-order system response in time-domain 3.2.1 一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型3.2.2 单位阶跃响应单位阶跃响应3.2.3 单位斜坡响应单位斜坡响应3.2.4 单位脉冲响应单位脉冲响应3.2.5 单位加速度响应单位加速度响应3.2.1 一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型d ( )( )( )dc tRCc tr ttd ( )( )( )dc tTc tr ttTssRsCsG11)()()( (a) 一阶系统的框图 (b) 等效框图 ( )11( )1( )111KC sKssKR ssKTsssK惯性环节3.2.2 3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应1( )R ss11( )( )( )1C ssR sTss 111111( )11c tLLTssssT1( )1, (0)tTc tet 稳态分量瞬态分量ts=3T（对应（对应5%误差带）误差带）, , ts=4T（对应（对应2%误差带）误差带）. .ts=4T时，达到时，达到98%，T反映了系统的响应速度。反映了系统的响应速度。特点：特点： 可用时间常数可用时间常数T去度量系统输出量的数值。如当去度量系统输出量的数值。如当t=T时，时， h(T)=0.6320.632；而当；而当t=2T，3T和和4T时，时， h(.) 分别等于终值的分别等于终值的86.5，95和和98.2。根据这一特点，可用实验方法测定一阶系统的时间常。根据这一特点，可用实验方法测定一阶系统的时间常数，或判定系统是否属于一阶系统。数，或判定系统是否属于一阶系统。斜率逐渐变小斜率逐渐变小，最后趋于零，最后趋于零位置误差随时间位置误差随时间的增加而减小的增加而减小一阶系统的性能指标一阶系统的性能指标 1. 调整时间调整时间ts 经过时间经过时间3T4T，响应曲线已达到稳态值的，响应曲线已达到稳态值的95%98%，可以认为其调整过程已完成，故一，可以认为其调整过程已完成，故一般取般取ts=(34)T。 2. 最大超调量最大超调量Mp 一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，故系统一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，故系统无振荡、无超调，无振荡、无超调，Mp=0。 3. 稳态误差稳态误差ess 系统的实际输出系统的实际输出 在时间在时间t 趋于无穷大时，接近趋于无穷大时，接近输入值，即输入值，即)(tc0)()(limtrtcetss3.2.3 单位斜坡响应单位斜坡响应TsTsTsTsssC11)1 (1)(2221)(ssRttr)(tTTeTttc1)()()1 ()()()(1tTeTtctrteTteetss)(lim（t-T）为稳态分量，为稳态分量，Te-t/T是瞬态分量。是瞬态分量。Te-t/T是一个衰减非周期函数。是一个衰减非周期函数。位置误差随时间位置误差随时间的增加而的增加而增大增大3.2.4 单位脉冲响应单位脉冲响应)()(ttr令输入令输入 ,则系统的输出响应则系统的输出响应c(t)c(t)就是该系统的脉冲响就是该系统的脉冲响应。因为应。因为 ，所以系统的输出响应的拉氏变换为，所以系统的输出响应的拉氏变换为对应的脉冲响应为对应的脉冲响应为1)(t1( )( ) ( )1TC ss R ssT tTeTtc11)(如果令如果令t分别等于分别等于T,2T,3T和和4T，可以绘出一阶系统的单位，可以绘出一阶系统的单位脉冲响应曲线，脉冲响应曲线，可以看出一阶系统的脉冲响应为一单调下降的指数曲线。可以看出一阶系统的脉冲响应为一单调下降的指数曲线。若定义曲线衰减到其初始的若定义曲线衰减到其初始的5所需的时间为脉冲响应调所需的时间为脉冲响应调节时间，则仍有节时间，则仍有ts=3T。故系统的惯性越小，响应过程的。故系统的惯性越小，响应过程的快速性越好。快速性越好。 22112t Tc ttTtTe0t 21t Te tr tc tTtTe3.2.5 单位加速度响应单位加速度响应小结：跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大，因此小结：跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大，因此一阶系统不能实现加速度输入函数的跟踪。一阶系统不能实现加速度输入函数的跟踪。跟踪误差：跟踪误差：2)(2ttr31)(ssR3111)(sTsTsC)(limteetss无零点的一阶系统无零点的一阶系统(s)=(s)=Ts+1k, T时间常数时间常数(画图时取画图时取k=1,T=0.5)单单位位脉脉冲冲响响应应k(t)=T1e-Ttk(0)=T1K(0)=T12单位阶跃响应单位阶跃响应h(t)=1-e-t/Th(0)=1/Th(T)=0.632h()h(3T)=0.95h()h(2T)=0.865h()h(4T)=0.982h()单位斜坡响应单位斜坡响应T?c(t)=t-T+Te-t/Tr(t)= (t) r(t)= 1(t) r(t)= t 问问1 、3个图各如何求个图各如何求T？2 、调节时间、调节时间ts=？