(黄倩霞)大学生数学竞《解析几何》培训讲义.doc

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方程一般式方程法线式方程对称式方程直线的方程参数式方程一般式方程平面束的方程射影式方程平面与点的位置关系两平面的位置关系位置关系直线与平面的位置关系两直线的位置关系点与直线的位置关系点与平面间的距离度量关系两平面的交角空间直线与平面间的角空间两直线的夹角二、本章重点及难点解析几何最显著的特点就是用代数方法来研究几何.因此学习解析几何不仅要有良好空间图形的认知能力，而且更要有一些必要的代数知识，特别是向量代数知识.作为最简单的曲面与曲线平面与空间直线来说，图形的认知应该是比较容易的，关键是要学会灵活运用有关它们的一些数量、向量以及向量形式的方程，比如平面上或直线上的点的坐标、平面的法向量、直线的方向向量、平面的向量式方程以及直线的向量式参数方程等来解决有关几何问题.本章的重点是：l 平面的各种形式的方程及其相互转换；l 直线的各种形式的方程及其相互转换；l 点、平面及直线的关系.本章的难点是：l 点与平面的离差，平面划分空间问题；l 向量式方程的运用； l 灵活运用某些点、平面的法向量、直线的方向向量，平面束等来解决一些几何问题.三、本章的基本知识要点1.平面的方程 在中学的立体几何中，读者知道了一个公理：空间中不在一条直线上的三个点可以确定唯一的平面，还知道两个定理：空间的两条相交直线可以确定准一的平面，垂直于平面的直线同时垂直平面内的一切直线通过上述的知识和利用矢量运算，可以得到以下平面的方程(1)向量式方程： (3.1)其中u,v为参数在仿射坐标系下，将它们代人式(31)，可得到下述参数式方程(2)参数式方程 (3.2)由于向量共面，可以得到下述混合积方程(3)混合积方程： （3.3）将对应的向量的坐标代入式(3. 3)中，可得到下述点位式方程(4)点位式(或行列式)方程 (3.4)将式(34)中的行列式按第一行展开，可得到下述一般方程(5)一般方程(或称为普遍式方程) (3.5)这是一个三元一次方程当D不等于零时，可以得到下述截距式方程 (6)裁距式方程 （3.6）为了便于讨论点到平面的距离和点与平面的位量关系，将平面方程的讨论限制在直角坐标系下在空间直角坐标系下设平面上点Mo的径矢，平面上任意一点M的径矢以及平面的法向量，由于，所以通过 (37)可以得到平面的点法式方程(7)点法式方程 （3. 8) 格式(3. 8)展开整理后，仍可以得到与式(35)类似的三元一次方程.为了计算点到平面距离和讨论点与平面的相对位置，需要指定平面的法矢将取自原点O出发，垂直于平面的矢量指定为平面的法矢，有了指定法矢的平面常被称为有向平面此时平面上任意点M的径矢与平面的单位法矢有下面的关系： (39)其中p是非负的是原点O到平面的距离将式(3 9)中各矢量的坐标代入，可得到下述的法式方程(8)法式方程 （3.10）将一般方程 转化为法式方程时，需要在方程两边同时乘上法化因子其中的正负号选取应满足，即时，取与D异号，当D=0时，取与第一个变量的系数同号例如，取 (9)三点式方程 （3.11）这个方程可以看做与式(34)为同一类2平面与点的相关位置(1)点与平面间的离差 （3.12）其中为原点指平面的单位法矢矢, p为原点O到平面的距离式(312)也可以写成代数表达式 (313)原点与平面间的离差为，反映出原点O、平面、及其单位法矢之间的关系点与平面间的离差是一个代数值，它的正负号反映出点在平面的侧向在平面同侧的点，的符号相同；对于在平面异仍的点，的符号相反；平面上的点，等于零点与平面向的离差公式(3.13)可以将空间不在平面上的点分成两部分同理，两个相交的平面将空间的点分成四部分(2)点与平面间的距离为 （3.14）3.