第7章--一元一次不等式与不等式组-讲义(共15页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第7章 一元一次不等式与不等式组1不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式 常见的不等号有五种： “”、 “>” 、 “<” 、 “”、 “”2不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是:确定边界点。解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；确定方向：大向右，小向左。说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值3不等式的基本性质 (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式不等号的方向不变如果>,那么+>+,->-. (2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变如果>,并且>0,那么>（或） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变如果>,并且<0,那么<（或）不等式的对称性： 如果a>b，那么b<a不等式同向传递性： 如果a>b，b>c,那么a>c说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：专心-专注-专业若ab0，则a大于b ；若ab0，则a小于b ；若ab0，则a不小于b ；若ab0，则a不大于b ；若ab0或，则a、b同号；若ab0或，则a、b异号。任意两个实数a、b的大小关系：a-b>Oa>b； a-b=Oa=b； a-b<Oa<b不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换;但ab可转换为ba，cd可转换为dc。4一元一次不等式 只含有一个未知数，且未知数的次数是1系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式 注：其标准形式： ax+b0或ax+b0， ax+b0或ax+b0(a0) <>5解一元一次不等式的一般步骤 (1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方例： 解：去分母，得 （不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 （注意符号，不要漏乘!） 移 项，得 （移项要变号） 合并同类项，得 （计算要正确） 系数化为1， 得 （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）6一元一次不等式组 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组 说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多 7一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定8. 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型()的解集是，如下图： 的解集是，如下图： 同大取大 同小取小的解集是，如下图： 无解，如下图： 大小交叉取中间 大小分离解为空9解一元一次不等式组的步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集10. 不等式应用题用一元一次不等式组解决实际问题的步骤：审题，找出不等关系；设未知数；列出不等式；求出不等式的解集；找出符合题意的值；作答。例1.现计划把甲种货物1240t和乙种货物880t用一列货车运往基地,已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元. (1)设运送这批货物的总费用为万元,这列货车挂A型车厢节,试写出与之间的函数关系式. (2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35t和乙种货物15t,每节B型车厢最多可装甲种货物25t和乙种货物35t,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有几种方案? (3)在(2)的方案中,哪种方案费用最省?并求出最省费用.【分析】题(1)中总费用应该是A型车厢的费用和B型车厢的费用的总和.题(2)的要求是A型车厢的甲种货物最大装载量与B型车厢的甲种货物最大装载量的和不少于1240吨；A型车厢的乙种货物最大装载量与B型车厢的乙种货物最大装载量的和不少于880吨.【解】 (1) 用A型车厢节,则B型车厢为(40-)节,得 (2) 依题意,得 解之,得 取整数， 或或. 共有三种方案: 24节A型车厢和16节B型车厢; 25节A型车厢和15节B型车厢; 26节A型车厢和14节B型车厢. (3) 当时,万元; 当时,万元; 当时,万元; 故安排方案,即A型车厢26节,B型车厢14节最省,最省费用为26.8万元.【说明】目前中考越来越注重能力的考查.本题是一道实际生活中的“方案设计问题”，要善于把这类问题转化，抽象为数学问题加以解决.例2. 某市大蒜在国内、国际市场享有盛誉.某运输公司计划用10辆汽车将甲、乙、丙三种规格大蒜共100t运输到外地.按规定每辆车只能装同一种大蒜,且必须满载,每种大蒜不少于一车. (1)设用辆车装运甲种大蒜,用辆车装运乙种大蒜,根据下表提供的信息,求与之间的函数关系式,并求自变量的取值范围. (2)设此次运输公司的利润为M(单位:百元),求M与的函数关系式及最大运输利润,并安排此时相应的车辆分配方案.