3 、r(t)=vt时，时，ess=？4、求导关系、求导关系k(0)=T1K(0)=T12一个输入信号导数的时域响应等于该输入一个输入信号导数的时域响应等于该输入信号时域响应的导数；信号时域响应的导数；一个输入信号积分的时域响应等该输入信一个输入信号积分的时域响应等该输入信号时域响应积分。号时域响应积分。基于上述的性质，对线性定常系统只需由基于上述的性质，对线性定常系统只需由一种典型信号的响应，就可推知于其它一种典型信号的响应，就可推知于其它. .sseekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(ekkdjjcllbiiTTabK12112100113.33.3二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析second-order system analysis in time-domain 1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应3 欠阻尼二阶系统的性能分析欠阻尼二阶系统的性能分析4 过阻尼二阶系统的性能分析过阻尼二阶系统的性能分析5 二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善常用词汇常用词汇阻尼比阻尼比 damping ratio无阻尼自然频率无阻尼自然频率 undamped natural frequency阻尼自然频率阻尼自然频率 damped natural frequency过阻尼过阻尼 overdamp; overdamping临界阻尼临界阻尼 critical damping欠阻尼欠阻尼 underdamping3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 RLC振荡电路振荡电路 22d ( )d ( )( )( )ddc tc tLCRCc tr t tt2( )1( )1C sR sLCsRCs输入输出输入输出的速度比的速度比i桥式电位器桥式电位器输入手柄位置与负载的位置输入手柄位置与负载的位置 位置控制系统位置控制系统 微分方程：微分方程： 闭环传递函数：闭环传递函数： 20002MidtdtTKtKtdtdt 二阶系统标准型二阶系统标准型：结构图：结构图：2222)()(nnnsssRsC(3-27) 1/nLCLCR2自然频率自然频率(或无阻尼振荡频率或无阻尼振荡频率)，单位为，单位为rad/s 二阶系统的阻尼比二阶系统的阻尼比(或相对阻尼系数或相对阻尼系数)，量纲为，量纲为1 二阶系统特征方程为：二阶系统特征方程为：解得两根（闭环极点）为：解得两根（闭环极点）为：2220nnss21,21nns 显然二阶系统的时间响应取决于显然二阶系统的时间响应取决于 ,n这两个参数。这两个参数。3.3.2 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应)2()(222nnncssssX 122222( )( )1cos 1sin 1111sin, 011nncctnntdx tLXsettett 式中 arctan()21,21nnpj21,21nnp12220122212120011222222( )(2)()()( ) 11( )()21(1)1( )()21(1)nncnncscspcspAAAXss sss spspsspspAXs sAXs spAXs sp输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换： 其单位阶跃响应为：其单位阶跃响应为：22(1)(1)12221( )( ) 12111nnttcceex tL X s 由于这两种情况的阻尼比为负，指数因子具有正幂由于这两种情况的阻尼比为负，指数因子具有正幂指数，因此系统的动态过程为发散正弦振荡或单调指数，因此系统的动态过程为发散正弦振荡或单调发散的形式，从而表明发散的形式，从而表明 01, overdamp/overdamping ）系统的特征根为复平面负实轴上的两个不等实极点：系统的特征根为复平面负实轴上的两个不等实极点： 122, 1nns 22110212222)()2()(psApsAsApspssssssXnnnnc120011222222( ) 11( )()21(1)1( )()21(1)cscspcspAXs sAXs spAXs sp结论：后一项的衰减指数远比前一项大得多结论：后一项的衰减指数远比前一项大得多。这时，这时，二阶系统的暂态响应就类似于一阶系统的响应。二阶系统的暂态响应就类似于一阶系统的响应。 (3-34) 2211(1)(1)2222/211211( ) 1ee21(1)21(1)ee1 0/1/1nnttt Tt Tc ttT TT T 121(1)nT 221(1)nT 2 - 1S1,2=-nnS1,2=-n-n=S1,2 = jn01101j0j0j0j0二二阶系统的单位阶系统的单位阶跃响应阶跃响应2(s)=s2+2ns+n2n2-j1-2 nS1,2=nj0j0j0j0T11T2111010h(t)= 1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)= 1-(1+nt) e- tnh(t)= 1-cosntsin(dt+)e- t h(t)=1-211n过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼零阻尼零阻尼0 0的四种情况的四种情况二阶系统单位阶跃响应的特点二阶系统单位阶跃响应的特点 (1) 阻尼比越大，超调量越小，响应的平稳性越好。