艺术生高考数学专题讲义：考点5-函数的性质——单调性、奇偶性与周期性(共7页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上考点五 函数的性质单调性、奇偶性、周期性知识梳理1函数的单调性(1) 单调函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数 从图象来看，增函数图象从左到右是上升的，减函数图象从左到右是下降的，如图所示： （2）单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)2函数的奇偶性(1) 奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称(2) 判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：考察定义域是否关于原点对称考察表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)：若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数3函数的周期性(1) 周期函数的概念：对于函数yf(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，则称yf(x)为周期函数，非零常数T叫做函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期(3)一般地，如果T为函数f(x)的周期，则nT（nZ）也是函数f(x)的周期，即有f(xnT)f(x)(4)最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x要加上的最小正数，这个正数是相对x而言的并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常数函数f(x)C（C为常数）就没有最小正周期典例剖析题型一 函数单调性的判断例1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是_. (填序号) y y(x1)2 y2x ylog0.5(x1)答案 解析 由基本初等函数的性质得，选项中的函数在(0，1)上递减，选项，中的函数在(0，)上为减函数，选.变式训练 下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是_. (填序号) f(x)x f(x)x3 f(x) f(x)3x答案 解析f(x)x，f(xy)(xy)x·y，不满足f(xy)f(x)f(y)，不满足题意f(x)x3，f(xy)(xy)3x3·y3，不满足f(xy)f(x)f(y)，不满足题意f(x)，f(xy)·，满足f(xy)f(x)f(y)，但f(x)不是增函数，不满足题意f(x)3x，f(xy)3xy3x·3y，满足f(xy)f(x)·f(y)，且f(x)3x是增函数，满足题意解题要点 确定函数单调性的常用方法：(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增增得增”“减减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性题型二 函数单调性的应用例2如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_.答案a0解析 当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a<0，且4，解得a<0.综合上述得a0.变式训练 函数f(x)在区间a，b上的最大值是1，最小值是，则ab_.答案6解析 易知f(x)在a，b上为减函数，即ab6.解题要点 1.利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的注意数形结合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围2.利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值题型三 求函数的单调区间例3求函数ylog(x24x3)的单调区间解析 令ux24x3，原函数可以看作ylogu与ux24x3的复合函数令ux24x3>0，则x<1或x>3.函数ylog(x24x3)的定义域为(，1)(3，)又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数ylogu在(0，)上是减函数，ylog(x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1)解题要点 1.求单调区间的常用方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法2求复合函数yf(g(x)的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：yf(u)，ug(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则yf(g(x)为增函数；若一增一减，则yf(g(x)为减函数，即“同增异减”3求单调区间时需注意两点：最终结果写成区间的形式；不可忽视定义域题型四 判断函数的奇偶性例4判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)(x1) ；(3) f(x).解析 (1) 定义域为R，关于原点对称，又f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x)，函数为奇函数(2)由0可得函数的定义域为(1,1函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数(3) 因为f(x)定义域为，所以f(x)0，则f(x)既是奇函数也是偶函数解题要点 判断函数单调性的两个步骤：1.判断函数定义域是否关于原点对称；2.判断f(x)与f(x)关系. 若f(x)f(x) 则函数为奇函数；若f(x)f(x)则函数为偶函数或是利用下列两个等价关系式进行判断：若f(x)f(x)0则函数为奇函数；若f(x)f(x)0则函数为偶函数题型五 函数的周期性例5已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.答案2.5解析由已知，可得f(x4)f(x2)2f(x)故函数的周期为4.f(105.5)f(4×272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.解题要点 关于函数周期性的三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)，则T2a.题型六 函数性质的综合运用例6已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)<f的x的取值范围是_答案解析偶函数满足f(x)f(|x|)，根据这个结论，有f(2x1)<ff(|2x1|)<f，进而转化为不等式|2x1|<，解这个不等式即得x的取值范围是.当堂练习1. 函数f(x)x3x的图象关于_对称. 答案 原点解析 由f(x)(x)3(x)x3xf(x)，知f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称2已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为_答案 0解析 f(x)为奇函数且f(x4)f(x)， f(0)0，T4， f(8)f(0)0.3已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)_答案1解析 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)g(1)f(1)g(1)(1)3(1)211.4函数f(x)log(x24)的单调递增区间是_答案(，2)解析因为ylogt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)5函数yf(x)是定义在2，2上的单调减函数，且f(a1)<f(2a)，则实数a的取值范围是_答案 1，1)解析 由条件解得1a<1.课后作业一、 填空题1下列函数中，既是奇函数又是增函数的为_(填序号)yx1 yx2 y yx|x|答案 2函数y1_(填序号)在(1，)上单调递增 在(1，)上单调递减在(1，)上单调递增 在(1，)上单调递减答案 3下列函数中，在区间(，0)上是减函数的是_(填序号)y1x2 yx2x y y答案4下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，都有<0”的是_(填序号)f(x) f(x)(x1)2 f(x)ex f(x)ln(x1)答案解析满足<0其实就是f(x)在(0，)上为减函数，故选.5已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于_答案 3解析 f(x)为奇函数，f(1)f(1)，又g(x)为偶函数，g(1)g(1)，f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，将两式相加得2g(1)6，g(1)3.6下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是_(填序号)yx3 y|x|1 yx21 y2|x|答案 7若函数yx2(2a1)x1在区间(，2上是减函数，则实数a的取值范围是_答案 解析 由题意得2，得a.8定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x2对称，且f(x)在(，2)上是增函数，则f(1)与f(3)的大小关系是_答案 f(1)f(3)解析 依题意得f(3)f(1)，且112，于是由函数f(x)在(，2)上是增函数得f(1)f(1)f(3)9函数yx22x(x2,4)的增区间为_答案 2,410设f(x)是以2为周期的函数，且当x1,3)时，f(x)x2，则f(1)_.答案 1解析 由题知，f(1)f(12)f(1)121.11给出下列命题y在定义域内为减函数； y(x1)2在(0，)上是增函数；y在(，0)上为增函数； ykx不是增函数就是减函数其中错误命题的个数有_答案3解析错误，其中中若k0，则命题不成立二、解答题12证明函数g(x)在(1，)上单调递增证明：任取x1，x2(1，)，且x1<x2，则g(x1)g(x2)，因为1<x1<x2，所以x1x2<0，(x11)(x21)>0，因此g(x1)g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)故g(x)在(1，)上是增函数13已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，求满足f(1m)f(1m2)<0的实数m的取值范围解f(x)的定义域为2,2有解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(x)在2,2上递减，f(1m)<f(1m2)f(m21)1m>m21，即2<m<1.综合可知，1m<1.即实数m的取值范围是1,1)专心-专注-专业