大蒜规格甲乙丙每辆汽车的满载量/t81011运输每吨大蒜获利/百元2.22.12【分析】题(1)中要全面把握三个条件：共用10辆汽车；大蒜共100t；每种大蒜不少于一车.由题意可以列出方程和不等式.题(2)中运输公司的利润M是甲、乙、丙三种大蒜的利润总和.【解】(1)用辆车装运甲种大蒜,用辆车装运乙种大蒜，装运丙种大蒜的车辆为(10)辆.根据题意，得 100，化简，得 10.每种大蒜不少于一车， 1，1. 解之得 .(2) 根据题意，得 M M随的增大而减小.又当时M有最大值.M最大（百元）此时相应的车辆分配方案为：用1辆车装运甲种大蒜, 用7辆车装运乙种大蒜, 用2辆车装运丙种大蒜.【说明】不等式的运用常常与方程（组）、函数的知识相结合，当不等式作为隐含条件使用的时候，更能反映学生全面思考问题的能力.例3. 我国东南沿海某地的风力资源丰富,一年内日平均风速不小于3m/s的时间共约160天,其中日平均风速不小于6m/s的时间约占60天.为了充分利用风能这种“绿色能源”,该地拟建一个小型风力发电场,决定选用A、B两种型号的风力发电机.根据产品说明,这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表:日平均风速日发电量A型发电机036150B型发电机02490根据上面的数据回答：(1)若这个发电场购台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为 ；(2)已知A型风力发电机每台0.3万元,B型风力发电机每台0.2万元.该发电场拟购置风力发电机共10台,希望购置的费用不超过2.6万元,而建成的风力发电场每年的发电总量不少于,请你提供符合条件的购机方案.【分析】 审题的关键在于将文字与表格中的符号对应起来,如一台A型发电机一年有60d的日发电量150,有100d的日发电量36,则可求出一台A型发电机的年发电量(最小值).题(2)要求提出符合条件的购机方案,因此,只要是符合要求的方案均可,实际上购机方案可能不止一套.【解】(1)12600 (2)设购A型发电机台，则购B型发电机台. 根据题意，得 解之得：可购A型发电机5台，则购B型发电机5台；或购A型发电机6台，则购B型发电机4台.一 分配问题1.把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？2.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。问这些书有多少本？学生有多少人？3.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间 8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。4.将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。问有笼多少个？有鸡多少只？5.用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？6.一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？二 速度、时间问题1 爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 2.王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？3.抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？三 工程问题1 .一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？ 2 .用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？3.某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？ 4.某同学要在4小时内，从甲地赶到相距15公里的乙地，他从甲地出发后，以每小时3公里的速度走了1小时，以后至少平均每小时要走多少公里，才能按计划到达乙地？5.一本英语书98页,张力读了7天(一周)还没读完,而李永不到一周就读完了.李永平均每天比张力多读3页,张力每天读多少页?四 价格问题1.商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。(1)试求该商品的进价和第一次的售价；(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？2.水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？3.“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，销售中有6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg多少元，才能避免亏本？4某中学需要刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，出租用刻录机需120元外，每张光盘还需成本4元（包括空白光盘费）。问刻录这批电脑光盘，该校如何选择，才能使费用较少？5.某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？6.学校图书馆准备购买定价分别为8元和14元的杂志和小说共80本，计划用钱在750元到850元之间（包括750元和850元），那么14元一本的小说最少可以买多少本？五 其他问题1.有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，已知这个两位数大于20且小于40，求这个两位数 2.一次知识竞赛共有15道题。竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？3.某公司需刻录一批光盘（总数不超过100张），若请专业公司刻录，每张需10元（包括空白光盘费）；若公司自刻，除设备租用费200元以外，每张还需成本5元（空白光盘费）。问刻录这批光盘，是请专家公司刻录费用省，还是自刻费用省？ 4.考试共有25道选择题，做对一题得4分，做错一题减2分，不做得0分，若小明想确保考试成绩在60分以上，那么，他至少做对X题，应满足的不等式是什么？ 5.有红、白颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的两倍比红球多，若把每一个白球都记作数2，每一个红球都记作数3，则总数为60，求白球和红球各几个？ 六 方案选择与设计1某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：原料维生素C及价格甲种原料乙种原料维生素C/（单位/千克）600100原料价格/（元/千克）84 现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，（1）设需用千克甲种原料，写出应满足的不等式组。（2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？2.红星公司要招聘A、B两个工种的工人150人，A、B工种的工人的月工资分别为600和1000元，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少时，可使每月所付的工资最少？此时每月工资为多少元？3.某工厂接受一项生产任务，需要用10米长的铁条作原料。现在需要截取3米长的铁条81根，4米长的铁条32根，请你帮助设计一下怎样安排截料方案，才能使用掉的10米长的铁条最少？最少需几根？4.某校办厂生产了一批新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利30000元，然后将该批产品的投入资金和已获利30000元进行再投资，到这学期结束时再投资又可获利4.8;方案二:在这学期结结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付投入资金的0.2作保管费，问： （1）当该批产品投入资金是多少元时，方案一和方案二的获利是一样的？ （2）按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。 5.某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法。年票分为A、B、C三种：A年票每张120元，持票进入不用再买门票；B类每张60元，持票进入园林需要再买门票，每张2元，C类年票每张40元，持票进入园林时，购买每张3元的门票。果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。 一年中进入该园林至少多少时，购买A类年票才比较合算。6.某城市平均每天处理垃圾700吨，有甲和乙两个处理厂处理，已知甲每小时可处理垃圾55吨，需要费用550元，乙厂每小时可处理垃圾45吨，需要费用495员。如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少要多少吨？练习一有理数里的不等式： 1.若 a是非负数，则a 0; 2.任意有理数a的 、 具有非负性，用式子表达 、 . 3 ; 若; 若a0, 则； 若4. ； 5.若a>b,则a-b_0； 6.若ab0, 则； 若ab0, 则 7.若0<a<1，则按从小到大排列为_; 若 a1, 则按从小到大排列为_; 8.当a、b 时,ab>0;若ab<0,则a和b . 9.有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，根据图示，用“>”或“<”填空。 （1）a_b （2）ab_0 （3）ab_0 (4) -a_ -b （5）a-b_0 (6) 10不论a 是什么数，下列不等式都能成立的是 （ ） A. a20 B. a-a C. a2+10 D. 2a a11.下列说法正确的是( ) A. 如果a1, 则01 B.如果a1,那么1 C.a20,则a0 12.比较大小 (1)a+b a (2) 1-a 1+a 13.若14.若则x的取值范围是 ;若则x ;若，则x_15.（1）a2_0,（其中a0）;（2） a2+1_1.二不等式、不等式性质及解不等式1. 用适当的式子表示下列关系：(1)x与y的平方和不小于8 (2)任意有理数a的绝对值具有非负性 (3)x与y和的1/5小于或等于1 (4) (5)x除y的商是负数 (6)(7)x的负倒数大于它的相反数 (8)学校的男生人数a比至少是女生b的2倍 (9)姐姐每月上网20小时，妹妹每月上网x小时，妹妹每月上网的时间超过了姐姐的两倍。_(10)火车限速250公里 (11)这次考试小红至少做对了两题 (12) 北京某一天最低气温是-5°C，最高气温是10°C 2. 已知a>b，用“>”或“<”填空。（1）a b （2）a+3_ b+3 （3）2a+1_2b+1 (4) -a_ -b （5）-2a-2_-2b-2 (6) a-2011_b-2011 (7) -5a-0.00001_-5b-0.000013.若a>b,则下列说法中（1）a+cb+c；（2）acbc ；（3）a-2cb-2c ; （4）ac2>bc2 ; (5)2a-2011>2b-2011;(6) ;（7）abb2 ; (8)若c=d, 则a+cb+d ，正确的有 4. 由xy得到axay的条件是( ) A. a0 B. a0 C. a0 D. a05. 由ab,得到ac2bc2的条件是( ) A. c0 B. c0 C. c0 D. c是任意有理数6. 已知ab, 则下列结论中正确的是（ ） A.a-5b-5 B. 2a2b C. acbc D. a-b07. 