九年级数学下册第3章圆3.1圆3.1.1圆的对称性第2课时课件湘教版20200323328.ppt

3.1.1 圆的对称性(第2课时) 1.1.了解圆心角的概念了解圆心角的概念. .2.2.理解圆心角、弧、弦的关系，并能正确运用它们之间的关系理解圆心角、弧、弦的关系，并能正确运用它们之间的关系解决问题解决问题.(.(重点、难点重点、难点) )1.1.弧的有关概念：弧的有关概念：(1)(1)弧：圆上任意弧：圆上任意_的部分的部分. .(2)(2)劣弧：小于劣弧：小于_的部分的部分. .(3)(3)优弧：大于优弧：大于_的部分的部分. .2.2.圆心角：顶点在圆心角：顶点在_的角的角. .两点间两点间半圆半圆半圆半圆圆心圆心3.3.圆心角、弧、弦的关系：如图所示，在圆心角、弧、弦的关系：如图所示，在O O中，中，AOBAOB与与AOBAOB为圆心角且为圆心角且AOBAOB是由是由AOBAOB旋转得到的，点旋转得到的，点A A，B B，A,BA,B在圆上在圆上. .【思考思考】(1)(1)题干中是在什么条件下对圆心角旋转的？题干中是在什么条件下对圆心角旋转的？提示：提示：在同圆中在同圆中. .(2)(2)如果不利用圆的旋转不变性，能证明如果不利用圆的旋转不变性，能证明AB=ABAB=AB吗吗? ?提示：提示：能能. .由已知条件可知，由已知条件可知，AOB=AOB,AOB=AOB,由同圆的半径由同圆的半径相等，可得相等，可得AOBAOBAOB,AOB,可得到可得到AB=AB.AB=AB.(3) (3) 则其所对的圆心角、弦有怎样的数量关系？则其所对的圆心角、弦有怎样的数量关系？提示：提示：AOB=AOB,AB=AB.AOB=AOB,AB=AB.(4)AB=AB(4)AB=AB，则其所对的圆心角、弧有怎样的数量关系？，则其所对的圆心角、弧有怎样的数量关系？提示：提示：AOB=AOB,AOB=AOB,ABA B ，ABA B. 【总结总结】1.1.在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧的弧_，所对的弦也，所对的弦也_. .2.2.垂直于弦的直径垂直于弦的直径_这条弦所对的这条弦所对的_. .相等相等相等相等平分平分两条弧两条弧(1)(1)相等的圆心角所对的弦相等相等的圆心角所对的弦相等.( ).( )(2)(2)顶点在圆上的角是圆心角顶点在圆上的角是圆心角.( ).( )(3)(3)不相等的弦所对的弧一定不相等不相等的弦所对的弧一定不相等.( ).( )(4)(4)在两个同心圆中，相等的圆心角所对的弧不一定相等在两个同心圆中，相等的圆心角所对的弧不一定相等.( ).( )知识点知识点 1 1 圆心角、弧、弦间的关系圆心角、弧、弦间的关系【例例1 1】下列说法正确吗？下列说法正确吗？(1)(1)如图如图1 1，小明说：，小明说：“因为因为 所对的圆心角都是所对的圆心角都是O O，所以所以 ” ”. .(2)(2)如图如图2 2，小华说，小华说:“:“因为因为AB=CDAB=CD，故，故ABAB所对的所对的ABAB等于等于CDCD所对所对的的 ” ”. .ABA B 和AB A B CAD【解题探究解题探究】(1)(1)什么是等弧什么是等弧? ?等弧所在的圆的半径有什么关系等弧所在的圆的半径有什么关系? ?提示提示: :等弧是指能完全重合的两条弧等弧是指能完全重合的两条弧, ,等弧所在的圆的半径相等等弧所在的圆的半径相等. .(2)(2)一条弦对着几条弧一条弦对着几条弧? ?这条弦所对的弧相等吗这条弦所对的弧相等吗? ?提示提示: :一条弦对着两条弧一条弦对着两条弧, ,这两条弧不一定相等这两条弧不一定相等. .(3)(3)由探究由探究(1),(2)(1),(2)可得可得, ,小明的判断小明的判断_, ,小华的判断小华的判断_. .不正确不正确不正确不正确【互动探究互动探究】在同圆或等圆中弦相等在同圆或等圆中弦相等, ,若要使其所对的弧一定若要使其所对的弧一定相等相等, ,应限定怎样的条件应限定怎样的条件? ?提示提示: :在同圆或等圆中弦相等在同圆或等圆中弦相等, ,其所对的弧不一定相等其所对的弧不一定相等, ,若要使若要使其一定相等其一定相等, ,还应限定该弦所对的弧要么是优弧还应限定该弦所对的弧要么是优弧, ,要么是劣弧要么是劣弧. .