阻尼比越大，超调量越小，响应的平稳性越好。反之阻尼比越小，振荡越强，平稳性越差。当反之阻尼比越小，振荡越强，平稳性越差。当 时，系统具有频率为时，系统具有频率为 的等幅振荡。的等幅振荡。 (2) 欠阻尼状态下，系统响应迟缓，过渡过程时间欠阻尼状态下，系统响应迟缓，过渡过程时间长，系统快速性差；长，系统快速性差； 越小，响应起始速度较越小，响应起始速度较快，但因振荡强烈，衰减缓慢，所以调整时间快，但因振荡强烈，衰减缓慢，所以调整时间ts长，快速性差。长，快速性差。 (3) 当当 时，系统超调量时，系统超调量 ，调整时间，调整时间ts最短，即平稳性和快速性均最佳，故最短，即平稳性和快速性均最佳，故 称称为最佳阻尼比。为最佳阻尼比。0n707. 0%5pM707. 0 (4) 当阻尼比为常数时，当阻尼比为常数时， 越大，调节时越大，调节时间间ts就越短，快速性越好。就越短，快速性越好。 (5) 系统超调量系统超调量 和振荡次数和振荡次数N仅仅由阻仅仅由阻尼比决定，它们反映了系统的平稳性。尼比决定，它们反映了系统的平稳性。 (6) 工程实际中，二阶系统多数设计成工程实际中，二阶系统多数设计成 的欠阻尼情况，且常取的欠阻尼情况，且常取 在在0.40.8之间。之间。npM103.3.3 3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析2211( )1esinarctan1ntdc tt ，(3-31) t0 21arctan 1CrXt21sin01n rtd ret0n rterdt令令求得求得由于由于故：故：d rt1.上升时间上升时间Rise time trd ptsincos0n pn pttndpddpetet2tan1pdt21tan()dpt2211( )1sinarctan01ntcdX tett ，对上式求导对上式求导, ,令其为零令其为零根据峰值时间定义根据峰值时间定义 ,2 ,3d pt 0 ，由于：由于：解得：解得：2.Peak time tp 21211sin1CpXte 2sin1 211CpXte 21%100%e0.40.8最佳取值:将峰值时间带入3.Overshoot %211nte4.Setting time ts 是按指数衰减的正弦振荡的包络线，因而当它衰是按指数衰减的正弦振荡的包络线，因而当它衰减到的值的时间可近似地视为是系统的调整时间减到的值的时间可近似地视为是系统的调整时间ts。据此得。据此得2e1nt2e1nt 由上式求得由上式求得211ln1ln1nst(3-42) 如取如取 ,则则当当 较小时，式较小时，式(3-43)可近似为可近似为 05. 0211ln05. 01ln1nst(3-43) Ttns33同理，当同理，当 时，近似地调整时间为时，近似地调整时间为 (3-45)其中，其中， 为系统的时间常数。为系统的时间常数。02. 0Ttns43nT15. 振荡次数振荡次数N振荡次数振荡次数N表示在调节时间内，系统响应的表示在调节时间内，系统响应的振动次数，用数学式子表示为振动次数，用数学式子表示为当考虑当考虑5%的误差带时，则的误差带时，则 (3-46)当考虑当考虑2%的误差带时，则的误差带时，则 (3-47)通常通常N取整数。取整数。2 /2sd sdttN23 12N23 1N6. 稳态误差稳态误差 欠阻尼二阶系统在阶跃信号作用下的稳态误欠阻尼二阶系统在阶跃信号作用下的稳态误差恒为零。差恒为零。例例3-1 控制系统如图控制系统如图3-15所示，要使所示，要使 =0.6，试确定参数试确定参数K值，并计算动态性能指标：调值，并计算动态性能指标：调节时间、峰值时间、超调量。节时间、峰值时间、超调量。解：系统的闭环解：系统的闭环传递函数传递函数与二阶系统的数学与二阶系统的数学模型对照，可得模型对照，可得10)51 (10)(2sKssG102nKn512故故要使要使 =0.6，由上式得，由上式得K=0.56。下面计算性能指标：下面计算性能指标：调节时间调节时间 峰值时间峰值时间 超调量超调量 10n10251K误差带）取%5(59. 13stns21.24s1pnt21e100%9.84%pMstpp1%,20,Ksrdttt,解：由图可知系统闭环传递函数：解：由图可知系统闭环传递函数：与标准形式比较，与标准形式比较，由由 得：得： 21CsKR ssKK21%100%enK12KK22ln 10.461lnpp223.531nprad st 210.18nsK2212.46nKrad sarccos1.10 rad 10.70.37dnts 0.65rdts213.14dnrad s 3.52.17snts0.02 4.52.80snts若取误差带为若取误差带为3.3.4 二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应)()(ttr1)(sR222)(nnnsssC0)(ttcnnsin)(1)0(2( )esin1ntndc tt1)(2( )entnc tt1)(22(1)(1)2( )ee21nnttnc t