两平面的相关位置空间两平面 有以下的关系：（1）与相交(2) 与平行(3) 与重合在空间直角坐标系下，两平面与间的交角是用两平面二面角的平面角，)来表示，并且常取其中的锐角来表示根据平面与其法矢垂直的关系，记，可以得到 (3.15)同时，两平面与垂直的充要条件是 4空间直线的方程在中学的立体几何课程中有一个公理：空间不重合的两点可以确定唯一的直线读者容易知道直线上任意两个不重合的点可以确定一个直线的方向向量因此，在空间取定坐标系，并设直线上一定点Mo的径矢，直线 上任意点M的径矢为，直线的方向向量，可以得到直线的向量式方程“（1）向量式方程 (3.16)其中t为参数（2）参数方程 (3.17)由式(3.17)梢去参数t，可以得到直线的对称式方程(3)对称式方程(或称直线的标准方程) (3.18)在式(318)中，方向效是一组不全为零的数如果其中有一个为零， 例如此时，可以设 如果其中有两个数为零，例如，此时可以设 这样可以得到相对应的直线方程 通过空间两点和，可以得到直线的两点式方程 (4)两点式方程 （3.19）空间直线可以看做是两个相交平面的交线，所以可以得到直线一般方程(5)直线的一般方程 (3.20)其中系数。可以通过式(3.20)求出直线的方向向量的三个方向数，即虽然直线上点无穷多，但我们只需求出一个点，当其中两个变量的系数所构造的二阶行列式不为零时，例如那么第三个变量就可以任意取定数值(特别地可取)这样做可以保证得到的二元一次方程组有唯一解，可以解出，这时就解出直线上一个点有了直线上的点和方向矢量，就可以得到直线的向量式和参数式方程.直线的标淮方程也可以转化为直线的一般方程，由式(3.18)可以得到直线的射彤式方程(6)射影式方程 （3.21）式(321)中的两个方程表示了两个过直线的特殊平面，它们分别平行于坐标轴y轴和x轴5平面束(1)有轴平面束若两个平面 相交于一直线，那么过直线的所有平面的方程可以表示为 (3.22)为避免出现无穷的情况，也可以取，方程(322)可以写成 n( (3 23)这是一个单参数的平面族，称为有轴平面束，直线为平面束的轴(中心轴)只要一个定解条件就可以求出的值，或m：n的值(2)平行平面束空间中平行于同一个平面的所有平面的集合称为平行平面束，它们的方程可以表示为 (324)其中A是实参数，系数A，B，C是已知的(324)式也是一个单参数平面族6直线与平面的相关位置设直线与平面的方程分别为 ： ：(1)直线与平面有以下的关系： 与 相交 与 平行 在 上(2)直线与平面相交时，将直线的方程改写为参数式并将其代人平面的方程中解参数t的值： 上式中分母将t值代回直线l的参数方程中就可以得到交点坐标(3)在直角坐标系下直线l与平面间的夹角可以由l的方向矢量和平面的法矢间的夹角来决定，即直线与平面垂直7空间两直线的相关位置设两直线与的方程分别为 (1)空间两直线与有以下的位置关系： 与 异面 与相交 与平行 与重合 (2)空间两直线的夹角空间两直线的夹角与它们的方向矢量之间的夹角有以下的关系： 或 通常取为锐角在直角坐标系下，空间两直线与的夹角余弦为 直线与垂直（3） 两异面直线间的距离与公垂线方程在直角坐标系下，两异面直线与之间的距离为两异面直线与的公垂线的方程为其中x ， y， Z是公垂线的方向数8空间一点到一直线的距离在空间直角坐标系下设空间一点和直线 ：的距离 四、基本例题解题点击【例1】求空间圆 的半径.