【总结提升总结提升】“知一推二知一推二”及三限定及三限定在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中有一组量相等中有一组量相等, ,其余的各组量也相等其余的各组量也相等, ,简称简称“知一推二知一推二”. .(1)(1)当知两个圆心角相等时当知两个圆心角相等时, ,必须限定同圆或等圆必须限定同圆或等圆. .(2)(2)当两弦相等推圆心角相等时当两弦相等推圆心角相等时, ,必须限定同圆或等圆必须限定同圆或等圆. .(3)(3)当两弦相等推弧相等时当两弦相等推弧相等时, ,除了限定同圆或等圆之外除了限定同圆或等圆之外, ,还要限还要限定两弧是同一类弧定两弧是同一类弧. .知识点知识点 2 2 弧、弦、圆心角关系的应用弧、弦、圆心角关系的应用【例例2 2】在在O O中中, ,弦弦ABAB与与CDCD相交相交, ,且且AB=CD,AB=CD,求证求证:AD=BC.:AD=BC.【思路点拨思路点拨】弦弦ABAB与弦与弦CDCD相等相等弧弧ADBADB与弧与弧CBDCBD相等相等弧弧ADAD与弧与弧BCBC相等相等弦弦ADAD与弦与弦BCBC相等相等. .【自主解答自主解答】在在O O中，中，AB=CDAB=CD，则，则ADBCBD，ADBDBCBDDBADBCADBC.，【总结提升总结提升】同一圆中证明两弦相等的四种方法同一圆中证明两弦相等的四种方法1.1.若两弦位于两个不同的三角形若两弦位于两个不同的三角形, ,证明两弦所在的三角形全等证明两弦所在的三角形全等. .2.2.若两弦位于同一个三角形中若两弦位于同一个三角形中, ,根据等角对等边证明两弦相等根据等角对等边证明两弦相等. .3.3.证明两弦所对的弧相等证明两弦所对的弧相等( (同一类弧同一类弧).).4.4.证明两弦所对的圆心角相等证明两弦所对的圆心角相等. .题组一：题组一：圆心角、弧、弦间的关系圆心角、弧、弦间的关系1.1.下列说法正确的是下列说法正确的是( )( )A.A.等弦所对的弧相等等弦所对的弧相等 B.B.圆心角相等，所对的弦相等圆心角相等，所对的弦相等C.C.等弧所对的弦相等等弧所对的弦相等 D.D.相等的弦所对的圆心角相等相等的弦所对的圆心角相等【解析解析】选选C.C.圆心角、弧、弦之间的对应关系前提必须在同圆圆心角、弧、弦之间的对应关系前提必须在同圆或等圆中，而等弧一定是在等圆或同圆中的，所以或等圆中，而等弧一定是在等圆或同圆中的，所以C C正确正确. .2.2.下列图形中表示的角是圆心角的是下列图形中表示的角是圆心角的是( )( )【解析解析】选选A.A.根据圆心角的定义：顶点在圆心的角是圆心角可根据圆心角的定义：顶点在圆心的角是圆心角可知，知，B B，C C，D D项图形中的顶点都不在圆心上，所以它们都不是项图形中的顶点都不在圆心上，所以它们都不是圆心角圆心角. .3.3.已知已知ABAB与与ABAB分别是分别是O O与与OO的两条弦，的两条弦，AB=ABAB=AB，那么那么AOBAOB与与AOBAOB的大小关系是的大小关系是( )( )A.AOB=AOB B.AOBAOBA.AOB=AOB B.AOBAOBC.AOBAOB D.C.AOBAOB D.不能确定不能确定【解析解析】选选D D由弦相等推弦所对的圆心角相等，必须保证在由弦相等推弦所对的圆心角相等，必须保证在同圆或等圆中同圆或等圆中. .此题没有限制，所以不能确定此题没有限制，所以不能确定AOBAOB和和AOBAOB的大小关系的大小关系. .4.4.如图，如图，O O的直径的直径ABAB垂直于弦垂直于弦CDCD，垂足，垂足为点为点E E，图中相等的圆心角有，图中相等的圆心角有_._.【解析解析】直径直径ABCD,ABCD,AOC=AOD,COB=DOB.AOC=AOD,COB=DOB.答案：答案：AOC=AOD,COB=DOBAOC=AOD,COB=DOBACAD,BCBD,5.5.如图如图, ,在在O O中中,AC=BD,1=45,AC=BD,1=45, ,求求2 2的度数的度数. .【解析解析】AC=BDAC=BD，ACBD，ACBCBDBCABCD2145 . ，题组二：题组二：弧、弦、圆心角关系的应用弧、弦、圆心角关系的应用1.1.如图，如图，D D，E E分别是分别是O O的半径的半径OAOA，OBOB上的点，上的点，CDOACDOA，CEOBCEOB，CD=CECD=CE，则，则 的关系是的关系是( )( )ACBC与A.ACBCB.ACBCC.ACBCD.