2021版高考数学一轮复习第九章立体几何9.7利用空间向量求空间角和距离课件理北师大版.ppt
第七节利用空间向量求空间角和距离内容索引内容索引必备知识自主学习必备知识必备知识自主学习自主学习【教材【教材知识梳理】知识梳理】1.1.两条异面直线所成角的求法两条异面直线所成角的求法设设a,ba,b分别是两异面直线分别是两异面直线l1 1, ,l2 2的方向向量的方向向量, ,则则l1 1与与l2 2所成的角所成的角a与与b的夹角的夹角范围范围_(0,)(0,)求法求法_ (02，|cos| a ba bcos| aba b必备知识必备知识自主学习自主学习2.2.直线与平面所成角的求法直线与平面所成角的求法设直线设直线l的方向向量为的方向向量为a, ,平面平面的法向量为的法向量为n, ,直线直线l与平面与平面所成的角为所成的角为,a与与n的夹角为的夹角为,则则sin =|cos |= sin =|cos |= |.|a na n必备知识必备知识自主学习自主学习3.3.求二面角的大小求二面角的大小(1)(1)如图如图,AB,CD,AB,CD分别是二面角分别是二面角-l-的两个面内与棱的两个面内与棱l垂直的直线垂直的直线, ,则二面角则二面角的大小的大小=.=.(2)(2)如图如图, ,n1 1, ,n2 2分别是二面角分别是二面角-l-的两个半平面的两个半平面,的法向量的法向量, ,则二面则二面角的大小角的大小满足满足|cos |=|cos|cos |=|cos|,|,二面角的平面角大小是二面角的平面角大小是_._.ABCD ，向量向量n1 1与与n2 2的的夹角夹角( (或其补角或其补角) )必备知识必备知识自主学习自主学习4.4.利用空间向量求距离利用空间向量求距离( (供选用供选用) )(1)(1)两点间的距离两点间的距离设点设点A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),点点B(xB(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则|AB|=| |=_. |AB|=| |=_. (2)(2)点到平面的距离点到平面的距离如图所示如图所示, ,已知已知ABAB为平面为平面的一条斜线段的一条斜线段,n,n为平面为平面的法向量的法向量, ,则则B B到平面到平面的的距离为距离为 AB 222121212(xx )(yy )(zz ) .|AB|BO|.| nn必备知识必备知识自主学习自主学习【知识点辨析】【知识点辨析】( (正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)设设a, ,b是异面直线是异面直线l1 1, ,l2 2的方向向量的方向向量, ,则则l1 1与与l2 2所成的角就是所成的角就是a, ,b的夹角的夹角. .( () )(2)(2)设设a是直线是直线l的方向向量的方向向量, ,b是平面是平面的法向量的法向量, ,则直线则直线l与平面与平面成的角就是成的角就是a, ,b的夹角的夹角. .( () )(3)(3)设设a, ,b是两个平面是两个平面,的法向量的法向量, ,则则与与所成的二面角的大小等于所成的二面角的大小等于a, ,b的夹的夹角的大小角的大小. .( () )必备知识必备知识自主学习自主学习(4)(4)利用利用 可以求空间中有向线段的长度可以求空间中有向线段的长度. .( () )(5)(5)直线直线l的方向向量与平面的方向向量与平面的法向量夹角为的法向量夹角为120120, ,则则l和和所成角为所成角为3030. .( () )2|AB|AB AB 必备知识必备知识自主学习自主学习提示提示:(:(1)1). .因为因为 (0,(0,),),l1 1与与l2 2夹角夹角 (2)(2). .因为因为 的余弦的绝对值等于线面角的正弦值的余弦的绝对值等于线面角的正弦值. .(3)(3). .因为因为 与二面角的大小相等或互补与二面角的大小相等或互补. .(4).(4).(5).(5).(0.2， 必备知识必备知识自主学习自主学习【易错点索引】【易错点索引】序号序号易错警示易错警示典题索引典题索引1 1混淆线线角与两向量夹角的范混淆线线角与两向量夹角的范围致误围致误考点一、考点一、T1,2,4T1,2,42 2线面角与向量夹角混淆致误线面角与向量夹角混淆致误考点二、典例考点二、典例必备知识必备知识自主学习自主学习【教材【教材基础自测】基础自测】1.(1.(选修选修2-1P45 2-1P45 练习练习T2T2改编改编) )已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),=(0,1,0),n=(0,1,1),=(0,1,1),则两平面所成的二面角为则两平面所成的二面角为( () )A.45A.45 B.135B.135C.45C.45或或135135 D.90D.90必备知识必备知识自主学习自主学习【解析】【解析】选选C. C. 即即 =45=45. .所以两平面所成的二面角为所以两平面所成的二面角为4545或或180180-45-45=135=135. .12cos|212，m nmnm n必备知识必备知识自主学习自主学习2.(2.