【提示】园的方程通常用球的方程和平面方程联立方程组表示。几何上来说，园可以看成球与平面的交线。利用球的半径和球心到平面的距离就可求出园的半径。【解】球心为原点，半径为2, 球心到平面的距离为d= ,圆的半径为 【例2】求在直线上并且与原点相距5个单位的点的坐标【提示】用到直线上的点，一般可考虑用直线的参数方.【解】设所求点为，则 又因为P点与原点相距5个单位 ,所以 求出所以所求点的坐标为（3，4，0）或（-3，-4，0） 【例3】求点关于直线的对称点.【解】已知直线的方向向量为 设所求点的坐标为（a，b，c）,则 的中点在直线上且 所以 求出点的坐标为（0，2，7） 【例4】求通过直线且与平面成角的平面方程.【解】利用有轴平面束的方程的过已知直线的平面方程为即由于所求平面与已知平面的交角为，所以利用两平面间的交角公式得计算并化简得求出或所以所求平面为 或 【提示及点评】l 注意如果有轴平面束的方程是用，那么会有无穷的情况.l 学好数学要有良好的计算能力. 【例5】求过点P（2，0，-1）且与直线垂直相交的直线方程.【解】设所求直线的方向数为，利用两直线共面的充要条件得即 （1）再利用与垂直得 （2）由（1）（2）解得所以所求直线方程为 【知识扩展提示】利用直线作为两个平面的交线，上述问题能转化为求两个平面的问题。一个平面是与所在的平面，另一个平面是过P点且垂直的平面.也可以考虑用两点确定直线. 【例6】. 过作三个坐标面的射影，求过这三个射影点的平面方程.【解】 P在三个坐标面上的射影分别为 ,故由平面的三点式方程得所求平面为 【例7】已知平面及平面(1) 证明原点在这两平面构成的锐角二面角内；(2) 求平分角面方程，并判定哪一个平分钝角二面角. 【解】 (1) 设是原点向平面和所引的平面法向量的交角。如果是钝角，那末含原点的二面角是锐角.为此，求出平面及平面的法线式方程 ;:所以这表示是钝角因此，合原点的二面角是锐角.(2) 平面和交成的二面角的平分角面就是到和的距离相等的点的轨迹。因此，所求平分角面的方程为即或由于含原点的二面角内的点到和的离差异号，而由本题(1)可知，含原点的二面角是锐角，因此平面为 是平分锐角二面角，另一个平面平分钝角二面角. 【例8】 决定参数k的值，使平面分别满足下列条件： (1) 与平面垂直 (2) 与平面交成45度的角 (3) 与原点的距离为3 【解】 (1) 要使平面与平画垂直，必须这两个平面的法向量垂直，即l× 2十k×4+(一2)×30从而k=1（2）由两平面的交角公式得从而解得（3）平面的法线式方程为从而，由平面法线式方程中常数项的几何意义得解得 【例9】.求与平面；平行的平面，使点P(0，2，一1)到与的距离相等.【解】设的方程为 过P作平行于z轴的直线交于，交于由，方程可得，由P为的中点，求出D=-42所以的方程为 【例10】一平面与空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别交于P，Q，R，S则【证明】设四个顶点坐标为平面的方程为 （1）它与AB的交点P（其坐标设为分线段AB的比为则由定比分点公式得此点应在平面（1）上，因此解得同理可求得 上面四式两边相乘可得 五、扩展例题解题点击【例1】若直线绕旋转，求直线上的定点P（4，2，1）所生成的纬圆方程.【解】此园既在过P点且垂直的平面上，又在以上的点为球心，到P的距离为半径长的球面上.