第11讲.全等三角形中的倍长类中线.教师版(共19页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第十一讲全等三角形中的倍长类中线中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点睛三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见重、难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理以及中线的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲版块一、倍长中线【例1】 已知：中，是中线求证：【解析】 如图所示，延长到，使，连结，利用证得，中，【巩固】(2002年通化市中考题)在中，则边上的中线的长的取值范围是什么？【解析】 中线倍长，【例2】 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，求证：【解析】 延长到，使，连结，又，【例3】 如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线【解析】 延长到点，使，连结在和中，而又，为的角平分线【例4】 如图，中，是中线求证：【解析】 延长到，使，连结在和中 ，在中，(如果取中点用中位线也可证，目前还不能)【例10】 如图所示，在和中，、分别是、上的中线，且，求证 【解析】 如图所示，分别延长、至、，使，连接、，则，因为，所以在和中，故，从而，同理，则，因为，所以在和中，所以，从而，故，则在和中，故【例5】 已知ABC，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE【解析】 (等腰三角形、线段相等)(一)过E作EFAB，交BC的延长线于F，则B=F3=4 ，3=B 4=FCE=EF 在GEF与GDB中，GFEGBD 证明(二)过D，E分别作直线DKCB，EFCB1=2 2=B 1=B又 BD=CE RtBDKCEF DK=EF又3=4RtDKGRtEFGGD=GE证明(三)过D 点作DKAC交BC于K过D 点作DFBC交AC于F 四边形DKCF是开行四边形 DK=FC 1=CC=B 1=BDB=DK=CE=CFC是EF中点，BCDFG是DE中点，DG=EG注(此题还有他法，可补充)【例6】 在中，点为的中点，点、分别为、上的点，且以线段、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【解析】 延长到点，使，连结、在和中，在和中故以线段、为边能构成一个直角三角形【巩固】如图所示，在中，是的中点，垂直于，如果，求证 【解析】 延长至，使，连接、因为，则从而，而，故，因此，即，则，即因为，故，则为Rt斜边上的中线，故由此可得【例7】 已知为的中线，的平分线分别交于、交于求证：【解析】 延长到，使，连结、易证，又，的平分线分别交于、交于，利用证明，在中，【例11】 如图所示，是的中点，求证 【解析】 如图所示，设交于，要证明，实际上就是证明，而条件不好运用，我们可以倍长中线到，连接交于点，交于点容易证明则，从而，而，故从而，故而故，亦即【巩固】已知在中，是中线，是上的任意一点，且交的延长线于点，交于，求证【解析】 如图所示，延长交的延长线于点，使得,在上取点，使，连接、 因为，故， 同理， 故 同理， 因为，故，从而，即，则【例8】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形中，点是的中点，的延长线与的延长线相交于点求证：【解析】 点是中点又，在延长线上， 在与中 【例9】 (浙江省2008年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试卷)如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，求证：【解析】 ，又，【例12】 (年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足若，则线段的长度为_【解析】 如图、延长至点，使得，联结、由，有又，版块二、中位线的应用【例13】 是的中线，是的中点，的延长线交于求证： 【解析】 取的中点，连接易得，为的中点，所以，从而可证得：【例14】 如图所示，在中，延长到，使，为的中点，连接、，求证【解析】 解法一：如图所示，延长到，使容易证明，从而，而，故 注意到，故，而公用，故，因此解法二：如图所示，取的中点，连接因为是的中点，是的中点，故是的中位线，从而，由可得，故，从而，【巩固】已知ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为ABC的AB边上的中线求证CD=2CE【解析】 (等边、中点、线段倍数)(一)延长CE到K，使CE=EK，连接BK AECBEK AC=BK=BDA=3AB=AC 5=ACBKBC=3+5=A+ACB=4BC=BC CKBCDB CK=CD 2CE=CD【例15】 已知：ABCD是凸四边形，且AC<BD E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G点 求证：GMN>GNM【解析】 取AB中点H，连接EH、FH AE=ED，AH=BH EHBD，EH=BD GNM=HEFAH=BH，BF=CF FHAC，FH=AC GMN=HFEAC<BD FH<EH HEF<HFEGMN>GNM【例16】 在中，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且【解析】 过作交于又，又故且【例17】 如图，在五边形中，为的中点求证： 【解析】 取中点，中点连结、，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有，同理可证，即，【例18】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，是内的一点，过作于，于，为的中点，求证 【解析】 如图所示，取、的中点、，连接、，则有且，且因为和都是直角三角形，故，从而， 又因为，而，且，所以，从而，故【例19】 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在中，为的中点，分别延长、到点、，使过、分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、求证：(1) ；(2) 【解析】 如图所示，根据题意可知且， 且，所以而、分别是直角三角形、的斜边的中点，所以，又已知，从而(2) 由(1)可知，则由可得而、均为等腰三角形，所以【例20】 已知：在ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点求证：PMPN(1991年泉州市初二数学双基赛题)【解析】 证明：取AB中点Q，AC中点R连结PQ，PR，MQ，NRPQAC，PQACNRPRAB，PRMQPQMPRN(两边分别垂直)，PQMNRP，PMPN【例21】 已知，如图四边形中，、分别是和的中点，、的延长线分别交于、两点 求证： 【解析】 连接，取中点，连接、 ，同理，【点评】“题中有中点，莫忘中位线”与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来平移也有类似功效【巩固】(2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试)已知：在中，动点绕 的顶点逆时针旋转，且，连结过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、 如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论(不需证明) 当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明【解析】 图2： 图3： 证明：在图2中，取的中点，连结、 是的中点，是的中点，同理，证明图3的过程与证明图2过程相似 【例22】 如图，AEAB，BCCD，且AE=AB，BC=CD，F为DE的中点，FMAC证明：FM=AC【解析】 过点E、D、B分别作AC的垂线，垂足分别为H、K、N由基本图可知，AEHBAN，BCNCDK，故AH=BN=CK，EH=AN，DK=CN又EF=DF，FMAC，EHAC，DKAC，故FM=(EH+DK)=(AN+NC)=AC【巩固】(2004全国数学联赛试题)如图，梯形ABCD中，ADBC，分别以两腰AB、CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF 设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M 求证：点M为EF的中点【解析】 设与AD、BC的 交点分别为K、L，过点E、F作的垂线，垂足分别为P、Q 过点K分别作AE、DF、AB、DC的平行线，分别交PE、FQ、BC于点、 AK=DK 由基本图可知，故，从而可知，故EM=FM，即点M为EF的中点家庭作业【习题1】如图，在等腰中，是的中点，过作，且求证： 【解析】 本题相对例题简单一些连结，则，【习题2】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，与相等吗？为什么？【解析】 延长到，使，连结，又，而，故【习题3】如右下图，在中，若，为边的中点求证：【解析】 如右下图，则取边中点，连结、由中位线可得，且为斜边上的中线，又，即，月测备选【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F求证：E=F【解析】 (提示：由ABDCDB，得1=2，过而EODFOB，故E=F)【备选2】如图，中，是中点，与交于，与 交于求证：，【解析】 方法一：连结，是中点且在与中，专心-专注-专业