中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案(共10页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上 20112012学年第一学期高等数学期末试卷 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2012年1月3日 页 号一二三四五六总分本页满分30181218157本页得分阅卷人注意事项：1请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3本试卷共五道大题，满分100分；4试卷本请勿撕开，否则作废；5本试卷正文共6页。本页满分30分本页得分一、 填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 1函数的可去间断点是_. 2曲线的下凸区间是_.3设，则_.4.=_.5.的通解是_二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 设函数，则在点处（ ）A极限不存在；B极限存在但不连续；C.连续但不可导；D可导.2. 已知时，与是等价无穷小，则（ ） A； B； C. ； D.3设连续，则（ ）A2； B； C. ； D.4函数在处有连续导数，则处取得（ ）.A. 拐点； B. 极大值； C. 极小值； D. 都不是. 5微分方程的特解形式为（ ）A； B； C； D.本页满分18分本页得分三、计算题（共5小题，每小题6分，共30分） 1. 求极限.2方程确定为的函数，求及.3求极限.本页满分12分本页得分4求定积分.5设, 求.本页满分18分本页得分四、应用题（共3小题，共24分）1（本题6分）求曲线的渐近线.2（本题12分）设由曲线与过点的切线及轴所围平面图形为D.（1）求D的面积A；（2）求D绕轴旋转一周所得旋转体的体积V.3（本题6分）有半径为 R 的半球形容器如图，本页满分15分本页得分设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最少应为多少 ?五、证明题（16分）1（本题9分）设，证明：.本页满分7分本页得分2（本题7分）设函数在上连续，在内存在二阶导数，且，证明：（1）存在，使（2）存在，使. 答案一、填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1 x=2 ； 2 ； 3 ；4 5 二、填空题共（5小题，每小题3分，共计15分）1（ D）；2（ C ）； 3（ C）；4（ C ）；5（ D）. 三、计算题（本题共5小题，每小题6分，共30分）1求极限解：原式2方程确定为的函数，求及。解：令，则，；， ，又，3求极限解：4求积分。解：法一：令，则原式法二：5设, 求.解：四、应用题（共2小题，共计24分）1（本题6分）求的渐近线。解： 是曲线的垂直渐近线。曲线有水平渐近线。又，是曲线的一条斜渐近线。2（本题12分）设由曲线与过点的切线及轴所围平面图形为D。（1）求D的面积A；（2）求D绕轴旋转一周所得旋转体的体积V。解：（1），过的切线方程为，即。（2）3（本题6分）有半径为 R 的半球形容器如图，设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最少应为多少 ?解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. 则半圆方程为。取x为积分变量，对应于薄层所需的功元素故所求功为。五、证明题（16分）1（本题9分）设，证明：.证明：设，则在内连续，可导。对在上应用Lagrange中值定理，得。,，即,即。 2（本题7分）设函数在上连续，在内存在二阶导数，且，证明：（1）存在，使（2）存在，使。证明：（1）在上连续，使，即（2）在上连续，由最值定理知在取到最大值M和最小值m.，由连通性定理知，使，即。因为在内存在二阶导数，满足罗尔定理的条件，所以，使，使进而使专心-专注-专业