新教材高中数学2.3(第2课时)一元二次不等式的应用讲义新人教A版必修第一册(共8页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第2课时一元二次不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点).2.理解三个“二次”之间的关系.3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点).1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.1分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式0(0)(其中a，b，c，d为常数)法一：或法二：(axb)(cxd)0(0)0(0)法一：或法二：k(其中k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式思考1：>0与(x3)(x2)>0等价吗？将>0变形为(x3)(x2)>0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式2(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件不等式ax2bxc>0ax2bxc<0a0b0，c>0b0，c<0a0(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法设二次函数yax2bxc若ax2bxck恒成立ymaxk若ax2bxck恒成立ymink3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)(3)解不等式(或求函数最值)(4)回扣实际问题思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解1若集合Ax|12x13，B，则AB等于()Ax|1x<0Bx|0<x1Cx|0x<2 Dx|0x1BAx|1x1，Bx|0<x2，ABx|0<x12不等式5的解集是_原不等式0解得0<x.3不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_a4或a4x2ax40的解集不是空集，即不等式x2ax40有解，a24×1×40，解得，a4或a4.4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是_x|10x30设矩形高为y，由三角形相似得：，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy300，整理得yx40，将y40x代入xy300，整理得x240x3000，解得10x30.分式不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)<0；(2)1.解(1)<0(x3)(x2)<02<x<3，原不等式的解集为x|2<x<3(2)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且x0，解得x<或x4，原不等式的解集为.1对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解1解下列不等式：(1)0；(2)<3.解(1)根据商的符号法则，不等式0可转化成不等式组解这个不等式组，可得x1或x>3.即知原不等式的解集为x|x1或x>3(2)不等式<3可改写为3<0，即<0.可将这个不等式转化成2(x1)(x1)<0，解得1<x<1.所以，原不等式的解集为x|1<x<1一元二次不等式的应用【例2】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)为了减轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.思路点拨将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(12x%)吨，“原计划的78%”即为2 400m×8%×78%.解设税率调低后“税收总收入”为y元y2 400m(12x%)·(8x)%m(x242x400)(0<x8)依题意，得y2 400m×8%×78%，即m(x242x400)2 400m×8%×78%，整理，得x242x880，解得44x2.根据x的实际意义，知x的范围为0<x2.求解一元二次不等式应用问题的步骤2某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解设花卉带的宽度为x m(0<x<600)，则中间草坪的长为(8002x)m，宽为(6002x)m.根据题意可得(8002x)(6002x)×800×600，整理得x2700x600×1000，即(x600)(x100)0，所以0<x100或x600，x600不符合题意，舍去故所求花卉带宽度的范围为0x100.不等式恒成立问题探究问题1若函数yax22x2对一切xR，f(x)>0恒成立，如何求实数a的取值范围？提示：若a0，显然y>0不能对一切xR都成立所以a0，此时只有二次函数yax22x2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则解得a>.2若函数yx2ax3对3x1上恒有x2ax3<0成立，如何求a的范围？提示：要使x2ax3<0在3x1上恒成立，则必使函数yx2ax3在3x1上的图象在x轴的下方，由y的图象可知，此时a应满足即解得a<2.故当a2时，有f(x)<0在3x1上恒成立3若函数yx22(a2)x4对任意3a1时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？提示：由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y2x·ax24x4.要使对任意3a1，y<0恒成立，只需满足即因为x22x4<0的解集是空集，所以不存在实数x，使函数yx22(a2)x4对任意3a1，y<0恒成立【例3】已知yx2ax3a，若2x2，x2ax3a0恒成立，求a的取值范围思路点拨对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解解设函数yx2ax3a在2x2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x<2，即a>4时，g(a)(2)2(2)a3a73a0，解得a，与a>4矛盾，不符合题意(2)当22，即4a4时，g(a)3a0，解得6a2，此时4a2.(3)当>2，即a<4时，g(a)222a3a7a0，解得a7，此时7a<4.综上，a的取值范围为7a2.1(变结论)本例条件不变，若yx2ax3a2恒成立，求a的取值范围解若2x2，x2ax3a2恒成立可转化为：当2x2时，ymin2或或解得a的取值范围为5x22.2(变条件)将例题中的条件“yx2ax3a，2x2，y0恒成立”变为“不等式x22xa23>0的解集为R”，求a的取值范围解法一：不等式x22xa23>0的解集为R，函数yx22xa23的图象应在x轴上方，44(a23)<0，解得a>2或a<2.法二：令yx22xa23，要使x22xa23>0的解集为R，则a满足ymina24>0，解得a>2或a<2.法三：由x22xa23>0，得a2>x22x3，即a2>(x1)24，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于(x1)24的最大值，即a2>4，故a>2或a<2.1不等式ax2bxc>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c>0；当a0时，2不等式ax2bxc<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c<0；当a0时，3解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数1解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解当不等式含有等号时，分母不为零2对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决当然，这必须以参数容易分离作为前提分离参数时，经常要用到以下简单结论：(1)若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a<f(x)恒成立a<f(x)min.3在某集合A中恒成立问题设yax2bxc(a0)若ax2bxc0在集合A中恒成立，则集合A是不等式ax2bxc0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围).1思考辨析(1)不等式>1的解集为x<1.()(2)求解m>ax2bxc(a0)恒成立时，可转化为求解yax2bxc的最小值，从而求出m的范围()提示(1)>11>0<0x|0<x<1故(1)错(2)m>ax2bxc(a0)恒成立转化为m>ymax，故(2)错答案(1)×(2)×2不等式>0的解集为_x|4<x<3或x>1原式可转化为(x1)(x2)2(x3)(x4)>0，根据数轴穿根法，解集为4<x<3或x>1.3对于任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a的取值范围是_2a2当a20，即a2时，40恒成立；当a20，即a2时，则有解得2a2.综上，实数a的取值范围是2a2.4某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解设每盏台灯售价x元，则x15，并且日销售收入为x302(x15)，由题意知，当x15时，有x302(x15)>400，解得：15x<20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为15x20.专心-专注-专业