基本不等式经典例题精讲.doc
精选优质文档-倾情为你奉上新课标人教A版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式)典题精讲例1(1)已知0x,求函数y=x(1-3x)的最大值;(2)求函数y=x+的值域.思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x0,因而不能直接使用基本不等式,需分x0与x0讨论.(1)解法一:0x,1-3x0.y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.x=时,函数取得最大值.解法二:0x,-x0.y=x(1-3x)=3x(-x)32=,当且仅当x=-x,即x=时,等号成立.x=时,函数取得最大值.(2)解:当x0时,由基本不等式,得y=x+2=2,当且仅当x=1时,等号成立.当x0时,y=x+=-(-x)+.-x0,(-x)+2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立.y=x+-2.综上,可知函数y=x+的值域为(-,-22,+).绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x-1时,求f(x)=x+的最小值.思路分析:x-1x+10,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.解:x-1,x+10.f(x)=x+=x+1+-12-1=1.当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.f(x)min=1.变式训练2求函数y=的最小值.思路分析:从函数解析式的结构来看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,事实上,我们可以把分母视作一个整体,用它来表示分子,原式即可展开.解:令t=x2+1,则t1且x2=t-1.y=.t1,t+2=2,当且仅当t=,即t=1时,等号成立.当x=0时,函数取得最小值3.例2已知x0,y0,且+=1,求x+y的最小值.思路分析:要求x+y的最小值,根据极值定理,应构建某个积为定值,这需要对条件进行必要的变形,下面给出三种解法,请仔细体会.解法一:利用“1的代换”,+=1,x+y=(x+y)·(+)=10+.x0,y0,2=6.当且仅当,即y=3x时,取等号.又+=1,x=4,y=12.当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.解法二:由+=1,得x=.x0,y0,y9.x+y=+y=y+=y+1=(y-9)+10.y9,y-90.2=6.当且仅当y-9=,即y=12时,取得等号,此时x=4.当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.解法三:由+=1,得y+9x=xy,(x-1)(y-9)=9.x+y=10+(x-1)+(y-9)10+2=16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1,x=4,y=12.当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.绿色通道:本题给出了三种解法,都用到了基本不等式,且都对式子进行了变形,配凑出基本不等式满足的条件,这是经常需要使用的方法,要学会观察,学会变形,另外解法二,通过消元,化二元问题为一元问题,要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱:本题容易犯这样的错误:+2,即1,6.x+y22×6=12.x+y的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式等号成立的条件是=,不等式等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同,会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.思路分析:本题属于“1”的代换问题.解:x+y=(x+y)()=a+b=10+.x,y0,a,b0,x+y10+2=18,即=4.又a+b=10,或例3求f(x)=3+lgx+的最小值(0x1).思路分析:0x1,lgx0,0不满足各项必须是正数这一条件,不能直接应用基本不等式,正确的处理方法是加上负号变正数.解:0x1,lgx0,0.-0.(-lgx)+(-)2=4.lgx+-4.f(x)=3+lgx+3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时取得等号.则有f(x)=3+lgx+ (0x1)的最小值为-1.黑色陷阱:本题容易忽略0x1这一个条件.变式训练1已知x,求函数y=4x-2+的最大值.思路分析:求和的最值,应凑积为定值.要注意条件x,则4x-50.解:x,4x-50.y=4x-5+3=-(5-4x)+3-2+3=-2+3=1.当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立.所以当x=1时,函数的最大值是1.变式训练2当x时,求函数y=x+的最大值.思路分析:本题是求两个式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=(2x-3)+=-()+,再求最值.解:y=(2x-3)+=-()+,当x时,3-2x0,=4,当且仅当,即x=-时取等号.于是y-4+=,故函数有最大值.例4如图3-4-1,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.图3-4-1(1)现有可围36 m长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?(2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小?思路分析:设每间虎笼长为x m,宽为y m,则(1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值;而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.解:(1)设每间虎笼长为x m,宽为y m,则由条件,知4x+6y=36,即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S,则S=xy.方法一:由于2x+3y2=2,218,得xy,即S.当且仅当2x=3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m,宽为3 m时,可使面积最大.方法二:由2x+3y=18,得x=9-y.x0,0y6.S=xy=(9-y)y= (6-y)y.0y6,6-y0.S2=.当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时,可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:2x+3y2=2=24,l=4x+6y=2(2x+3y)48,当且仅当2x=3y时,等号成立.由解得故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24,得x=.l=4x+6y=+6y=6(+y)6×2=48,当且仅当=y,即y=4时,等号成立,此时x=6.故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋总长最小.绿色通道:在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时,要注意:(1)x,y都是正数;(2)积xy(或x+y)为定值;(3)x与y必须能够相等,特别情况下,还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析:在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解:设污水处理池的长为x米,则宽为米(0x16,016),12.5x16.于是总造价Q(x)=400(2x+2×)+248×2×+80×200.=800(x+)+16 000800×2+16 000=44 800,当且仅当x= (x0),即x=18时等号成立,而1812.5,16,Q(x)44 800.下面研究Q(x)在12.5,16上的单调性.对任意12.5x1x216,则x2-x10,x1x2162324.Q(x2)-Q(x1)=800(x2-x1)+324()=800×0,Q(x2)Q(x1).Q(x)在12.5,16上是减函数.Q(x)Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.问题探究 问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n层楼时,环境不满意程度为.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.导思:本问题实际是求n为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究:设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y.由题意知y=n+.n+2,当且仅当n=,即n=时取等号.但考虑到nN*,n2×1.414=2.8283,即此人应选3楼,不满意度最低.例5解关于x的不等式1(a1) 解 原不等式可化为 0,当a1时,原不等式与(x)(x2)0同解 由于原不等式的解为(,)(2,+) 当a1时,原不等式与(x)(x2) 0同解 由于,若a0,,解集为(,2);若a=0时,解集为;若0a1,,解集为(2,)综上所述 当a1时解集为(,)(2,+);当0a1时,解集为(2,);当a=0时,解集为;当a0时,解集为(,2) 专心-专注-专业