矩阵的等价-合同-相似的联系与区别.doc
精选优质文档-倾情为你奉上目 录 专心-专注-专业摘 要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件引言： 在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致还有矩阵的相似与合同之等价条件并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系1.1 矩阵的等价关系 定义1 两个矩阵等价的充要条件为：存在可逆的阶矩阵与可逆的 阶矩阵，使由矩阵的等价关系，可以得到矩阵与等价必须具备的两个条件：（1）矩阵与必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在 阶可逆矩阵和阶可逆矩阵, 使得.性质1（1）反身性：即.（2）对称性：若，则（3）传递性：即若，则定理1 若为矩阵，且，则一定存在可逆矩阵（阶）和（ 阶），使得.其中为阶单位矩阵.推论1 设是两矩阵，则当且仅当.1.2 矩阵的合同关系定义2 设均为数域上的阶方阵，若存在数域上的阶可逆矩阵，使得,则称矩阵为合同矩阵（若数域上阶可逆矩阵为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2) 存在数域上的阶矩阵,性质2（1）反身性：任意矩阵都与自身合同.（2）对称性：如果与合同，那么也与合同.（3）传递性：如果与合同，又与合同，那么与合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2 数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3 复数域上秩为的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： 1.3. 矩阵的相似关系定义3 设均为数域上阶方阵，若存在数域上阶可逆矩阵使得,则称矩阵与为相似矩阵（若级可逆矩阵为正交阵，则称与为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵与相似，必须同时具备两个条件(1) 矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵(2) 在数域上阶可逆矩阵，使得性质3 (1)反身性 ; (2)对称性 由即得;（3）传递性 和即得 总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4) （其中是任意常数）；(5）；(6）若与相似，则与相似（为正整数）；(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果为满秩矩阵，那么. 即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似. (8）相似的矩阵有相同的行列式； 因为如果，则有： (9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设，若可逆，则从而可逆.且与相似.若不可逆，则不可逆，即也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理 定理4 相似矩阵的特征值相同.推论3 相似矩阵有相同的迹.2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系（1） 由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵证明： 设阶方阵相似，由定义3知存在阶可逆矩阵，使得，此时若记, ,则有,因此由定义1得到阶方阵等价 反过来，对于矩阵,等价，但是与并不相似，即等价矩阵未必相似定理 6 对于阶方阵，若存在阶可逆矩阵 使,(即与等价)，且 (为阶单位矩阵)，则与相似证明： 设对于阶方阵与,若存在阶可逆矩阵,使,即与等价又知,若记 ,那么,也即,则矩阵也相似定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵证明： 设阶方阵合同，由定义2有，存在阶可逆矩阵，使得， 若记,则有因此由定义1得到阶方阵等价反过来对于矩阵,等价，但是与并不合同，即等价矩阵未必合同定理8 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵证明：若存在一个正交矩阵,即使得即，则有，即与合同. 同理，若存在一个正交矩阵，即使得即与合同，则有 由此可得1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.（2）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系另外，在一定条件下，两者是等价的若矩阵与正交相似，则它们既是相似也是合同的对于相似与合同矩阵之等价条件有以下定理，定理9 如果与都是阶实对称矩阵，且有相同的特征根则与既相似又合同证明：设与的特征根均为因为与阶实对称矩阵，则一定存在一个阶正交矩阵 Q使得同理，一定能找到一个正交矩阵使得从而有 将上式两边左乘和右乘,得由于,有,所以，是正交矩阵，由定理8知与相似定理10 若阶矩阵与中只要有一个正交矩阵，则与相似且合同证明：不妨设是正交矩阵，则可逆，取,有，则与相似，又知是正交阵，所以与既相似又合同定理11 若与相似且又合同，与相似也合同，则有与 既相似又合同证明: 因为与,与相似，故存在可逆矩阵,，使,令,则且,故与相似又因为与合同，与合同,故存在可逆矩阵,令而故与合同3矩阵的等价、合同和相似之间的区别1、矩阵等价：a.同型矩阵而言 b.一般与初等变换有关 c.秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：a.针对方阵而言 b.秩相等是必要条件 c.本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：a.针对方阵而言，一般是对称矩阵 b.秩相等是必需条件 c.本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同 由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关系最弱、合同与相似是特殊的等价关系.由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立.相似与合同不可互推，需要一定的条件.而且等价是经过有限次初等变换变得；相似不一定会都与对角阵相似，相似矩阵可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；合同可以通过二次型的非退化的线性替换来理解.结束语：矩阵中的这三种关系，在高等代数中是至关重要的，他们既包含着联系，又蕴涵着差别.相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵也不一定是合同矩阵；相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致；秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量，特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量.参考文献：1 张禾瑞.高等代数M.北京：高等教育出版社,1983.2 姚慕生.高等代数学M.复旦：复旦大学出版社,1999. 3 北大数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M.北京：高等教育出版社，1988 .4李志惠，李永明.高等代数中的典型问题与方法M.北京：科学出版社，2006.5同济大学教研室. 线性代数M.北京：高等教育出版社.，2001.6阎家灏.线性代数M.重庆：重庆大学出版社.，1994.
