2021版新高考数学一轮复习第7单元立体几何7.5直线平面垂直的判定与性质课件新人教A版.pptx

7 7. .5 5直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质-2-知识梳理考点自诊1.直线与平面垂直 任意 mn=O a -3-知识梳理考点自诊b ab -4-知识梳理考点自诊2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理直二面角 垂线 交线 l -5-知识梳理考点自诊3.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线和这个平面所成的角.4.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:过二面角棱上的任一点,在两个半平面内分别作与棱的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角.两个半平面 垂直-6-知识梳理考点自诊直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.-7-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)已知直线a,b,c,若ab,bc,则ac. ()(2)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l. ()(3)设m,n是两条不同的直线,是一个平面,若mn,m,则n. ()(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. ()(5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则. () -8-知识梳理考点自诊2.(2019四川成都高新区一模,4)已知直线m和平面,若m,则“m”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解析:因为m,若m,得,所以“m”是“”的充分条件,当m,若,则m或m或m与相交,所以为不必要条件,即“m”是“”的充分不必要条件,故选A.-9-知识梳理考点自诊3.如图所示,在立体图形D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDED.平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDEC解析解析:AB=CB,且E是AC的中点,BEAC,同理有DEAC,而BEDE=E,AC平面BDE.AC在平面ABC内,平面ABC平面BDE.又AC在平面ADC内,平面ADC平面BDE.故选C.-10-知识梳理考点自诊4.(2019山东潍坊三模,8)下列说法错误的是()A.垂直于同一个平面的两条直线平行B.若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C.一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直D解析:由线面垂直的性质定理可得选项A正确;由面面垂直的性质定理知选项B正确;由面面平行的判定定理知选项C正确;由直线与平面垂直的定义知,选项D错误.-11-知识梳理考点自诊5.(2019北京,13)已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm;m;l.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题: .若l,m,则lm解析:将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:(1)如果l,m,则lm,正确;(2)如果l,lm,则m,不正确,有可能m在平面内;(3)如果lm,m,则l,不正确,有可能l与斜交、l.故答案为:如果l,m,则lm.-12-考点1考点2考点3考点4 证明空间线面垂直例1(2019山东聊城一模,18)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为D1B1的中点,AB=AD=2 ,AA1=2.(1)证明:CO平面AB1D1;(2)略.-13-考点1考点2考点3考点4-14-考点1考点2考点3考点4思考证明线面垂直的常用方法有哪些? 解题心得证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”.(4)利用面面垂直的性质定理.-15-考点1考点2考点3考点4对点训练1(2019湖北元月调研,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABPC,ADBC,ADCD,且PC=BC=2AD=2CD=2 ,PA=2.(1)求证:PA平面ABCD;(2)略.-16-考点1考点2考点3考点4解: (1)证明:在底面ABCD中,ADBC,ADCD,ABAC;又ABPC,ACPC=C,AC平面PAC,PC平面PAC,AB平面PAC,又PA平面PAC,ABPA.PA=AC=2,PC=2 ,PAAC.又PAAB,ABAC=A,AB平面ABCD,AC平面ABCD,PA平面ABCD.证明: (1)过点C作COAA1,垂足为O,因为平面AA1C1C平面AA1B1B,所以CO平面AA1B1B,故COOB,又因为CA=CB,CO=CO,COA=COB=90,所以RtAOC RtBOC,故OA=OB,因为A1AB=45,所以AA1OB.又因为AA1CO,所以AA1平面BOC,故AA1BC.-17-考点1考点2考点3考点4 证明空间两条直线垂直例2(2019山东潍坊一模,18)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,BAA1=45,平面AA1C1C平面AA1B1B.(1)求证:AA1BC;(2)略.-18-考点1考点2考点3考点4思考证明空间两条直线垂直有哪些基本方法?解题心得1.证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系.(2)利用等腰三角形底边中线的性质.(3)利用勾股定理的逆定理.(4)利用直线与平面垂直的性质.2.在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.-19-考点1考点2考点3考点4对点训练2(2019山西晋城二模,19)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BAD=BCD=90,ADC=60,AD=CD且BB1平面ABCD,BB1=2AB=2.(1)证明:ACB1D;(2)求四棱锥C1-B1BD的体积.-20-考点1考点2考点3考点4(1)证明: 由BAD=BCD=90,AD=CD,易知ABD CBD.