(选修选修2-1P432-1P43例例1 1改编改编) )在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,E是是C C1 1D D1 1的中点的中点, ,则异面直线则异面直线DEDE与与ACAC所成角的余弦值为所成角的余弦值为( () )101110A. B. C. D.10202010必备知识必备知识自主学习自主学习【解析】【解析】选选D.D.建立如图空间直角坐标系建立如图空间直角坐标系D-xyz,D-xyz,设设DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E E 则则 =(-1,1,0), =(-1,1,0), 设异面直线设异面直线DEDE与与ACAC所成的角为所成的角为, ,则则cos cos = = 1(01)2，AC 1DE(01)2 ，10|cos|.10 ，必备知识必备知识自主学习自主学习3.(3.(选修选修2-1P502-1P50习题习题2-6A2-6A组组T1T1改编改编) )如图所示如图所示, ,在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,有一棱长为有一棱长为a a的正方体的正方体ABCO-ABCD,ACABCO-ABCD,AC的中点的中点E E与与ABAB的中点的中点F F的距离为的距离为_._.必备知识必备知识自主学习自主学习【解析】【解析】由图易知由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),AA(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A(a,0,a).(a,0,a).所以所以 所以所以EF= EF= 答案答案: : aa a aF(a0)E().22 2 2，222aaaa(a)()(0)222222aa2a.4422a2必备知识必备知识自主学习自主学习4.(4.(选修选修2-1P452-1P45例例3 3改编改编) )正三棱柱正三棱柱( (底面是正三角形的直棱柱底面是正三角形的直棱柱)ABC-A)ABC-A1 1B B1 1C C1 1的底面的底面边长为边长为2,2,侧棱长为侧棱长为2 ,2 ,则则ACAC1 1与侧面与侧面ABBABB1 1A A1 1所成的角为所成的角为_._.2必备知识必备知识自主学习自主学习【解析】【解析】以以A A为原点为原点, ,以以 (AEAB), (AEAB), 所在直线为坐标轴所在直线为坐标轴( (如图如图) )建立空建立空间直角坐标系间直角坐标系, ,设设D D为为A A1 1B B1 1的中点的中点, , 则则A(0,0,0), A(0,0,0), ABAE ，1AA 11C (13 2 2)D(1 0 2 2)AC(13 2 2) AD (1 0 2 2). ， ， ，所以 ， ， ， ，必备知识必备知识自主学习自主学习CC1 1ADAD为为ACAC1 1与平面与平面ABBABB1 1A A1 1所成的角所成的角cosCcosC1 1AD= AD= 又因为又因为CC1 1AD AD 所以所以CC1 1AD= AD= 答案答案: : 11AC AD|AC |AD| (13 2 2) (1 0 2 2)32129， ， ，02， ，.66必备知识必备知识自主学习自主学习5.(5.(选修选修2-1P452-1P45练习练习T2T2改编改编) )在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是正方形是正方形,PD,PD底面底面ABCD,PD=DC,ABCD,PD=DC,则平面则平面CPBCPB与平面与平面PBDPBD夹角的大小为夹角的大小为_._.必备知识必备知识自主学习自主学习【解析】【解析】以点以点D D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系. .设设PD=DC=1,PD=DC=1,则则D(0,0,0),P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0).D(0,0,0),P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0).所以所以 =(0,0,1), =(0,1,-1), =(1,1,0),=(0,0,1), =(0,1,-1), =(1,1,0), =(-1,0,0), =(-1,0,0),DP PCDB BC 必备知识必备知识自主学习自主学习设平面设平面PBDPBD的一个法向量为的一个法向量为n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),由由 得得 令令x x1 1=1,=1,得得n1 1=(1,-1,0).=(1,-1,0).设平面设平面PBCPBC的一个法向量为的一个法向量为n2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),由由 得得 11DP0,DB0 nn111z0,xy0,22nPC0,nBC0 222yz0,x0,必备知识必备知识自主学习自主学习令令y y2 2=1=1得得n2 2=(0,1,1),=(0,1,1),设平面设平面CPBCPB与平面与平面PBDPBD的夹角为的夹角为, ,则则 所以所以=60=60. .答案答案: :60601212|1cos,|2 n nnn必备知识必备知识自主学习自主学习
