第十二章Fourier级数和Fourier变换(共7页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第十二章 Fourier级数和Fourier变换第一节 Fourier级数（1）教学目的与要求：1.明确认识三角级数的产生及有关概念；2.理解以 为周期的函数的Fourier级数的有关概念、定义和收敛定理.教学重点、难点：重点: 将一个函数展开成Fourier级数；难点: Fourier级数的收敛性的判别.教学方法：以教师课堂讲授为主，课堂讲授采用现代多媒体和传统方法结合，组织课堂讨论。要求学生课堂听课，参与课堂讨论，按时完成课程作业（含课内作业和课外作业）。课时安排：3学时使用教材和主要参考书：推荐教材：数学分析，复旦大学数学系编，高等教育出版社，2007年4月第3版。主要参考文献：数学分析，华东师大编，高等教育出版社，2010年07月第4版。数学分析辅导书及习题精解，华东师大编，浙江教育出版社，2018年8月第4版。微积分学教程，菲赫金哥尔茨著，高等教育出版社，2006年1月第8版。数学分析习题集，吉米多维奇著，山东科学技术出版社，2015年1月第1版。教学内容：一、傅立叶级数1三角级数三角级数的定义 形如的函数项级数称为三角级数，它是由三角函数列（也称为三角函数系）所产生的函数项级数.注：是由三角函数列（或三角函数系）所产生的函数项级数一般形式，之所以表示为为，是为了讨论该级数一致收敛时系数与其和函数之间关系表述方便.三角级数的应用背景在自然界中周期现象是很多的，如单摆运动、无线电波等，都可以用周期函数正、余弦函数来表示，这是因为周期现象的数学描述就是周期函数.但是较复杂的周期现象如热传导、电流传播、机械振动等不仅需要正、余弦函数表示，而且需要很多以至于无穷多个正、余弦函数叠加来表示，这在数学上就是将周期函数展开成无穷多个正、余弦函数之和的问题.因此要研究由三角函数列所产生的级数即三角级数，特别必须研究由一个函数做出的三角级数即傅立叶级数.2正交函数系定义 设函数与定义于区间上.若有，且，则称函数与定义于区间上是正交的.若定义于区间上的函数列满足（），且，则称函数列在区间上具有正交性，或称函数列在区间上是正交函数系.例如，三角函数系是区间上的正交函数系.事实上，（），（），而，.容易看出，三角函数系中所有函数具有共同周期，故容易验证若三角级数收敛，则它的和函数一定是一个以为周期的函数.3三角级数收敛定理及其性质定理15.1 若级数收敛，则三角级数在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证明：利用优级数判别法.性质：定理15.2 若在整个数轴上且等式右边级数一致收敛，则则有如下关系式：，.证明：利用一致收敛函数项级数的逐项可积性、第十三章第一节习题4、三角函数系的正交性即可.二、以为周期的函数的傅立叶级数1傅立叶级数的定义设是上以为周期的函数，且在上可积，称形如的函数项级数为的傅立叶级数(或的傅立叶展开式)，其中， 称为的傅立叶系数，记为.注：1）在未讨论收敛性，即证明一致收敛到之前，不能将“”改为“=”；此处“”也不包含“等价”之意，而仅仅表示是的傅立叶级数，或者说的傅立叶级数是. 2) 求上的傅立叶级数，只需求出傅立叶系数.例1 设是以为周期的函数，其在上可表示为 ,求的傅立叶展开式.三、收敛定理 1按段光滑的定义 设函数定义于区间上.若函数在上至多有有限个第一类间断点，其导函数在上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数的左、右极限存在，则称在区间上按段光滑.（注：导函数的间断点只能是第二类间断点.）注：区间上的按段光滑函数具有性质：（1）在区间上可积.（2）在区间上没一点都存在左右极限，且有，.（3）补充定义在区间上那些至多有限个不存在点上的值后（仍记为），则在区间上可积.2收敛定理 定理15.3 以为周期的函数在区间上按段光滑，则在每一点，的傅立叶系数收敛于在点的左、右极限的算术平均值，即，其中，为的傅立叶系数.(证明放到以后进行)推论 若函数是以为周期的连续函数，且在区间上按段光滑，则的傅立叶级数在上收敛于.注：3）计算的傅立叶系数的积分也可以沿别的长度为的区间来积.如， 例2 设是以为周期的函数，其在上等于，求的傅立叶级数.注： 4) 在具体讨论函数的傅立叶级数展开式时，通常只给出在长为的区间上的解析表达式，例如在上的解析表达式，此时我们应对作解析延拓，即定义，使其以为周期，它有下述性质：a) 时，；b) 以为周期.因此的傅立叶级数就是指的傅立叶级数. 例3 把函数展开为Fourier级数. 解 参阅例1, 有 例4 展开函数.解 ； . 函数在上连续且按段光滑, 又，因此有. ( 倘令, 就有, ) 例5 在区间内把函数展开成Fourier级数.练习1（2）（i）解法一 ( 直接展开 ) ； . 函数在区间内连续且按段光滑, 因此有, .由于, 该展开式在上成立.( 在该展开式中, 取，得; 取,得. ) 解法二 ( 间接展开: 对例3中的展开式作积分运算 ) 由例3, 在区间内有. 对该式两端积分, 由Fourier级数可逐项积分,有 .为求得, 上式两端在上积分, 有 , 因此, , .注：若题目中给定的函数只是在长度为的区间上，解题时一定要先延拓，再按收敛定理判断傅立叶级数是否收敛，然后进行展开.做到一定程度以后，可以不用延拓，直接先判断函数是否按段光滑，即傅立叶级数是否收敛，然后进行展开.复习思考题、作业题：书后相关部分习题的大部分内容专心-专注-专业