不能确定【解析解析】选选A.CDOAA.CDOA，CEOBCEOB，CDO=CEO=90CDO=CEO=90，CD=CECD=CE，CO=COCO=CO，RtRtCODRtCODRtCOECOE，COD=COECOD=COE，ACBC【归纳整合归纳整合】弧、弦、圆心角、弦心距的关系弧、弦、圆心角、弦心距的关系(1)(1)圆心到弦的垂线段的长度叫弦心距圆心到弦的垂线段的长度叫弦心距. .(2)(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等量都分别相等. .2.2.如图，在如图，在O O中，点中，点C C是是 的中点，的中点，A=30A=30，则则BOCBOC等于等于_度度. .【解析解析】因为在因为在O O中，点中，点C C是是 的中点，所以的中点，所以OCABOCAB，AOC=BOC;AOC=BOC;因为因为A=30A=30，所以，所以AOC=90AOC=90-30-30=60=60，所以，所以BOC=60BOC=60. .答案：答案：6060ABAB3.3.如图所示，如图所示，ABAB是是O O的直径，的直径， AOE=81AOE=81，则，则COD=_.COD=_.BCCDDE，【解析解析】因为因为 所以所以BOC=COD=DOE.BOC=COD=DOE.又因为又因为AOE=81AOE=81, ,所以所以BOE=180BOE=180-81-81=99=99, ,即即COD= BOE= COD= BOE= 9999=33=33. .答案：答案：3333BCCDDE,1313【变式训练变式训练】如图所示，如图所示，ABAB是是O O的直径，的直径，COD=35COD=35，求，求AOEAOE的度数的度数. .【解析解析】BOC=COD=DOE=35BOC=COD=DOE=35. .BOE=BOC+COD+DOE=105BOE=BOC+COD+DOE=105. .AOE=180AOE=180-BOE=180-BOE=180-105-105=75=75. .BCCDDE，BCCDDE，4.4.如图，如图，ABAB为为O O的弦，半径的弦，半径OEOE，OFOF分别交分别交ABAB于点于点C C，D D，且，且OC=ODOC=OD，求证：，求证：【证明证明】OC=ODOC=OD，OCD=ODCOCD=ODC，A+COA=B+DOB,A+COA=B+DOB,OA=OB,A=B,OA=OB,A=B,COA=DOB,COA=DOB,AEBF.AEBF.5.5.如图，点如图，点A A，B B，C C为为O O上的三点，上的三点，且且 (1)(1)求求AOBAOB，BOCBOC，AOCAOC的度数的度数. .(2)(2)连结连结ABAB，BCBC，ACAC，试确定，试确定ABCABC的形状的形状. .(3)(3)若若O O的半径为的半径为10 cm,10 cm,求求ABCABC各边的长各边的长. .ABBCCA.【解析解析】(1)(1)在在O O上，上，AOB=BOC=AOC,AOB=BOC=AOC,AOB+BOC+AOC=360AOB+BOC+AOC=360, ,AOB=BOC=AOC=120AOB=BOC=AOC=120. .(2)(2)AB=BC=AC,AB=BC=AC,ABCABC为等边三角形为等边三角形. .ABBCCA,ABBCCA,(3)(3)过点过点O O作作ODABODAB，OA=OBOA=OB，AOB=120AOB=120，AOD=60AOD=60，sin 60sin 60= =AD=AOAD=AOsin 60sin 60= (cm),= (cm),AB=10 cm,AB=10 cm,ABCABC各边的长为各边的长为10 cm.10 cm.AD,AO3105 3233【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图，如图，AOB=90AOB=90，C C，D D是是ABAB的三等分点，的三等分点，ABAB分别交分别交OCOC，ODOD于点于点E E，F.F.试找出图中相等的线段试找出图中相等的线段( (半径除半径除外外) )提示：提示：AEAE，EF,BFEF,BF不是圆的弦，不能直接利用等弧对等弦不是圆的弦，不能直接利用等弧对等弦. .