如果ab, c0, 下列格式中不正确的是（ ） A.acbc B. a-cb-c C. a/cb/c D. ac2bc28. 下列各式中一定成立的是（ ）A. 5a 1>4a 1 B. 1a>1a C. a2a D. a 3>a 49. 若2a+3b13a+2b，则a，b的大小关系为（ ）A.abB.abC.abD.不能确定10.已知a<0,-1<b<0, 则a, ab, ab2从小到大顺序为 。11.若a>b，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 如果ba0，下列不等式中错误的是（）A.ab0 B.a+b0 C.1 D.ab013.下列说法正确的是( ) A.若a0, b0， 则a/ b0 B. 若ab , 则a-b0 C. 若a0,b0, 则ab0 D. 若ab, a0, 则b/a114.若，那么下列关系正确的是( ) A. xy B. x-y0 C. xy D. xy0, 且xy15.在数轴上表示数x的点与原点的距离不超过5，则x满足的不等式（组）为_16.要使方程的解是负数，则m_17.小于90的两位数，个位数字比十位数字大5，这样的两位数有_个。18.求1-a的解集。19.的解集是x-1/3，则的值是（ ）A.3 B. 1/3 C.3 D.-1/320.如果的解集是-1，则a的取值范围为_.21. 与不等式的解集相同的是（ ）A. B. C. D. 22 . 不等式的负整数解的个数有（ ） A. 0个B. 2个 C. 4个D. 6个23.若,下列结论正确的是 （ ） A B. C. D. 24. 甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1°C5°C，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3°C8°C，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（ ） A. 1°C3°C B. 3°C5°C C. 5°C8°C D. 1°C8°C 25. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5，则至多可打( ) A6折 B7折 C8折 D9折 26. .采石块工人进行爆破时，为了确保安全，工人点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400 m以外的安全区域；导火线燃烧速度是1 cms，人离开的速度是5 ms，导火线的长度至少需要( ) A70 cm B75 cm C79 cm D80 cm 27某车间工人刘伟，接到一项任务，要求10天里加工完190个零件，最初2天，每天加工15个，要在规定的时间内完成任务，以后每天至少加工的零件个数为( ) A.18 B.19 C.20 D.2128 写出下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来：(1) -3x12 (2) (3) (4) 326. 某次数学竞赛共有20道选择题做对一题6分做错一题扣2分不作为0分小明有一题未做他的成绩不低于80分，你知道他至少做对了多少道题吗？27. 把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但是不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？单元测验一、填空题1不等式组的解集是_2不等式组的整数解的和是_6如果a<2，那么不等式组的解集为_；当_时，不等式组的解集是空集7若不等式组的解集是-1<x<1，则（a+b）=_8已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是_9 2008年6月1日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元，2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3kg，5kg和8kg6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20kg散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市_元二、选择题10已知0<b<a，那么下列不等式组中无解的是（ ） A B C D11不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D12已知，且-1<x-y<0，则k的取值范围是（ ） A-1<k<- B0<k< C0<k<1 D<k<113如果不等式组有解，则m的取值范围是（ ） Am< Bm Cm> Dm14若，化简m+2-1-m+m得（ ） Am-3 Bm+3 C3m+1 Dm+115不等式组无解，则a的取值范围是（ ） Aa<1 Ba1 Ca>1 Da116为了改善城乡人民生产，生产环境，我市投入大量资金治理清水河污染，在城郊建立了一个综合性污水处理厂设库池中存有待处理的污水at，又从城区流入库池的污水按每小时bt的固定流量增加如果同时开动2台机组需30h处理完污水，同时开动4台机组需10h处理完污水若要求在5h内将污水处理完毕，那么至少要同时开动机组的台数为（ ） A6台 B7台 C8台 D9台三、解答题17（1）解不等式组，并写出不等式组的整数解； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来答案:1-2x<x 20 6x>2，a2 71 8-4<a-3 9810AC 11A 12D 13B 14B 15B 16A17（1）不等式组的解集为1x<3，故其整数解为：1，2（2）不等式组的解集为-3x<1，数轴上表示如图：