高中数学三角恒等变换与三角函数的化简求值(共12页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第1讲三角恒等变换与三角函数的化简、求值高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切，C级要求；(2)二倍角的正弦、余弦及正切，B级要求.应用时要适当选择公式，灵活应用，试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题.真 题 感 悟 1.(2017·江苏卷)若tan，则tan _.解析法一tan，6tan 61tan (tan 1)，tan .法二tan tan.答案2.(2018·江苏卷)已知，为锐角，tan ，cos().(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值.解(1)因为tan ，tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2，因此，cos 22cos21.(2)因为，为锐角，所以(0，).又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2，因此，tan()tan2().考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin2cos21，tan .(2)诱导公式：对于“±，kZ的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(±)sin cos ±cos sin ；cos(±)cos cos ±sin sin ；tan(±).(4)二倍角公式：sin 22sin cos ，cos 2cos2sin22cos2112sin2.(5)辅助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中cos ，sin .2.公式的变形与应用(1)tan tan tan()(1tan tan )；tan tan tan()(1tan tan ).(2)升幂、降幂公式1cos 2cos2，1cos 2sin2；sin2，cos2.(3)角的拆分与组合2()()，2()()；()()；等.热点一三角函数式的化简与求值【例1】 (1)(2018·泰州模拟)化简：_.(2)若tan 2tan ，则_.解析(1)原式cos 2x.(2)3.答案(1)cos 2x(2)3探究提高(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.【训练1】 (1)(2018·徐州调研)计算：tan 70°cos 10°(tan 20°1)_.(2)若，且3cos 2sin，则sin 2的值为_.解析(1)原式·cos 10°1.(2)由cos 2sinsin2sincos代入原式，得6sincossin，sin0，cos，sin 2cos2cos21.答案(1)1(2)热点二三角函数的求值(求角)【例2】 (1)(2018·全国卷改编)若sin ，则cos 2_.(2)(2017·南京、盐城联考)已知，为锐角，cos ，sin()，则cos _.(3)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_.解析(1)cos 212sin212×.(2)为锐角，sin .，0.又sin()sin ，cos().cos cos()cos()cos sin()sin ××.(3)tan tan()0，0.又tan 20，02，tan(2)1.tan 0，20，2.答案(1)(2)(3)探究提高(1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.【训练2】 (1)(2015·江苏卷)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_.(2)已知sin ，sin()，均为锐角，则角等于_.解析(1)tan 2，tan()，解得tan 3.(2)，均为锐角，.又sin()，cos().又sin ，cos ，sin sin()sin cos()cos sin()××.答案(1)3(2)(3)(2018·浙江卷)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.求sin()的值；若角满足sin()，求cos 的值.解由角的终边过点P得sin ，所以sin()sin .由角的终边过点P得cos ，由sin()得cos()±.由()得cos cos()cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .热点三三角恒等变换的应用【例3】 (2018·苏州期末)已知函数f(x)(cos xsin x)22sin 2x.(1)求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合；(2)若x，求函数f(x)的单调递增区间.解(1)因为f(x)3cos2x2cos xsin xsin2x2sin 2x(1cos 2x)sin 2x(1cos 2x)2sin 2xsin 2xcos 2x22sin2.所以函数f(x)的最小值是0，此时2x2k，kZ，即x的取值集合为.(2)当x时，2x，令2x或2x，得x或x.所以f(x)的单调递增区间是和.探究提高三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用.(2)把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性等性质.【训练3】 已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解(1)f(x)的定义域为.f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.对于三角恒等变换的应用问题，可以运用化归思想和整体代换思想解决问题.讨论形如yasin xbcos x函数的性质，可先化为ysin(x)型的函数.一、填空题1.计算：_.解析原式4.答案42.(2018·全国卷改编)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则f(x)的最大值为_.解析易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x131cos 2x，当xk(kZ)时，f(x)取得最大值，最大值为4.答案43.(2018·南京、盐城模拟)已知锐角，满足(tan 1)·(tan 1)2，则的值为_.解析因为(tan 1)(tan 1)2，所以tan tan (tan tan )12，即1，所以tan()1.又，为锐角，所以(0，)，即.答案4.(2017·苏、锡、常、镇调研)已知是第二象限角，且sin ，tan()2，则tan _.解析由是第二象限角，且sin ，则cos ，则tan 3，所以tan tan().答案5.(2018·常州期末)满足等式cos 2x13cos x(x0，)的x的值为_.解析由题意可得，2cos2x3cos x20，解得cos x或cos x2(舍去).又x0，故x.答案6.(2018·全国卷)已知tan，则tan _.解析法一因为tan，所以，即，解得tan .法二因为tan，所以tan tan.答案7.(2012·江苏卷)设为锐角，若cos，则sin的值为_.解析为锐角且cos，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos××.答案8.(2016·苏北四市模拟)已知cos·cos，则sin 2_.解析cos·coscos·sinsin，即sin.，2，cos，sin 2sinsincos cossin .答案二、解答题9.已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值.解(1)tan3.(2)1.10.(2018·北京卷)已知函数f(x)sin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.解(1)f(x)cos 2xsin 2xsin.所以f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)知f(x)sin.由题意知xm，所以2x2m.要使得f(x)在上的最大值为，即sin在上的最大值为1.所以2m，即m.所以m的最小值为.11.(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，锐角，的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为.(1)求cos 2的值；(2)求2的值.解(1)由三角函数的定义，得cos .所以cos 22cos21.(2)因为，所以2(0，).由(1)得cos 2，所以2，且sin 2.由三角函数的定义，得sin ，且，所以cos .因为sin(2)sin 2cos cos 2sin ××，且2，所以2.专心-专注-专业