所以AB=CB,ADB=CDB.又AD=CD,所以ACBD.因为BB1平面ABCD,所以ACBB1,所以AC平面BB1D.又B1D平面BB1D,所以ACB1D.(2)解: 因为CC1BB1,所以点C1到平面B1BD的距离与点C到平面B1BD的距离相等.又已知BB1=2AB=2,ADC=60,-21-考点1考点2考点3考点4 证明空间两个平面垂直例3(2019辽宁沈阳市质检三)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAB底面ABCD,E为PC上的点,且BE平面APC.(1)求证:平面PAD平面PBC;(2)略.-22-考点1考点2考点3考点4证明: (1)侧面PAB底面ABCD,侧面PAB底面ABCD=AB,四边形ABCD为正方形,BCAB,BC底面ABCD,BC侧面PAB,又AP侧面PAB,APBC.BE平面APC,AP平面APC,APBE,BCBE=B,BC,BE平面PBC,AP平面PBC,又AP平面PAD,平面PAD平面PBC.-23-考点1考点2考点3考点4思考证明面面垂直的常用方法有哪些?解题心得1.面面垂直的证明方法(1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线面垂直加以解决.2.三种垂直关系的转化由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.3.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”这一条件.-24-考点1考点2考点3考点4对点训练3(2019全国3,文19)图1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.-25-考点1考点2考点3考点4(1)证明: 由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABBC,BEBC=B,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)解: 取CG的中点M,连接EM,DM.因为ABDE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG.由已知,四边形BCGE是菱形,且EBC=60得EMCG,DEEM=E,故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中,DE=1,EM= ,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.-26-考点1考点2考点3考点4垂直关系中的存在问题-27-考点1考点2考点3考点4解: (1)存在线段BC的中点E,使平面PBC平面PDE,连接DE,PE,BAD=ADC=90,AB=1,DA= ,BD=DC=2,E为BC的中点,BCDE,PD平面ABCD,BCPD,DEPD=D,BC平面PDE,BC平面PBC,平面PBC平面PDE.-28-考点1考点2考点3考点4思考探索性问题的一般处理方法是什么?解题心得线面垂直中的存在问题同“平行关系中的存在问题”的规律方法一样,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,再给出符合要求的证明.-29-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4如图1,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC, AB=2CD,DEAB,沿DE将AED折起到A1ED的位置,连接A1B,A1C,M,N分别为A1C,BE的中点,如图2.(1)求证:DEA1B.(2)求证:MN平面A1ED.(3)在棱A1B上是否存在一点G,使得EG丄平面A1BC?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.-30-考点1考点2考点3考点4(1)证明: 在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE将AED折起到A1ED的位置,DEA1E,DEBE,A1EBE=E,DE平面A1BE,A1B平面A1BE,DE丄A1B.(2)证明: 取CD中点F,连接NF,MF,M,N分别为A1C,BE的中点,MFA1D,NFDE,又DEA1D=D,NFMF=F,DE平面A1DE,A1D平面A1DE,NF平面MNF,MF平面MNF,平面A1DE平面MNF.MN平面A1ED.-31-考点1考点2考点3考点4(3)解: 取A1B的中点G,连接EG,A1E=BE,EGA1B,由(1)知DE平面A1BE,DEBC,BC平面A1BE,EGBC,又A1BBC=B,EG平面A1BC.-32-考点1考点2考点3考点41.转化思想:垂直关系的转化2.在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.-33-考点1考点2考点3考点43.线面角、二面角求法根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出该角,步骤是作(找)证求(算)三步曲.也可用射影法:设斜线段AB在平面内的射影为AB,AB与所成角为,-34-考点1考点2考点3考点41.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.-35-在高考立体几何题目中,证明线、面平行或垂直关系是极易被扣分的,原因是存在着逻辑推理的不严谨性,或者表述上的不严谨性.那么如何避免被扣分呢?需要对概念、公理、定理理解透彻.不要以主观臆断代替严密的科学论证.1.加强对基本概念理解.比如对异面直线的理解,两条直线不在同一个平面是简单的定义,如何才能不在同一个平面呢,哪些条件才能保证两条直线不在一个平面,只要直线不平行,并且不相交,那么就异面,对于不平行的条件,在平面几何中我们已经知道,如何能保证不相交呢,可以把其中一条直线放在一个平面,看另外一条直线和平面是否平行,这样对异面直线的概念就理解到位了.-36-2.加强对公理、定理应用条件的理解.比如线面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.这个定理它是五个条件推出一个结论,哪5个条件?若平面外的直线是a,内的两条直线b,c相交于一点A,5个条件是:ab,ac,b在平面内,c在平面内,b和c相交于一个点A,五个条件推出了a,你要漏掉其中一个,便被扣分.再比如直线和平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.它是3个条件推出一个结论.3个条件分别为:a在平面外,b,ab,结论是a,最容易漏掉的条件是:a在平面外,有的同学自以为它明明在平面外,我为什么还要写它!