2021版新高考数学一轮复习第7单元立体几何7.6空间向量及其运算课件新人教A版.pptx
7.67.6空间向量及其运算空间向量及其运算-2-知识梳理考点自诊1.空间向量的有关概念(1)空间向量:在空间中,具有和的量叫做空间向量,其大小叫做向量的或.(2)相等向量:方向且模的向量.(3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线_或,则这些向量叫做或,a平行于b记作ab.(4)共面向量:平行于同一的向量叫做共面向量.大小 方向长度模相同相等平行重合共线向量平行向量平面-3-知识梳理考点自诊2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b0),ab存在R,使a=b.(2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中a,b,c叫做空间的一个基底.3.两个向量的数量积(1)ab=|a|b|cos.(2)ab (a,b为非零向量).(3)|a|2=.ab=0 a2 -4-知识梳理考点自诊4.空间向量的坐标运算(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=.a-b=.a=.ab=.(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (a1,a2,a3) a1b1+a2b2+a3b3 (x2-x1.y2-y1,z2-z1) -5-知识梳理考点自诊-6-知识梳理考点自诊1.下列结论正确的画“”,错误的画“”.(1)若A,B,C,D是空间任意四点,则有(2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.()(3)空间中任意两非零向量a,b共面.()(4)对于空间非零向量a,b,若ab0,则a与b的夹角为钝角.()(5)对于非零向量b,由ab=bc,得a=c.() -7-知识梳理考点自诊2.若x,yR,有下列命题:若p=xa+yb,则p与a,b共面;若p与a,b共面,则p=xa+yb;其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4B-8-知识梳理考点自诊B-9-知识梳理考点自诊-10-知识梳理考点自诊B -11-知识梳理考点自诊5.已知在一个60的二面角的棱上,如图有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4 cm,AC=6 cm,BD=8 cm,则CD的长为.-12-考点1考点2考点3考点4空间向量的线性运算例1已知ABCD-ABCD是平行六面体.-13-考点1考点2考点3考点4-14-考点1考点2考点3考点4-15-考点1考点2考点3考点4思考空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么区别与联系?解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解题时应结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.-16-考点1考点2考点3考点4-17-考点1考点2考点3考点4-18-考点1考点2考点3考点4共线定理、共面定理的应用例2已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明:(1)E,F,G,H四点共面;(2)BD平面EFGH.-19-考点1考点2考点3考点4-20-考点1考点2考点3考点4思考共线定理、共面定理有哪些应用?-21-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练2如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?-22-考点1考点2考点3考点4-23-考点1考点2考点3考点4 空间向量的坐标运算例3已知点A(-2,0,2)、B(-1,1,2)、C(-3,0,4),(2)求cos;(3)若ka+b与ka-2b垂直,求k.-24-考点1考点2考点3考点4-25-考点1考点2考点3考点4思考空间向量用空间直角坐标系的坐标表示的主要用途有哪些?解题心得空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、向量垂直、向量的模、向量的夹角,在研究几何问题中只要建立适当的坐标系,把空间几何体中涉及的直线和平面用向量表示,就可以使得几何证明通过代数运算得到解决,这是使用空间向量研究立体几何问题的基本思想.-26-考点1考点2考点3考点4对点训练3(1)已知向量a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值可以是()AC -27-考点1考点2考点3考点4-28-考点1考点2考点3考点4空间向量数量积的应用例4如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60.(1)求AC1的长;(2)求证:AC1BD;(3)求BD1与AC夹角的余弦值.-29-考点1考点2考点3考点4-30-考点1考点2考点3考点4-31-考点1考点2考点3考点4思考空间向量的数量积主要有哪些应用?解题心得空间向量数量积的应用(1)求夹角.设向量a,b所成的角为,则 ,进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离).运用公式|a|2=aa,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题.利用abab=0(a0,b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.-32-考点1考点2考点3考点4对点训练4(1)(2019山西运城二模,11)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别是棱A1D1,AB,BC的中点,若经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线为l,则l与直线QB1所成角的余弦值为()(2)(2019江苏丹阳期末)已知空间向量a=(1,-,-1),b=(-,1-,-1)的夹角为钝角,则实数的取值范围是.B -33-考点1考点2考点3考点4-34-考点1考点2考点3考点4-35-考点1考点2考点3考点41.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为用向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算或证明去解决问题.-36-考点1考点2考点3考点41.向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即ab=ba,a(b+c)=ab+ac成立,(ab)c=a(bc)不一定成立.3.求异面直线所成的角,一般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化.