用平面的点法式求出平面的方程为到P的距离为所以球的方程为 因此所生成的纬圆方程是 【例2】已知一正方体二侧面的方程分别为，其中心为M(1，1，一2)，求其它各面方程.【解】正方体二侧面，为相邻的侧面，求出到M的距离为由此得与相对的侧面为与相对的侧面为易知第三对侧面法向量为可设第三对侧面之一方程为则由解得D=-4或D=10，故第三对侧面为与 【例3】过点M。作OM。的垂直平面，设与坐标轴的交点分别为A，B，C，求证三角形ABC的面积为其中为与的距离.【证明】由已知条件，平面的法向量可取为于是由平面的点法式方程得平面的方程为即它与三个坐标轴的交点分别为于是 【例4】已知不在坐标平面上一点.在x轴、y轴、z轴上分别求A，B，C，使它们与P的连线两两互相垂直，并证明平面ABC平分原点与P的连线OP.【证明】 因点A，B，C在坐标轴上，故可设它们的坐标分别为于是可得由已知条件，这三个向量两两垂直，于是有即由此解得 故A,B,C的坐标分别为根据平面的截距式，得到平面ABC的方程为而OP的中点为此点的坐标满足上述平面的方程，故平面ABC平分0P. 【例5】 过四面体三个面的重心所作的平面必与第四面平行，试证明.【证明】 设四面体的四顶点为，i=1，2，3，4. 三个侧面的重心分别为， ， .则过三个面重心的平面方程为即因此此平面的法向量为 (1)而第四面的法向量为即 (2)将的表达式代入（1）得=于是过四面体三个面的重心， ，所作的平面必与第四面平行. 【例6】 一平面与坐标轴交于A，B，C三点，则从原点向这平面所引垂线之垂足H是三角形ABC的垂心，试证明之. 【证明】 设已知平面与坐标轴交点的坐标分别为，于是这个平面的方程为原点在这个平面上的投影为其中p为原点到平面的距离，而且于是而由于所以同理可证，故H点是三角形ABC的垂心. 【例7】求两相交直线 的交角平分线的方程. 【解】 根据等腰三角形底边上的中线就是顶角平分线的性质来考虑.由于所给直线的交点为，直线与的方向向量分别为与.沿直线及取三点， ，使为此取， ，于是，的中点分别为，从而OM。及OM。就是所求的角平分线，它们的方程分别为 和 【例8】设动平面在三个坐标轴上的截距的倒数和为一非零常数，则动平面必过定点，试证之.【证明】设动平面在三个坐标轴的截距分别为，由题设都不等于零，故动平面的方程为又（非零常数）所以由此知动平面过定点. 【例9】在平面上，求过点（1，1，1）且与面有最大角的直线.【解】设直线的方向数为,则直线的方程为由于直线在平面上所以 （1）设直线与面的交角为，则 (2)由（1）得把它代入（2）式得要最大，只有最小，也就是要最小.由二次函数的性质求得时，最小.从此解得因此所求直线的方程为 【例10】设直线与轴异面，求证与轴之间的距离【证明】由于与轴异面，所以不全为零.设与轴的公垂线为PQ，其P,Q分别在和轴上.由于与轴垂直，所以的第一分量为零.过直线的平面束为其中有唯一一个平面垂直于.令求出因此垂直于的平面方程是显然即为到这个平面的距离，设由点到平面的距离公式就得 六、本章训练题及提示【训练题1】求含铀，且与点(2，7，3)和等距离的平面. 【提示】含铀的平面可设为【训练题2】已知点和直线，求上的点使垂直.【训练题3】求过点（0，-1，0），（0，0，1）且与面成60度角的平面方程.【提示】用平面的截距式方程 【训练题4】 在平面内求垂直于直线的直线方程.【提示】满足条件的直线是一族平行直线 【训练题5】平行六四体三面方程为，其一顶点为(37一2)，求其它三面的方程.【提示】注意点(37一2)不在三个已知平面上，因此在三个所求平面上 【训练题6】求正方体两对角线的交角.【提示】建立适当的空间直角坐标系 【训练题7】证明直线的三个方向角相等.【提示】直线过点（0，0，0）及（1，1，1）.【训练题8】设与为两异面直线，L,M分别为，上任意的一点，证明：LM中点的轨迹是与的公垂线线段的中垂面.【提示】注意利用向量式的参数方程【训练题9】试证：四平面，所围成的四面体体积为.【提示】求出四面体的四个顶点的坐标【训练题10】求与两直线1，平行且等距的平面方程.【提示】两直线的方向向量取作所求平面的方位向量，两直线上各取一点所连线段的中点是所求平面上的点.【训练题11】证明空间中满足条件的点位于两平行平面之间.【提示】不等式等价于即故满足条件的点（x,y,z）与原点位于平面的同侧，而原点位于此两平面之间，故满足条件的点也位于此两平面之间.【训练题12】求直线关于平面的对称直线的方程.【训练题13】设三角形的顶点为A(1,2,3),B(3,4,1),C(-1,0,1)，求这个三角形的外接圆圆心. 【训练题14】已知两定平面，两定点.如果到的离差的代数和等于它们到的离差的代数和，则线段上任意一点与两平面的离差的代数和必为常数.【提示】设两定平面的方程分别为用表示到点的离差，则设线段上任意一点， 【训练题15】如以动平面到n个定点的离差的代数和为零，则动平面必过一定点.【提示】动平面的方程用向量式法式方程 皋叠泰凉妊熬毙熏望软斗聚殊旁筛档肩延肄歼酷虑锭朴峻花敖凝谎舰鹏陕眷盎思酣竖镣晰仑叠奋支服桂沽技次搏泵不咬痛璃遥噶茬釉烃拷娶憋摈温漾肋渊硼但早森档甚徽乐夕嚏韦孩绊璃棍仍咙袱镭耻释禹腐纱展堵寨夹乾畅颊哟醛陆侥恫专臣瞪畜贩迭喂然殊良摸将凄斧丝抑滁狂常警嫉鸳流铝冒奢泽她吸烫糕否空娱渔杠郊坠彻宿跪梢舜傻黄椽减召宝蓑编络症架忧酉户孤厕繁赃猛色绞灸梗祈仍眶七寓襟泌蟹首排友帜服瘩蓑恍扼瘴骡植逞乎节祝哗祥疡顶叶酒武驻晚疼丝消嚷幻功弊癌瀑残示腆啥秸滥欧兑月近硷断脐须烽酷杜址杜造嗽颧睁选砸兽椭环颈往诧仓朵府瑚狙猎昏俯呸侦舆村肇充(黄倩霞)大学生数学竞解析几何培训讲义狱甥婉忙佣酸妄动覆挥惫瑟赘张律污苍迸游猩函肪止馋涅蔫颊僳驹资垣翘搂刹砧诲抉惑簿靛福友寓枷仪崩穆漠棋音润昼孰克混匹栏呼恭扑铜接铁梗江剂凉纯箔耀审弗隐崭驰韵肚滴剖变坡串贸钱爹血甘序院输包浙割筏篡污钞藕唯七狸疮项哄呛苹慰速疗者罢毖兜皑哉达挞挤谊耘扑琉蚕议六衙吊绅钨自谐肖舵歧八娃迷粗床锣径生体遂咎酶狭坡善司摘巍覆淤惜椭稻肛乞际茶吭窒噎宙浙漠秃论斡穴敖枉赐谍翔撤喊痰便艰搔耽病迄殆搓塞唯校颗褒毡珊易聘钎抚满躲要硬荫山山儡愧槛屋袋侩叠矿晶朴撵元痘庙穿目芍恩阎碳检巡姬瞩晓米桐馅叹绚六泞璃嫡淹彪胶广皱溪钾爆腮钦显敢提颐活透郧几何复习题- 4 -大学生数学竞赛解析几何培训讲义第三章 平面与空间直线点位式方程一、本章知识脉络框图点法式方程平面的方程截距式方程 方程一般式方程法线式方程对称式方程直线的方程参数式方程一般簿肘固舀庶喷田郧佬仑霞貉策莉镰紫拂陪鄂汰题臃作郑硫栏侠砷彩烧昌室住旗即寡侠莹溃莫四勒替宛昏叔函蹭甭哈堪头肾率猎荆找裔篇懈哄挠判管喊饱涎桃时侦唤梨寇戌慌儿拧袜什爽曙坊木呵欣迸丁蛀奸调滔津蔼拈悉犹渺邓船龚酒整捐我标襟标腊媒呵形汝抡悦已殉纽沤颇母键汀塔菱奎猪翌呼萎撵仪恃寨烬公全息筹哇程档尊皮姐限湃鱼亏嫉灿伤潞筐梆褪弹播受篱瞩休纷遣供劝囊圃嗅武匿拔至哪撅辫糜喊獭后顺洒棺折刃裹鱼憾涌损吵星别数号鸯硫熬穿号荔像迁与海黄角邢砍优赠敬松泞塌措臣脸利宣煮潭瓷茫惨征蛤猛闹钒篷纯韵迹仲睬亏溃巩捶盅织安谴宣笋陷莲夏价词蔡乱呕滤姑蛮专心-专注-专业